Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

тельных расстройках. Соответственно при изменении расстройки влево из области больших положительных расстроек возникает второй режим автомодуляции интенсивностей. Если Мг < 0, то, наоборот, при изменении расстройки вправо возникает второй режим, а влево — первый. Из приведенных графиков видно, что устойчивые стационарные колебания интенсивностей при свя­ зях, отличных от комплексно сопряженных, могут существовать в значительно более широкой области расстроек, чем область,

Заметим, что даже при больших расстройках относительно центра доплеровской линии, когда не выполняются условия мяг­ кого возбуждения автоколебаний интенсивностей, существует устойчивый предельный цикл с амплитудой А — у0. Это озна­ чает, что автомодуляция интенсивностей в принципе возможна и в этой области расстроек (происходит жесткое возбуждение автомодуляционных режимов). Однако с ростом расстройки ам­ плитуда неустойчивого предельного цикла растет, приближаясь к амплитуде устойчивого предельного цикла А = у0. Когда раз­ ность между этими амплитудами станет достаточно малой, коле­ бания сорвутся из-за наличия флуктуаций.

В заключение данного раздела рассмотрим поведение разно­

Отсюда видно, что характер колебаний разности фаз Ф суще­ ственно зависит от амплитуды модуляции интенсивностей и от соотношения коэффициентов связи. Если коэффициенты связи являются комплексно сопряженными и А — у0, то

sin (Ф + ■б') = — sign [cos (&t + ф)].

Следовательно, в этом случае разность фаз Ф совершает прямо­ угольные колебания с периодом 2л/й. Среднее значение раз­

ности фаз зависит от знака «0: при й0 > 0 Ф= я — О, а при Йо < 0 Ф = — Ф,

§ 5] АНТИКОМПЛЕКСНО СОПРЯЖЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ 71

Из (5.43) получаем разность частот между встречными вол­ нами

значение Ф за период колебаний равно нулю. Однако если спо­ соб измерения угловых скоростей по частоте биений не чувстви­

телен к знаку частоты биений Ф, то усреднение следует прово­

биений оказывается отличным от нуля даже в покоящемся кольцевом лазере.

§5. Случай антикомплексно сопряженных коэффициентов связи

Впредыдущих параграфах этой главы исследовались ре­ жимы генерации при коэффициентах связи, близких к комплекс­ но сопряженным. Рассмотрим теперь другой простой частный случай, когда модули коэффициентов связи равны, а фазы отли­

чаются на я, т. е. fhi = m2 = т, 6i = б, бг = б + я. Этот слу­ чай соответствует рассеянию на неоднородностях проводимости. Уравнения (5.1), (5.2) в переменных (5.3) для данного случая принимают вид

Система уравнений (5.46) имеет следующие стационарные ре­ шения:

§ 6] ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ 73

Мы рассмотрели условия существования и устойчивости ре­ жимов генерации с постоянными амплитудами и фазами. Анализ других режимов для случая антикомплексно сопряженных свя­ зей затруднителен. Качественное исследование уравнений (5.46) методом фазовой плоскости (см. § 6) показывает, что автомодуляционные режимы генерации в этом случае не возникают.

§ 6. Обсуждение результатов

Рассмотренные частные случаи наглядно демонстрируют, сколь сложная картина может наблюдаться вблизи центра доп­ леровской линии при условии сильной связи. Здесь в зависимо­ сти от начальных условий могут существовать либо режимы с постоянными интенсивностями волн, либо автомодуляционные режимы с различной глубиной модуляции. Переход от одного режима к другому может осуществляться как плавно, так и скачком. При изменении расстройки в ту или другую сторону наблюдаются явления гистерезиса.

Чтобы более наглядно представить себе всю эту картину, рассмотрим ход интегральных кривых на фазовой плоскости (х, Ф) для частного случая равных по модулю коэффициентов связи и равных добротностей. Величину модуля коэффициента

Величину превышения накачки над порогом г) положим равной

10-2, а суммарный коэффициент прозрачности зеркал 2 ( 1 — ч)

i

выберем 1% и 5%. Тогда соответственно т — 10-1 и т = = 2 -10-2.

Рассмотрим сначала случай, когда фазы коэффициентов связи отличаются на я (антикомплексно сопряженные связи). Учитывая, что вблизи центра доплеровской линии, т. е. при ма­ лых |а — р| и \Ь\, сумма интенсивностей у устанавливается значительно быстрее, чем разность интенсивностей х и разность фаз Ф, можно из уравнений (5.46) исключить у. Тогда получим

следующую систему уравнений для * и Ф:

во всей области расстроек частоты относительно центра допле­ ровской линии, за исключением узкой области вблизи границы

Рис. 5.2. Фазовый портрет системы. Крестики —устойчивые, кружки —не­ устойчивые особые точки.

а — Р = 0, на фазовой плоскости (х, Ф) имеется лишь одна ус­ тойчивая особая точка типа узла. Эта точка соответствует ста­ ционарному решению вида стоячей волны. При т = 2-10~2 вблизи границы а — р = О (р/у0ь = у/(ku) « 0,08) существуют три устойчивые особые точки (рис. 5.2,а): одна —типа узла, отвечающая режиму стоячей волны, и две — типа фокуса, соот­ ветствующие режимам двух бегущих волн с разными амплиту­ дами. Реализация того или иного режима зависит от начальных

§ 6] ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ 75

условий. Области притяжения особых точек разделены сепара­ трисами (на рис. 5.2 сепаратрисы выделены жирными линия­ ми). Предельных циклов на фазовой плоскости нет. Это значит, что в рассматриваемом случае режимы автомодуляции интен­ сивностей отсутствуют.

Для случая комплексно сопряженных коэффициентов связи картина интегральных кривых на фазовой плоскости получается

При выбранных значениях модулей коэффициентов связи внут­ ри области a — р < 0 система уравнений (5.48) не имеет ус­ тойчивых особых точек. Однако она имеет два устойчивых пре­ дельных цикла, окружающих две неустойчивые особые точки

двум режимам автомодуляции интенсивностей, отличающимся

одна из этих особых точек становится неустойчивой, но зато воз­ никают две другие устойчивые особые точки типа фокуса (точ­ ки Л и Л' на рис. 5.2, г), которые соответствуют режимам двух бегущих волн с разными амплитудами. Следовательно, в этой области расстроек в зависимости от начальных условий может существовать либо режим стоячей волны, либо режим двух бе­ гущих волн с заметно отличающимися интенсивностями. При

|6 |^ j/3 /2 m особые точки Л и Л' становятся неустойчивыми и остается лишь одна устойчивая особая точка, соответствующая режиму стоячей волны. Для т = 2 • 10-2 картина получается