ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 0
76 КОНКУРЕНЦИЯ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ связи [ГЛ. V
аналогичной, только область расстроек, в которой возможен ре жим с различными интенсивностями встречных волн, начинается
вблизи границы |
а — р = |
0. |
В силу того, |
что при |
одном и том же значении расстройки |
частоты генерации относительно центра доплеровской линии возможны различные режимы генерации, могут наблюдаться явления гистерезиса. Так, на рис. 5.3 изображена возможная зависимость интенсивностей встречных волн при изменении рас стройки в ту и другую сторону для случая комплексно сопря женных связей. Из этого рисунка видно, что положение области генерации встречных волн с разными интенсивностями зависит от направления изменения расстройки. При увеличении рас стройки область однонаправленной генерации возникает при более высоких частотах, чем при уменьшении расстройки.
Г Л А В А VI
РЕЖИМЫ СИНХРОНИЗАЦИИ И БИЕНИЙ ВСТРЕЧНЫХ ВОЛН
В КОЛЬЦЕВОМ ЛАЗЕРЕ
Исследование явлений синхронизации частот встречных волн
ирежимов биений имеет важное практическое значение в связи
сприменением кольцевых лазеров в качестве чувствительных гироскопов.
Вкольцевом резонаторе разность собственных частот Q ли нейно зависит от угловой скорости вращения (см. (2.41)). В ла зере из-за наличия связи через обратное рассеяние, а также из-за влияния активной среды зависимость разности частот встречных волн от скорости вращения искажается. При малых скоростях вращения происходит синхронизация встречных волн
в кольцевом лазере. Разность частот возникает лишь при ве личинах скорости вращения, больших некоторого критического значения. Вблизи области синхронизации частотная характе ристика существенно отличается от линейной.
Для технических применений кольцевых лазеров в качестве гироскопов необходимо детальное исследование частотных ха рактеристик вращающегося лазера: определение ширины об ласти синхронизации и исследование способов ее сужения, рас чет зависимости разности частот от скорости вращения вне об ласти синхронизации. Этим вопросам посвящена данная глава.
§ 1. Синхронизация частот встречных волн при слабой связи
При работе лазера в качестве гироскопа необходимо сущест вование двух встречных волн с близкими амплитудами. Это, как было показано в предыдущих главах, возможно либо при нали чии примеси второго изотопа активного газа, либо при доста точно большой расстройке частоты генерации относительно центра доплеровской линии, т. е. в области слабой конкуренции между встречными волнами. При этих условиях параметры а — р и b не являются малыми, вследствие чего целым рядом малых параметров можно пренебречь. Так, например, можно не учитывать члены пятой степени поля в разложении вектора
78 |
РЕЖИМЫ СИНХРОНИЗАЦИИ И БИЕНИЙ |
[ГЛ. VI |
поляризации. |
Кроме того, при расчете поляризации |
можно не |
учитывать пространственную модуляцию населенностей рабочих
уровней, |
которая дает вклад в коэффициенты а и р |
порядка |
||||
[y/(ku)f |
и [ii/{ku)f. |
|
|
|
|
|
Запишем исходную систему уравнений (4.4), (4.5) в безраз |
||||||
мерных переменных х — |
{е \ — El), у — ~^{е \ |
£ 2), Ф = |
(со, — |
|||
— со2)t + |
tp, — ср2, t — actrtf: |
|
|
|
||
х = х (1 — ay) + |
бу — [m, эт(Ф + ,0'1) + т 2шп(Ф + |
$‘z)\VУ2—лг2/2, |
||||
У = у ( 1 — |
у) — |
х2 + дх — |
|
|
|
|
|
|
— [rhi sin (Ф + fy) — fh2sin (Ф + |
•02)] V у2— x2j2, |
|||
ф = й — -jX + y[m ,cos (Ф + d|) (x — y)-\- |
|
|
|
|||
|
|
+ |
m2cos (Ф + й'г) (x + y)][YУ2'— *2. |
(6.1) |
||
Здесь точкой |
обозначено дифференцирование |
по |
7; |
Q = |
||
= Q/(codri) — разность частот встречных волн в единицах проч ности предельного цикла Дсорт).
Аналитическое решение уравнений (6.1) удается получить лишь при определенных ограничениях, накладываемых на па раметры кольцевого лазера. В этом параграфе будем использо
вать приближение слабой |
связи, |
когда выполняются |
условия |
т1,2 = |
" П , 2 |
< ( а - р ) . |
(6.2) |
|
Дсорт| |
|
|
Кроме того, предположим, что разность добротностей |
б также |
||
достаточно мала, т. е. |
|
|
|
| 6 l= ~ |
Li | tl21 < ( « - Р ) . |
(6-3) |
|
Условия (6.2) и (6.3) выполняются при достаточно больших превышениях накачки над порогом и вдали от области сильной конкуренции, когда а — р не очень мало.
При этих условиях оказывается, что интенсивности встреч ных волн мало отличаются друг от друга, т. е. \х\<£. у. Помимо этого, из условий слабой связи (6.2) следует, что при малых
частотах биений, удовлетворяющих условию |Q| «С 1, время установления суммы и разности интенсивностей много меньше периода биений. Это значит, что в уравнениях для суммы и разности интенсивностей можно пренебречь производной и искать установившееся решение.
