Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

Для определения областей неустойчивости и несуществова­ ния двухволнового режима нужно знать значения коэффициен­ тов а и р. В рассматриваемом случае малой примеси второго изотопа а и р определяются выражениями

Подставляя значения а и р в (4.22), найдем область значе­ ний Ц1, в которой двухволновой режим невозможен

Ширина этой области уменьшается при увеличении концентра­ ции примесного изотопа. При условии

области несуществования и неустойчивости двухволнового ре­ жима исчезают, т. е. режим двух встречных волн существует во всей области расстроек, где выполняются условия возбуждения.

Оценим минимальное значение N2, при котором выпол­ няется неравенство (4.28). Пусть у0=Уб=Уаь/2, y2/(ku)2= 10_3,

|т)1— т)21= Ю'4, Г) = 5-К)-3, H2= kul]f2. Тогда N2 ~ 0,03. Та­ ким образом, при относительной концентрации примесного изо­ топа порядка нескольких процентов область конкурентного по­ давления одной из встречных волн исчезает.

Г Л А В А V

КОНКУРЕНЦИЯ ВСТРЕЧНЫХ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ связи ЧЕРЕЗ РАССЕЯНИЕ

В предыдущей главе рассматривалась конкуренция между встречными волнами без учета связи через обратное рассеяние. В этой главе исследуется влияние связи через обратное рас­ сеяние на режимы генерации в кольцевом лазере при равной нулю разности частот П. Как отмечалось, влияние связи на ре­ жим генерации можно не учитывать, если в кольцевом резона­ торе с помощью невзаимного элемента создана достаточно боль­ шая разность частот встречных волн.'" Если же частоты волн близки или равны (вследствие синхронизации частоты), то связь через обратное рассеяние существенно влияет на взаимодей­ ствие волн. Вместо режимов двух встречных волн с постоянными амплитудами при достаточно большой связи могут возникнуть

•режимы автомодуляции интенсивностей, при которых происхо­ дит периодическая перекачка энергии из одной волны в другую с частотой, зависящей от коэффициентов связи. Кроме того, на­ личие связи приводит к возможности существования при одних и тех же параметрах нескольких режимов генерации, отличаю­ щихся амплитудами и фазами колебаний, а также глубиной ав­ томодуляции интенсивностей. Реальное существование того или иного режима при фиксированных параметрах зависит от на­ чальных условий. Переход от одного режима к другому при изменении параметров может происходить как плавно, так и скачком.* Как правило, скачкообразные переходы сопрово­ ждаются гистерезисными явлениями.

Более того, наличие связи существенно расширяет ту область расстроек, в которой могут существовать режимы генерации, отличные от режима двух встречных волн с близкими амплиту­ дами. Такие режимы при определенны* условиях могут возни­ кать даже в лазере, работающем на 50%-ной смеси изотопов активного газа.

Амплитуды и фазы встречных волн с учетом связи через рас­ сеяние описываются уравнениями (4.4), (4.5). Перепишем эти уравнения при й = 0 и без учета членов, содержащих пятые

Здесь b — т — р. Члены, содержащие пятые степени поля, для краткости мы будем учитывать уже в окончательных результа­ тах. Можно показать, что учет этих членов сводится к замене

а — р на а — {3 + 3/40iT)>

Математический анализ стационарных решений системы

§1. Режимы генерации волн с постоянными амплитудами

ифазами при комплексно сопряженных коэффициентах связи

Рассмотрим вначале режимы генерации в кольцевом лазере

вслучае комплексно сопряженных коэффициентов связи (ml§ 2=

=т, fli, 2 = Ф) и при равных добротностях (6 = 0). В этом слу­ чае исходная система уравнений (5.1), (5.2) в переменных (5.3) имеет вид

х= х (1 — ау) — т sin (Ф + Ф) У у1— х2,

собой значение коэффициента связи, измеренное в единицах ДсорТ). (Величину ДсорТ] часто называют прочностью предельного цикла [1].)

Система уравнений (5.4) допускает стационарные решения, соответствующие как режиму стоячих волн, когда интенсивно­ сти обеих волн одинаковы, так и режиму двух бегущих на­ встречу волн с различными интенсивностями. Выпишем сначала решения, соответствующие режимам стоячей волны, и иссле­ дуем их устойчивость. Таких решений имеется два, причем они

Рассмотрим теперь возможность существования и устойчиво­ сти других режимов в кольцевом лазере. При равных коэффици­ ентах связи, кроме режимов стоячих волн, может существовать также режим встречных волн с неравными интенсивностями. Легко видеть, что система уравнений (5.4) имеет еще следую­ щие стационарные решения:

Исследование на устойчивость показывает, что решение со зна­ ком «—» перед радикалом в (5.12) всегда апериодически не­ устойчиво. Для второго решения, напротив, всегда имеет место апериодическая устойчивость.

Условие колебательной устойчивости запишем для пг <С 1. При произвольном т формулы оказываются громоздкими. При

Запишем эти условия для лазера на чистом изотопе с учетом членов пятой степени по полю в векторе поляризации

m2JС

Проанализируем неравенства (5.15), (5.16). Если связь до­ статочно мала, а именно

(5.17)

то режим с различными амплитудами встречных волн может су­ ществовать лишь внутри области неустойчивости двухволнового режима. Он занимает тем большую область расстроек, чем меньше связь. Если

У4

т ^ 1 6 ( b ) 4 ’

то режим с различными амплитудами встречных волн занимает всю область расстроек а — р < 0. Рассмотрим зависимость ин­ тенсивностей встречных волн от расстройки для этого случая. Ради простоты предположим, что

Отсюда следует, что в центре линии усиления одна из волн имеет пик, а другая — провал. Ширина этого пика (и провала) порядка р/у0ь ~ у2l(ku)2, т. е. является весьма малой величиной.

Оценим наибольшую высоту пика, соответствующую наибольшему значению коэффициента связи. Для этого поло­

жим в (5.12) 6 = 0, in2 — у4/[16(&м)4]. Тогда =

Подставив это значение уо в выражение (5.11) для Хо, находим х0= V 2. Отсюда следует, что