Файл: Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.pdf

ной Массы подвижного звена (m==L), двух упругих элементов — пружины с эластичностью Cs и междувнтковой емкостью Се. Джоулевы потери в катушке Rei2 (Re— омическое сопротивление витков) и потери в ста­ ли (R — эквивалентное сопротивление) вынесены в си­

стему А — электрическую систему с потерями. Анало­ гично потерн, связанные с вязким трением и характе­ ризующиеся коэффициентом Rs, вынесены в систему С — механическую систему с 'потерями. На рис. 1-7 приве­ дены также силы внешнего (стороннего) воздействия Е,

положения звена s. Указаны также точки приложения противо-э. д. с. e = dx¥/dt и электромагнитной силы

Р= Р( ЧД.

Врассматриваемом случае силовая функция Ла­ гранжа для консервативной системы Б выражается за­

и С и наличие сторонних сил воздействия.

Для класса систем, у которых неконсервативные силы связей не зависят от k-x координат и скоростей, а являются суммарными постоянными внешними силами

При этом можно определить неконсервативную по­ тенциальную функцию, а следовательно, и неконсерва­ тивный лагранжиан. В общем случае, используя по аналогии определение силы и потенциальной энергии по (1-34) и обозначив условно неконсервативную потен­ циальную энергию как V q , учитывая (1-42), можно за­ писать:

42

Здесь знак силы Qtk принимается положительным, если ее направление совпадает с направлением увели­ чения координаты qu. При этом неконсервативный ла­ гранжиан также может быть разбит на две силовые функции L q — T+ iU, которые в рассматриваемом случае определяются через Г*, V и Vq\

Qqh

Неконсервативный лагранжиан LQ в соответствии с принципом Гамильтона при всех независимых qu обоб­ щенных координатах также должен удовлетворять урав­ нению Эйлера. Уравнение Эйлера в случае неконсерва­

Сопоставление (1-49), (1-46) и (1-47) с уравнением Эйлера, записанным в виде (1-48), свидетельствует о возможности записи последнего через консерватив­ ный лагранжиан L в виде

dL

(1-50)

dqj

Таким образом, все неконсервативные силы, которые не зависят от обобщенных координат и скоростей, мож­ но рассматривать просто как движущие силы, которые

43

приложены к консервативной части системы в точках, где действуют эти неконсервативиые силы связей, соот­ ветственно со стороны рассматриваемой электрической или механической системы. Типичным примером (рис. 1-7) подобных неконсервативных сил являются суммарные напряжения E(t), приложенные к зажимам цепи входа электрической системы, или суммарные механические силы, например, на внешнем механическом входе управ­ ления PB.„(t) электромагнитных датчиков, или постоян­ ные противодействующие силы подвижных звеньев Рв.о электромагнитных механизмов и их комбинации.

Кроме модификации лагранжиана, позволяющей учи­ тывать неконсервативиые силы, можно также опреде­ лить неконсервативную кинетическую энергию для учета потерь в системе. Для этого полезно определить функ­ цию Dr , зависящую от обобщенной скорости и называ­ емую релеевой функцией рассеяния:

где согласно табл. 1-3 Ru — обобщенная мера сопротив­ ления.

Релеева функция рассеяния имеет размерность мощ­ ности, значение 2DH есть мгновенная мощность, погло­ щаемая силами рассеяния. Определение половины мощ­ ности мало удачно, однако при этом сохраняются пра­ вильные соотношения между силами, что является един­ ственной проверкой надежности принятого определения. В этом случае функция неконсервативной кинетической коэнергии определяется как интеграл от DR, т. е.

44

В этом случае аналогично (1-46), (1-47) можно пред­ ставить:

Неконсервативный лагранжиан Lqd так же точно со­ ответствует условиям принципа Гамильтона, и, следова­ тельно, при всех независимых qk обобщенных координа­ тах должно удовлетворяться уравнение Эйлера

Уравнение (1-57) можно записать аналогично (1-49) через консервативный лагранжиан L в виде

Таким образом, понятие принципа Гамильтона, тре­ бующее удовлетворения (1-58), может быть распростра­ нено на неконсервативные системы и будет использова­ но нами для составления систем исходных уравнений движения (динамического режима) при анализе и син­ тезе силовых электромагнитных механизмов.

С целью обобщения и упрощения выкладок для не­ консервативных систем модифицированное уравнение Эйлера (1-58) может быть записано в прежнем виде

(1-15):

(1-59)

если под силовой функцией Лагранжа понимать моди­ фицированную (обобщенную) зависимость

45

Значения указанных выше величин в несколько более подробной записи и в соответствии с принятыми обозначениями (табл. 1-3) для рассмотренных систем соответственно равны:

Кинетическая коэнергия

46