Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

от того значения, которое следует из (6.12), то в выражении для ширины полосы синхронизации можно пренебречь членами вто­ рого порядка малости по коэффициентам связи. В этом случае из уравнений (6.9), (6.10) получаем следующие выражения для правой и левой границ области синхронизации:

а центр области при наличии разности добротностей для встреч­ ных волн смещен в точку

Q0 — д Ь р m , при антикомплексно сопряженных связях Q0= т .

Из (6.14) следует, что при изменении q полоса синхрониза­ ции изменяется нелинейным образом. При q <g. 1, т. е. когда модули коэффициентов связи близки (/П !~ т 2), зависимость полосы синхронизации от q линейна, с наклоном, зависящим от разности фаз отраженных лучей:

Затем с ростом q наклон кривой увеличивается и при больших q{q \$> 1) перестает зависеть от разности фаз отраженных лучей.

При этом зависимость Qo(<7) снова становится линейной:

Рассмотрим другой частный случай, когда модули коэффи­ циентов связи равны, а разность фаз удовлетворяет соотноше­ нию (6.12). В этом случае ширина полосы синхронизации опре­ деляется только членами, квадратичными по связи:

Если связь достаточно мала, то ширина полосы синхрони­ зации в этом случае близка к нулю.

Проанализируем зависимость ширины полосы синхрониза­ ции, определяемой формулой (6.7), от расстройки частоты ге­ нерации относительно центра доплеровской линии. Для лазера на чистом изотопе Ь/(а — Р) = уаь/ц и, следовательно,

= А М2+ ^2*. ММ2+ M l

Из этой формулы видно, что при М2 ф 0, т. е. при отличной от нуля и от л разности фаз коэффициентов связи, полоса синхро­ низации несимметрична относительно знака расстройки. При одном знаке полоса синхронизации монотонно убывает с рос­ том расстройки, а при другом знаке — сначала убывает, а за­ тем растет (рис. 6.1, кривая 1). Минимум полосы синхронизации достигается при ц = —у0ьМ/М2.

Для лазера, работающего на 50%-ной смеси изотопов актив­ ного газа в соответствии с (3.54), параметр b = х — р пропор-

Таким образом, разность фаз между встречными волнами представляет собой периодическую функцию с периодом

Г = 4я[(0 — Q')2 — Йо]_1/2.

Дифференцируя (6.18) по времени и усредняя за период, най­ дем постоянную составляющую разности частот волн:

Из формулы (6.19) следует, что при 6=^0 частота биений не­ симметрична относительно знака скорости вращения. Зависимость частоты биений от раз­ ности частот резонатора для

ми с частотой биений. Глубина модуляции интенсивностей в об­ щем случае различна для обеих волн. Определим ее выраже­ нием

Подставляя полученное значение Ф®К2Тр в выражение (6.21), найдем экстремальные значения интенсивностей встречных волн. Подставив их в выражение (6.20), получим

В частности, при комплексно сопряженных коэффициентах связи

(6.23а)

При антикомплексно сопряженных связях

Таким образом, глубина модуляции интенсивностей встречных волн при слабой связи вблизи области синхронизации не зави­ сит от скорости вращения, но зависит от ширины полосы резо­ натора и от превышения накачки над порогом.

§ 3. Биения встречных волн вдали от границы области синхронизации

Проанализируем асимптотическое поведение частотных ха­ рактеристик кольцевого лазера вдали от границы области син­ хронизации при произвольных значениях коэффициентов связи. Исследование в этой области значительно облегчается тем об­ стоятельством, что, как будет видно из дальнейшего, при дос­ таточно больших расстройках Q разность интенсивностей встречных волн становится малой при любых значениях коэф­ фициентов связи. Поэтому, как и при слабой связи, можно счи­ тать х <С У- Кроме того, вдали от области синхронизации час­

тота биений Ф примерно равна расстройке Q, т. е.

Полагая в уравнениях (6.1) у = уо + уи г/о = 2/(а + Р) и

учитывая, что y t <с уо, х <С Уо, Ф — Q, получаем для у и х сле­ дующие выражения:

у — Уо+ Ау sin Qt + Вуcos Qf,

(6.26)

x = x0-f Axsiq Ш -f Bx cos Ш.

волн оказывается малым.

Запишем теперь уравнение для разности фаз встречных волн. Пренебрегая малыми членами, из последнего уравнения

Усреднив (6.30) по времени за период биений, получим сред­ нее значение частоты биений как функцию Й:

Величина й 0 определяется выражением (6.7). Формула (6.31) показывает, какие имеются малые поправки к частоте й вдали от области захвата. Расчет таких отклонений разностной час­

тоты от величины й имеет большое практическое значение, по­ скольку он позволяет оценить влияние различных факторов на стабильность частоты биений в лазерных гироскопах.

Учтем еще некоторые дополнительные поправки к формуле (6.31). Напомним, чтоформула (6.31) получена на основе урав­ нений (6.1), при выводе которых предполагалось, что при из­ менении поля вектор поляризации всегда успевает установиться. Это предположение может оказаться неверным при достаточно больших скоростях вращения, когда частота й становится