ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 147
Скачиваний: 0
Г Л А В А VII
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЬЦЕВОГО ЛАЗЕРА ПРИ МОДУЛЯЦИИ РАЗНОСТИ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРА
Наличие области синхронизации частот встречных волн при малых скоростях вращения существенно затрудняет использова ние кольцевых лазеров в качестве измерителей угловых скоро стей. Для того чтобы измерить малые скорости вращения, в коль цевой резонатор помещают невзаимный элемент (см. гл. VIII), создающий разность частот между встречными волнами. В этом случае режим биений будет существовать и в покоящемся коль цевом лазере. Вращение лазера приводит к изменению частоты биений. Чтобы зафиксировать это изменение, необходимо с большой точностью измерять частоту биений, а также поддер живать постоянными как расстройку частоты, создаваемую невзаимным элементом, так и все параметры лазера, опреде ляющие ход частотной характеристики вне полосы синхрониза ции: расстройку относительно центра линии усиления, фазы коэффициентов отражения, разность добротностей для встреч ных волн и др. (см. гл. VI).
В этой главе проводится исследование другой возможности измерения малых угловых скоростей вращения при помощи мо дуляции разности частот резонатора для встречных волн.
Если, например, кольцевой лазер поместить на колеблю щееся основание (подставку), то возникнет периодически изме няющаяся разность собственных частот резонатора для встреч ных волн. Эта разность частот будет пропорциональна произ водной угла поворота подставки. Если максимальное значение возникшей разности частот значительно больше ширины полосы синхронизации, то большую часть времени лазер будет работать в режиме биений. При этом в первый полупериод колебания подставки разность фаз между встречными волнами будет на растать, а в другой — убывать. В отсутствие постоянной со ставляющей угловой скорости суммарное изменение разности фаз за период колебаний подставки будет равно нулю. Если же постоянная составляющая имеется, то суммарное изменение разности фаз за период колебаний м о ж е т быть отлично от нуля,
ГЛ. VII] ЛАЗЕР ПРИ МОДУЛЯЦИИ РАЗНОСТИ ЧАСТОТ 103
В этом случае, регистрируя значения разности фаз через интер валы времени, равные периоду колебаний подставки, можно выделить эту постоянную составляющую скорости вращения. При малых скоростях вращения синхронизация имеет место и при таком способе измерения. Однако ширина полосы синхро низации уменьшается с ростом амплитуды колебаний подстав ки. Особый интерес представляет то обстоятельство, что зависи мость ширины области синхронизации от амплитуды колебаний подставки не является монотонной. Существует целая последова тельность значений амплитуды колебаний, при которых ширина области синхронизации обращается в нуль.
Модуляция разности частот резонатора может осущест вляться на практике различными способами (например, при на ложении переменного магнитного поля в частотном фарадеевском элементе). В дальнейшем мы не будем конкретизировать способ модуляции разности частот и будем формально считать модуляцию Й(/) обусловленной колебаниями подставки.
Режим синхронизации лазера на колеблющейся подставке будем рассматривать в приближении слабой связи, когда урав нение (6.6) для разности фаз Ф встречных волн можно пред
ставить в виде |
(см. § 1 гл. VI) |
|
|
Ч' + Q0 sin W = Q (/), |
(7.1) |
где Ч*' = Ф + |
ф, Qo — граница полосы синхронизации |
в отсут |
ствие колебаний подставки, определяемая формулой (6.7); tg ф определяется формулой (6.8); Й (/)— зависящая от времени расстройка частот кольцевого резонатора, вызываемая враще нием лазера и колебаниями подставки.
Уравнение (7.1) справедливо, если максимальное значение
разности частот Й(/) не очень велико, так что |
выполняется |
условие |
|
max| Q (/) К ДсйрТ]. |
(7.2) |
При условии (7.2) амплитуды встречных волн можно считать установившимися. Исключая их из системы уравнений (6.1), мы и приходим к уравнению (7.1) для разности фаз. Заметим, что условие (7.2) используется нами лишь для упрощения расчетов. Если неравенство (7.2) не выполняется, то необходимо решать полную систему уравнений (6.1). Такое решение проведено ме тодом электронного моделирования (см. § 3).
Обозначим измеряемую постоянную разность частот, вызван ную вращением лазера, через йь а разность частот, обусловлен ную колебаниями подставки, — й 2(0- Тогда Q(t) = Qi -+- й 2(/).
