ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 0
60 |
КОНКУРЕНЦИЯ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ связи |
[ГЛ. V |
т. е. наибольшая высота пика «0,3. В принципе наличие таких пиков и провалов может быть использовано для систем стабили зации частоты.
Если выполняется неравенство, обратное неравенству (5.17), то режим с неравными интенсивностями волн существует лишь вне области неустойчивости двухволнового режима. Верхняя граница области существования режима с различными интенсив ностями волн определяется условием колебательной устойчиво сти (5.14) и соответственно (5.16). Нижняя граница области расстроек получается из условия существования рассматривае мого решения, т.е. из условия Щ^О. Это условие выполняется,
если
<5 Л 8 >
Объединяя неравенства (5.16) и (5.18), получаем для лазера на чистом изотопе ту область расстроек, где, помимо режима стоя чей волны, возможен еще режим с неравными интенсивностям» встречных волн
4/п2^ - ^ —< [6 т 2 |
при т2^ —(——V —— Bill. |
(5.19) |
Y1ь |
4 \ k u ) 8 1 |
' |
При уменьшении расстройки до нижней границы неравен ства (5.19) режим с неравными интенсивностями волн перехо дит в режим стоячей волны (5.6).
Обсудим полученные результаты. В кольцевом газо вом лазере при равных коэффициентах связи и добротностях
могут существовать и быть устойчивыми |
следующие режимы |
с постоянными интенсивностями волн. В |
области расстроек |
°^а Режима стоячей волны неустойчивы.
Устойчивым может быть лишь режим с неравными интенсив ностями встречных волн при условии, если модуль коэффициен тов связи достаточно мал (см. (5.17)).
При переходе в область расстроек
становятся устойчивыми сразу два режима стоячей волны (5.5) и (5.6). Режим с различными интенсивностями встречных волн
вэтой области не существует.
Вобласти больших расстроек при
4 т 2 VуаЬ / =^6т 2 |
(5.21) |
5 2] ВЛИЯНИЕ РАЗНОСТИ ДОБРОТНОСТЕЙ 61
один из режимов стоячей волны оказывается неустойчивым.
Устойчивыми являются другой режим стоячей |
волны |
и режим |
с неравными интенсивностями встречных волн. |
(5.21) |
устойчивы |
Поскольку в областях расстроек (5.20) и |
одновременно два разных режима, здесь могут наблюдаться своеобразные гистерезисные явления: в зависимости от выбора начальных условий можно реализовать различные режимы ге нерации. При достаточно больших расстройках р.2^ 6 т 2у2ь та
кая двойственность исчезает, устойчивым является лишь один режим стоячей волны.
Посмотрим теперь, какие режимы генерации возможны в кольцевом лазере на 50%-ной смеси изотопов активного газа. В этом случае коэффициенты а, р, b определяются выраже
ниями (3.54). Из |
(5.9) следует, что вблизи |
центра линии, ко |
гда | b | ^ т(а + |
р) « т/2, устойчивы два |
режима стоячей |
волны с отличающимися на л значениями разности фаз. В обла сти расстроек, определяемых неравенством (см. (5.9) и (5.14))
4 < Ш < у / б т 2- 1 ,
устойчивы один из режимов стоячей волны и режим двух бегу щих волн с разными интенсивностями. Разности фаз для этих режимов также отличаются друг от друга на я.
Заметим, что последнее неравенство может выполняться лишь при достаточно малых превышениях накачки над порогом, когда
/n/ЛсОр. При Лшр=10~2c/L, т=10~*с1Ь |
V"5 • 10-2. |
При больших значениях превышения в области |Ь| ^ |
/л/2 устой |
чив лишь один из режимов стоячей волны. Для лазера на чи стом изотопе область расстроек, в которых устойчив режим встречных волн с различными амплитудами, существует при лю бых значениях превышения накачки над порогом.
§ 2. Влияние разности добротностей
До сих пор мы исследовали стационарные решения, предпо лагая, что коэффициенты связи являются комплексно сопряжен ными и разность добротностей отсутствует. Чтобы проследить за изменениями, которые происходят при нарушении этих усло вий, рассмотрим вначале влияние разности добротностей б при комплексно сопряженных коэффициентах связи т.
В этом случае система уравнений (4.4), (4.5) имеет решение, соответствующее режиму стоячей волны
*о = 0» Уо— а + р >
sin (Ф0 + ft) = 4 . cos (Ф0 + ■&) = ± V 1 — (b/mf. (5.22)
6 2 КОНКУРЕНЦИЯ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ связи [ГЛ. V
Исследуя это решение на устойчивость, получим, что условие колебательной неустойчивости не зависит ни от разности доброт
ностей, |
ни от величины связи и имеет тот же вид, что и (4.21): |
|||
а — р ^ |
0. |
Условие |
апериодической устойчивости |
решений |
(5.22) получается следующим: |
|
|||
|
|
|
Т ? > ° - |
<5-23> |
Сравнивая |
это условие с аналогичным условием |
(5.9) при |
||
6 = 0, |
можно видеть, |
что оно, по существу, имеет |
прежний |
|
вид и весь предыдущий анализ остается справедливым. Необхо димо лишь заменить значение т на эффективное значение
т V 1 — (б/т)2. Следует отметить, что режим стоячей волны су
ществует лишь |
при |
достаточно |
малой разности добротностей, |
когда | б | ^ in, |
т. е. |
| г): — г)21^ |
2т/Дсор. |
Из полученных результатов можно сделать следующий вывод.'В отсутствие связи в силу различия добротностей ампли туды встречных волн при приближении к границе области не устойчивости двухволнового режима начинают сильно отли чаться друг от друга. Напротив, в режиме синхронизации при
т ^ \ б \ |
амплитуды встречных волн выравниваются и ведут |
себя так, |
как будто разность добротностей б отсутствует. > |
§ 3. Учет различия коэффициентов связи
Пусть теперь коэффициенты связи несколько отличаются друг от друга и существует малая разность добротностей. Обо значим
— ОТ|- 2 |
т ■ |
от1+ ота |
А т ! |
|
т1, 2 - |
codri |
|
||
|
■fri + д2 |
|
|
|
|
•&= |
Aft = (O', — Ф2)/2 |
||
ОТ] — т2
(5.24)
и предположим, что Ат С й , Ай1<С 1.
