ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 139
Скачиваний: 0
88 |
РЕЖИМЫ СИНХРОНИЗАЦИИ И БИЕНИЙ |
[ГЛ. VI |
сравнимой с естественной шириной линии уаь■Чтобы учесть ко нечное время установления вектора поляризации при изменении поля, запишем Pi,2(0 в виде
оо
(ePIi2( 0 ) - J И1.2(0 * 1 .2(*-<') |
(6.33) |
|
о |
|
|
Здесь &1Ш2— комплексные |
функции времени, |
определяющие |
поля встречных волн (см. (2.26)); |
|
|
|
оо |
|
«1. 2(0 = -^- |
{ хи2(ф)е~ш d®, |
|
где xj,2(w) — комплексная поляризуемость среды на частоте ш, действительная и мнимая части которой определяются форму лами (3.49), (3.50).
Функции ^1,2(0 можно представить в виде произведения медленных и быстрых функций времени. Разложив в формуле (6.33) — t') в интеграл Фурье по быстрому времени, по лучим
оооо
(еР,.2(0) = - ^ - { «1.2( П / Ёи2( г у - П , а > ) е - “»«-^с1ыси'. (6.34)
оо
Здесь е — малый параметр, £ li2(e£, со) — медленно меняющиеся комплексные амплитуды встречных волн.
Время установления вектора поляризации мало по сравне нию с временем релаксации поля, поэтому разложим функцию £i, 2(е (/— /'),со) в РЯД п0 ? и ограничимся линейным членом ряда. Изменив в формуле (6.34) порядок интегрирования, по лучим
оо оо
(еР\, 2 (*)) = 2^ | ^ 1.2 К |
®) е~ш йсл | ки2 (t') еш' dt' — |
— оо |
О |
ОО
е |
е~ш da |
Уки2(У)еш^У. |
|
2я |
|||
оо |
о |
||
|
Учтем теперь, что
ОО
J щ,2{У)еш dt = %U2{(i>),
о
J |
Ыи 2(t)eiat dt = — i |
(?х, 2(ш) |
о |
|
дф ' |
|
|
(6.35)
(6.36)
§3] ВИЕНИЯ ВДАЛИ ОТ ОБЛАСТИ СИНХРОНИЗАЦИИ 89
Подставляя (6.36) в (6.35), найдем выражение для векторов поляризации, учитывающее медленные изменения комплексной амплитуды поля:
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2я |
и |
><1,2 (со) Ёи 2 (а) + |
дх. 1, 2 д Е и 2 (а) |
|
||||||||
|
|
г- |
д а |
|
dt |
ш d a . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] • - |
(6.37) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В уравнения (2.40) для встречных волн входят величины |
||||||||||||||
(eP[t2(t)). |
Дифференцируя |
(6.37) |
дважды по времени и прене |
|||||||||||
брегая вторыми производными амплитуды поля, получим |
||||||||||||||
(ePi.2(0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
ГГ |
|
|
~ |
|
д ( а 3х, Л дЕ. „ (со) Л |
|
|||||||
= 25? |
J |
|
|
|
|
|
|
д а |
- |
|
dt |
J |
e |
( 6 -3 8 > |
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
, |
д((0гх К2) |
д Еи2 |
|
|||
|
(е'Ри2 (©)) = |
— (0 2К1, 2 (ю) Ё\, 2 |
(6.39) |
|||||||||||
|
|
д а |
|
dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Положим Ёи2 — ЕЬ2е *ф1>2. |
Вдали |
от |
области |
синхронизации |
||||||||||
можно положить Е \~ |
|
г\Уо1(2а) |
и £ 1>2 < ДцгФцгТогда |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i £ l h l ' |
1. 2» |
|
|
|
(6.40) |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
а (тЧ г ) |
|
a d \ l f ^ ® |
|
|
|
|
|
|
(6.41) |
|||
|
|
да |
|
|
4я |
[ ' |
я ku |
2 |
М |
да |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Изменив укороченные уравнения |
(6.1) с учетом соотношений |
|||||||||||||
(6.39) — |
(6.41) и решая их тем же способом, |
найдем выраже |
||||||||||||
ние для среднего значения частоты биений |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Ф: |
Q* — Q '------- f ( Q ) . |
|
|
(6.42) |
|||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
2Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДсОрЦ |
db V |
|
|
|||
|
|
Q*= |
6 |
|
|
|
|
|
(6.43) |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 (а + Р) |
да )_ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Первый |
член в круглых |
скобках |
определяет |
поправку |
к раз |
|||||||||
ности частот Q за счет линейной дисперсии, а второй — за счет |
||||||||||||||
нелинейной дисперсии. Эти поправки |
при |
Атрт)/уоь *С 1 яв |
||||||||||||
ляются |
малыми: первая |
порядка |
10_3, |
а |
вторая — для |
лазера |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ДОрД |
/ |
ц2 |
\ |
|
лазера |
на |
|
на чистом изотопе— порядка ------- |
1 ----- . |
Для |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
УаЬ |
V |
Уаь) |
|
|
|
||
50%-ной смеси изотопов поправка за счет нелинейной дисперсии
90 |
РЕЖИМЫ СИНХРОНИЗАЦИИ И БИЕНИЙ |
[ГЛ. VI |
имеет порядок |
Она значительно меньше поправ |
|
ки за счет линейной дисперсии.