Исследуем решения уравнения (7.1) в частных случаях, ко гда колебания подставки задаются в достаточно простой форме.
104 ЛАЗЕР ПРИ МОДУЛЯЦИИ РАЗНОСТИ ЧАСТОТ [ГЛ. VI1
§ 1. Область синхронизации при пилообразных колебаниях подставки
Обозначим угол поворота подставки 0(/). Если 0 изменяется
пилообразно, то расстройка частот Q2(0> равная |
|
||||
|
о 2(0 = |
т х ё ( 0 , |
|
||
будет иметь вид прямоугольных импульсов, т. е. |
|
||||
Q2(0 = |
Q2 |
при |
0 < * < Г/: |
(7.3) |
|
- Q2 |
при |
T/2^.t^. Т. |
|||
|
|
||||
Здесь Т — период колебаний.
Чтобы лучше понять явления, происходящие в лазере на колеблющейся подставке, рассмотрим вначале случай, когда вы полняется неравенство
Q2 О0, Oi- (7.4)
При этом уравнение (7.1) можно решать методом последова тельных приближений. В нулевом приближении по малым пара метрам из (7.1) следует, что
Т<°> (t) = |
W0 + |
iV, |
0 < |
/ < |
Г/2, |
|
Т<°> (t) = |
VQ+ |
(T — t) Q2, |
T/2 < |
/ < |
T. |
(7-5) |
Постоянная To равна значению T при t — 0.
Набег разности фаз за время, равное периоду колебаний под ставки, в соответствии с уравнением (7.1) в первом приближении по Qi и Qo равен
т
AT = Q ,f — Й0 J sin Т<°> (/) dt =
= Q,7 - Q0 sin ( т 0 + П2 x ) — а 2гГ/'4)'- ' <7-6)
В выражении для AT первый член определяет изменение разно сти фаз, вызванное измеряемой угловой скоростью, а второй член — изменение разности фаз за счет связи волн через рас сеяние.
Из (7.6) следует, что при условии
2f-=*nn, « = 1 , 2 , 3 ......... |
(7.7) |
т. е. для некоторой последовательности амплитуд колебаний угла поворота подставки, связь через рассеяние не влияет на изменение разности фаз встречных волн за время, равное пе-
$ 1] |
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ МОДУЛЯЦИЯ |
105 |
риоду колебаний подставки. В этом случае |
|
|
|
AW = 0,7\ |
(7.8) |
Отсюда следует, что, измеряя значения разности фаз через ин тервалы времени, равные периоду колебаний подставки, мы мо жем непосредственно измерить угловую скорость вращения.
Если условие (7.7) не выполняется, то при достаточно малых расстройках Qi возникает режим синхронизации. Мы условимся называть режимом синхронизации такой режим, при котором набег фазы за период колебаний подставки равен нулю, т. е.
ДТ = |
0. |
Из (7.6) |
следует, что синхронизация имеет место при |
||
Qi ^ |
йю, |
причем |
ширина полосы |
синхронизации |
определяется |
выражением |
я , . — а» ,1п^ |
/4) . |
(7.9) |
||
|
|
|
|||
При выполнении условия (7.7) ширина полосы синхронизации обращается в нуль.
Выражение (7.9) было получено в предположении Й2^ Я 0, Яь Это ограничение использовалось лишь для простоты. Точное уравнение, из которого определяется ширина полосы синхрони зации Яю Ф 0, имеет вид
а{Т а£_ Q2 |
йщ + £2q |
Qfcl'0 S“ 2 |
|
+ } |
= 2 tg —7- tg |
1 + 2 - 2 2 |
tg |
||
4 |
ala2 |
i {a2 |
|
|
Здесь |
_____________ |
|
(7.10) |
|
|
(7.11) |
|||
ai.2= |
V (Я2 ± Я10)2 |
Qg. |
|
|
Можно показать, что ширина полосы синхронизации обращается
в нуль при tg(K Q 2 — Яо7У4) = 0, |
т. |
е. при |
|
VqI— Qo7’/4 = n«, |
|
п=1 , 2 , . . . |
(7.12) |
При Йг ^ Яо (7.12) переходит |
в |
(7.7). Явную |
зависимость |
ширины полосы синхронизации от амплитуды и периода колебаний подставки можно получить, если считать, что й 10 ■<
йг — Яо. Тогда получим
£Зо
о£ |
(7.13) |
1 - ■ |
Qn sin 2х |
|
Q, 2х
106 |
ЛАЗЕР ПРИ МОДУЛЯЦИИ РАЗНОСТИ ЧАСТОТ |
[ГЛ. VII |
где |
______ |
|
|
х = У & \ — £2* 774. |
(7.14) |
При £20 <С £22 формула (7.13) упрощается и переходит в (7.9). Случай пилообразных колебаний подставки является срав
нительно простым и удобным для расчета. При механических колебаниях подставки его трудно реализовать практически, так как невозможно получить достаточно больших ускорений в ме ханической системе (для получения идеальных пилообразных колебаний требуется создать бесконечное ускорение). Практиче ски гораздо проще и удобнее изменять скорость вращения по синусоидальному закону. Однако механический способ модуля ции £2г не является единственно возможным. Если осуществить модуляцию, например, с помощью невзаимного фарадеевского элемента, то можно приближенно реализовать рассмотренный случай прямоугольной модуляции £22.