Мы проанализируем, как изменяется решение, описывающее стоячие волны, при малых значениях Ат, А'б’ и б. Амплитуды встречных волн при этом начинают различаться, но решение
оказывается близким к стоячей волне. Его можно |
представить |
в виде |
(5.25) |
х = х0 + хи у = у0+ Уи О ^ Ф о + Фи |
где х0, у0, Ф0 — решение в нулевом приближении, определенное формулами (5.5), (5.6), а Х\, у\, Ф1— малые отклонения. Вы ражения для функций Хи Уь Ф1 здесь не выписываем из-за их громоздкости. Они имеются в работе [14].
РЕЖИМЫ АВТОМОДУЛЯЦИИ |
63 |
Исследование решения (5.25) на устойчивость показывает, что условие апериодической устойчивости в первом приближе нии не зависит от разности коэффициентов связи и имеет вид (5.23). Следует лишь заметить, что решение в виде (5.25) в об ласти расстроек, для которых
становится несправедливым, так как величина х\ перестает быть малдй.
Условие колебательной устойчивости решений (5.25) имеет вид
> 0 . (5.26)
Из этого условия видно, что граница области устойчивости двухволнового режима в общем случае зависит от соотношения между коэффициентами связи и разности добротностей. Она может быть как выше, так и ниже того значения, которое соот ветствует отсутствию связей. В некоторых частных случаях, на пример когда коэффициенты связи являются комплексно сопря женными, граница области устойчивости двухволнового режима не зависит от величины связи и совпадает с соответствующим значением при отсутствии связей. В случае комплексно сопря женных связей разность добротностей не влияет на границу ко лебательной неустойчивости.
Из (5.26) следует, что границы областей колебательной не устойчивости для двух режимов стоячей волны в общем случае не совпадают (им соответствуют в (5.26) разные знаки). ,
§4. Режимы автомодуляции интенсивностей
иразности фаз встречных волн
Кроме исследованных в § 1—3 режимов генерации с постоян ными значениями амплитуд и разности фаз встречных волн, могут существовать стационарные решения уравнений (5.1), (5.2) с периодически изменяющимися во времени амплитудами и фазами. Такие режимы отличаются от режимов биений тем, что, несмотря на колебания разности фаз, среднее значение раз ности частот встречных волн оказывается равным нулю. Авто колебания интенсивностей и разности фаз могут возбуждаться в области достаточно сильной конкуренции (а — р <С а + р).
Для исследования таких режимов систему трех уравнений (5.1), (5.2) для функций E\t 2, Ф удобно заменить более простой для анализа системой для четырех функций х, у (они опреде ляются формулами (5.3)) и г, и, определяемых следующими
64 |
КОНКУРЕНЦИЯ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ св я зи |
|
[ГЛ. V |
||
выражениями: |
|
|
|
|
|
г = |
— -<щ- VV — ^2[/nisin(® + '0'i) + |
/n2sln(O + |
19,2)]. |
(5.27) |
|
и = |
— 2Ж" |
— ^[miCoslO + -O'!) + |
m2cos(0 + |
^2)]- |
(5.28) |
Здесь M — ^\rh\ + m\ + 2m,m2cos(#, — ,6'2)]I/2.
В этих переменных уравнения (5.1), (5.2) примут следующий вид:
х — х (1 — ау) + ду + Mz,
у = У (1 — а ~2 ^' У) ------2~^ X2 Ьх-\- М|2 + М2и, t ^ - a + l y y ^ u + M a - M x .
й = и (1 — |
|
г/) + -j xz + Мм, |
|
где |
|
|
ni\fh2 |
|
|
|
|
М, |
4Af |
Me |
Ш sin(dj — дг), |
|
b = т — р, |
Hi — Лг |
|
|
|
|
i'll + Дг * |
<5-29>
(5.30)
Из определения переменных г и и (5.27), (5.28) следует, что переменные х, у, z и и связаны соотношением
х2+ и2+ z2 = У2. |
(5.31) |
Поэтому одно из уравнений (5.29) является следствием остальных.
В общем случае аналитическое исследование автоколеба тельных решений системы уравнений (5.29) оказывается доста точно сложным. Мы рассмотрим здесь случай приблизительно комплексно сопряженных коэффициентов связи и достаточно малых расстроек относительно центра доплеровской линии, ко
гда выполняются следующие условия: |
|
| о — Э I, |й |, IM.I, |Л12|, 62< М , 1. |
(5.32) |
При этих условиях уравнения (5.29) можно решать методом последовательных приближений. Кроме того, при этих условиях оказывается, что сумма интенсивностей у устанавливается зна чительно быстрее, чем разность интенсивностей х и величины z и и. Действительно, как будет видно из дальнейшего, безраз мерное время установления суммы интенсивностей порядка еди«