Из выражения (6.42) следует, что асимптотой для частоты
биений служит не прямая |
-fL <£ = □ _ & ', а прямая с другим |
||||||
наклоном -^-Ф — й*— Q'. |
|
|
Q |
|
|
||
При больших скоростях |
вращения, |
когда |
» |
1, м , |
|||
ДюрД |
|||||||
зависимость (6.42) |
принимает вид |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
= Q*— Q' + ^ |
[cos (О, - fl2) - |
sin ('O’i -*>„)]. |
(6.44) |
||||
Таким образом, ход частотной характеристики при больших значениях расстройки Q существенно зависит от разности фаз
коэффициентов |
связи. |
Если |
tg(fti— #2) < |
( а — Р)/6 |
при |
||
cos ('в’1 — Ф2) > |
0 |
или |
же |
|
t g ^ i — -д2) > |
( а — Р)/6 |
при |
cos (,0’i — Ог) < |
0, |
то частотная |
характеристика |
приближается к |
|||
своей асимптоте |
сверху, |
в |
противном случае — снизу. |
Если |
|||
tg('O'l — ■d2) = |
(а — |3)/£>, |
то |
в |
рассматриваемом приближении |
|||
частотная характеристика совпадает с асимптотой. Чтобы оце нить отклонение от асимптоты в этом случае, выпишем точное
выражение для функции f(Q)
/ Й = |
ь2+ (а - |
р)2 |
(6.45) |
|
(а + Р)2 |
||||
|
|
|||
Отсюда следует, что при данной разности фаз отраженных лу чей частотная характеристика проходит всюду ниже асимптоты,
довольно быстро приближаясь к ней по мере роста расстройки Q. Исследуем теперь зависимость частоты биений от расстрой
ки частоты й в практически интересном частном случае, |
когда |
||||||
модули коэффициентов связи равны, т. е. ihi = |
m2 = in. |
|
|||||
|
При этом |
frl —^2 |
|
|
|
|
|
|
М = т cos |
Mi — 0, |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
^1—»2 |
|
|
М2= tn2[sin ($! —Ф2)]/2М, |
|
М3 = |
т sin |
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
/ Й |
— (q + P)2Q2 |
■cos2 |
•O'l —ftg |
+ |
|
|
|
= т 2{ |
|
|
|||||
|
( а - Р ) 2 + (а + р)2 £22 |
|
|
|
|
|
|
|
+ sin2 —‘ |
2 ~ |
+ |
|
sin (#i “ ^ 2)} * |
(6 -46) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
§ 3] |
БИЕНИЯ ВДАЛИ ОТ ОБЛАСТИ СИНХРОНИЗАЦИИ |
91 |
В частности, если фазы коэффициентов отражения равны, то
f (Q) = т |
2 |
Ь2 - (а + Р)2 Q2 |
(6.47) |
(а -Р )2 + (а + р)2&2 ‘ |
|||
Отсюда следует, что при |
|
|
|
I |
Q |
I |
(6.48) |
|
|
< Й + =7Га +ВР |
|
кривая зависимости частоты биений от Q идет ниже своей асимптоты, тогда как при |Q |> Q + она проходит выше. При
|П| = £2+ |
кривая |
<D(Q) пересекает |
асимптоту. В случае сла |
бой связи, |
когда |
й < < а — (3, точка |
пересечения с асимптотой |
находится далеко от границы полосы синхронизации, ширина которой в рассматриваемом случае равна Q0 = l Ь\т/{а — (3). От
ношение Q+/^o при этом оказывается значительно больше единицы. При увеличении связи точка пересечения все более приближается к границе полосы синхронизации, и когда отно
шение Q+/Q0 становится сравнимым с единицей, изложенные результаты в этой области становятся несправедливыми.
Если фазы коэффициентов связи отличаются на я, то
f (Q) = т 2 |
(6.49) |
и, следовательно, частотная характеристика всюду проходит ни же своей асимптоты.
Представляет интерес также выражение для частоты биений в случае слабой связи, удовлетворяющей условиям (6.11), (6.12), когда полоса синхронизации в первом приближении об ращается в нуль. В этом случае из (6.32) следует
Таким образом, даже если разность фаз коэффициентов связи такова, что полоса синхронизации близка к нулю, все равно имеются искажения частотной характеристики, тем большие, чем больше модуль коэффициента связи.
ПолученньГе асимптотические формулы для частоты биений
при достаточно больших расстройках Q справедливы как для слабой, так и для сильной связи. Условие их применимости имеет вид
trii + tn2 < 1 Q |. |
(6.51) |
Таким образом, чем больше связь, тем при больших расстрой ках становятся справедливыми приведенные выше формулы.