§ 2. Расчет области синхронизации при синусоидальных колебаниях подставки
Положим Й2(0 = Й2 sin V/. Тогда уравнение (7.1) для раз ности фаз встречных волн примет вид
*F + £20sinxF = £2i-f £22sinvT |
(7.15) |
Точное решение этого уравнения получить невозможно. Поэтому воспользуемся методом последовательных приближений. Будем считать, что
- & « ! . ! < > '
В нулевом приближении по малым параметрам получаем
= % — Щ-соь\1, |
(7.17) |
где 'Fo— произвольная постоянная, которую мы дальше опреде лим. Подставляя (7.17) в уравнение (7.15), получаем уравнение первого приближения
ЧГ1= Q] -f- Q2sin vt — £20sin^xF0----cos v/j. |
(7.18) |
Мы ограничимся первым приближением, поскольку учет чле нов второго приближения не вносит ничего принципиально но вого в результаты. Из уравйения (7.18) найдем изменение раз ности фаз за период колебаний подставки
/VF, = (£2, — £20 sin XF0 Уд (Йг/v)) Т. |
(7.19) |
5 2) |
СИНУСОИДАЛЬНАЯ МОДУЛЯЦИЯ |
107 |
Если QiТ 1, то уравнение ,(7.19) можно заменить дифферен циальным уравнением
= О, - Qosin V0 J0 (Qa/v) *). |
(7.20) |
В режиме синхронизации dWo/dt = 0 и, следовательно,
So7o(£Vv)sinV0 = QI. |
(7.21) |
Отсюда ширина полосы синхронизации равна
QI0 = £20Л)(£Vv). |
(7.22) |
Таким образом, в сделанном нами приближении полоса син хронизации обращается в нуль, если
£2^ = 2,4; 5,5; . . . |
(7.23) |
Это означает, что полоса синхронизации равна нулю при опре деленных значениях амплитуды колебаний подставки. Оценим эти значения амплитуды, воспользовавшись соотношением
л |
LX Q2 |
|
И°~~ 8itS ~ • |
|
|
Пусть, например, периметр лазера L = |
40 см, площадь кон |
|
тура лазера 5 = 100 см2, длина волны X= |
0,63 мкм. Тогда |
|
0О= 10-6 = 0,2 -^- {сек).
Следовательно, первый нуль полосы синхронизациисоответ ствует амплитуде качаний, равной примерно половине угловой секунды.
Рассмотрим теперь влияние малых отклонений от точных зна чений амплитуды и частоты колебаний подставки. Эти отклоне ния наиболее существенны вблизи нулей полосы синхронизации. Поэтому положим
- ^ = (-^ )0 + |
Ш |
(7.24) |
и будемсчитать, что / о((П2/у)о) = 0. |
Случайный процесс |
| (t) ха |
рактеризует флуктуации амплитуды колебаний подставки. Раз
ложив функцию / о(П2/у) в ряд, получим из уравнения |
(7.20) |
V0 - Q„/| ((Qa/v)o) sin (V„) g (t) = Q,. |
(7.25) |
Отсюда следует, что случайная ширина полосы синхронизации
равна |
(7.26) |
Q10 = Qo-7. ((Q2/v)0) I i (0 I- |
*) В первом приближении величина То является медленно меняющейся функцией времени.