Уравнения (6.1) будем решать приближенно, используя ме тод последовательных приближений по малым параметрам т и б.
§ I] СИНХРОНИЗАЦИЯ ПРИ с л а б о й с в я з и 79
В дальнейшем будет получено выражение для ширины поло сы синхронизации и частоты биений с точностью до членов вто рого порядка малости по коэффициентам связи и первого по рядка малости по б. Для вывода этих выражений достаточно вычислить сумму интенсивностей у в первом приближении по
всем |
малым параметрам, |
а разность |
интенсивностей |
х — во |
|||||
втором приближении по связи. |
|
|
|
|
|||||
Из уравнения (6.1) для у следует |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
mi sin (Ф + Oi) — m2 sin (Ф + ■&,,) |
М |
|||||
|
|
-------------------аг+р----------------• |
|||||||
Подставляя (6.4) в уравнение для х, получаем |
|
||||||||
|
2d |
mi sin (Ф + |
■fl'i) + |
m2 sin (Ф + ОД |
|
|
|||
* ~ |
а - р |
~ |
а - Р |
|
|
|
|
||
|
|
- 2 (а+- W |
К |
Si°2 (Ф + *,) '~ |
Sin2 (Ф + *2)]. |
(6.5) |
|||
С учетом (6.4) и (6.5) из уравнения (6.1) для Ф следует |
|
||||||||
Ф = |
Q — |
р + Поs*n (Ф + ф) + |
|
|
|
||||
|
+ |
4(» -» ■ ' [Й1sin! (Ф + |
®i) — *5 sl"!(Ф + »!» — |
|
|||||
|
- |
S C T К |
sin 2 (Ф + |
*,) + |
sin 2 (Ф + 02) + |
|
|||
|
|
|
|
|
-{- |
sin (2Ф -|- Oj “|- ^з)]* |
(^*6) |
||
Здесь величины Q0 и Ф определяются формулами |
|
||||||||
|
|
Qo= [ |
|
М*+ |
М*+ ^ |
Р |
I''' ’ |
(6>7) |
|
. |
__ |
b (mi sin fti + |
m2 sin 0 2) — (а — Р) (mi cos |
— m2 cos ft2) |
|
||||
ig Ф |
ь (mi cos |
cos $ 2) + |
(а — P) (mi sin |
— m2 sin d 2) |
' ‘ ' |
||||
В формуле (6.7) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
M —-j\th\ + |
m\ + |
2/n1m2 cos |
— '62)]1/2, |
|
|||
|
|
M2 = |
sin (dj — «2), |
|
|
|
|||
|
|
M3 = j [m\ -f m\ — 2fhxfh2cos (0, — 02)]I/4- |
|
||||||
Коэффициенты M, M3, M2 и П0 имеют простой смысл. В слу чае комплексно сопряженных и антикомплексно сопряженных связей М2 = 0. Коэффициент М в случае комплексно сопряжен ных связей равен т, а М3 = 0. Наоборот, при антикомплексно
сопряженных связях М3 = т, а М — 0, Величина По имеет
80 |
РЕЖИМЫ СИНХРОНИЗАЦИИ И БИЕНИИ |
[ГЛ. VI |
смысл ширины области синхронизации в первом приближении по связи.
В режиме синхронизации Ф = 0, так как ац = сог, и следо
вательно, |
|
|
й — |
= — Q0 sin (Ф + -ф) — |
|
~ |
К Sin2(Ф + |
— A l sin2 (Ф + %)} + |
+ |
8'“a - W ["*1 Sin 2 (Ф + |
<>i) + Al Sin2 (Ф + 02) + |
|
+ |
2/n!m2sin (2Ф + О]-f •бг)]- (6-9) |
Граница полосы синхронизации определяется из условия апериодической устойчивости синхронного режима [1]. (Легко убедиться, что при слабой связи колебательная устойчивость всегда имеет место.) Это условие имеет вид
—■Q0 cos (Ф + ф) + 4 |
[А] cos 2 (Ф + ■©,) + |
+ т\ cos 2 (Ф + #2) + 2m,/n2 cos (2Ф + ■б', -f О,,)] +
+17^ ру \А\ sin2 (ф + #i) + «2 sin2 (Ф + Оа) —
—2т[т2sin (Ф + •Q'i) sin (Ф + 'Ог)] +
+ |
= № № sin2 (Ф + *0 “ < sin 2 (Ф + 02)] + |
|
+ 4(aa- p -)l-^ '^ 2 s in (О, - fl2) > 0. (6.10) |
Исключая из (6.9), (6.10) величину Ф, можно в принципе получить явное выражение для ширины полосы синхронизации
Qe. Однако в общем случае эта задача не решается аналити чески. Поэтому рассмотрим частные случаи.
Прежде всего, обратим внимание на то, что квадратичные члены по связи имеет смысл удерживать тогда, когда линейный
член может стать малым. Из (6.7) следует, что Йо (линейный член в выражении для полосы синхронизации) обращается в нуль, если модули коэффициентов связи равны, т. е.
m1= m2, |
(6.11) |
а разность фаз удовлетворяет следующему условию:
= |
(6. 12) |
Если же модули коэффициентов связи существенно отли чаются друг от друга либо же разность фаз достаточно далека