Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

В случае, когда время измерения значительно меньше вре­ мени корреляции случайного процесса £(Q, формула (7.26) дает выражение для ширины полосы синхронизации, обусловленной неточностью задания амплитуды колебаний подставки. Частота биений вне полосы синхронизации при этом равна

Если же время измерения значительно больше времени кор­ реляции случайных отклонений, то имеет смысл говорить об усредненной за время измерения полосе синхронизации. В при­ ближении вторых моментов получаем

Частоту биений вычислим при условии Qi » (Пю). Тогда

На основании полученных соотношений (7.26) —(7.29) можно оценить влияние медленных технических флуктуаций на частот­ ные характеристики лазера на колеблющейся подставке.

§ 3. Моделирование частотных характеристик

Поскольку в случае синусоидальных колебаний подставки мы можем получить лишь приближенное решение фазового уравне­ ния (7.1), справедливое при условии П0 <С Й2, то для исследо­ вания влияния параметра Q0/^2 на решение уравнения (7.1) нами был использован метод электронного моделирования. Ис­ следование проводилось при помощи электронной модели, опи­ санной в работе [6]. Расстройка частоты встречных волн задава­ лась в виде периодического сигнала. Форма этого сигнала могла быть выбрана как синусоидальной, так и прямоугольной.

Как отмечалось ранее, для выделения постоянной составляю­ щей расстройки частоты, обусловленной измеряемой угловой скоростью, необходимо сравнивать значения разности фаз встречных волн через интервалы времени, равные периоду коле­ баний подставки. Оказалось удобным фиксировать значения раз­ ности фаз в моменты скачков величины расстройки частоты при прямоугольной модуляции угловой скорости и в моменты про­ хождения синусоидой нулевых значений при синусоидальной модуляции.

При моделировании исследовалась полная система уравне­ ний (6.1), а не одно уравнение (7.1). Тем самым при сравнении известных решений, например, для случая прямоугольной моду­ ляции угловой скорости подставки можно было установить пра­ вомерность сведения системы амплитудно-фазовых уравнений к одному уравнению для разности фаз. Оказалось, что в этом случае зависимости ширины полосы синхронизации от амплитуды

Рис. 7.1. Зависимость ширины области синхронизации от амплитуды коле­ баний подставки.

и частоты колебаний подставки, полученные аналитически и из­ меренные на модели, в пределах точности измерения совпали при всех исследованных значениях параметров. Это подтверди­

ширины области синхронизации от параметра х при некоторых фиксированных значениях е.

Результаты измерений на аналоговой машине ради краткости изложения в дальнейшем будем называть экспериментальными.

На рис. 7.1 изображены экспериментальные зависимости ши­ рины области синхронизации от параметра х при двух значениях параметра е (е = 0,175, кривая 1'\ е = 0,4, кривая 2') для слу­ чая синусоидальных колебаний подставки. Кривые /, 2 на том же рисунке соответствуют аналитической зависимости (7.22).

Из рисунка видно, что при малом е экспериментальная кри­ вая достаточно близка к теоретической (кривые 1, Г). При

е — 0,4 разница между кривыми становится более существенной. Различие заключается главным образом в том, что ширина об­ ласти синхронизации, измеренная на машине, ни при одном значении параметра в исследо­ ванной области не обращается в нуль, а имеет конечное ми­

нимальное значение.

Была исследована зависи­ мость первого минимального значения области синхрониза­ ции от параметра е. Эта зави­ симость изображена на рис. 7.2. Оказалось, что в области зна­ чений в-1 от двух до трех ми­ нимальное значение ширины

в нуль при в-1 )>, 5,7.

При помощи аналоговой машины исследовалась также зави­ симость среднего значения частоты биений от постоянной состав­ ляющей угловой скорости вра­

щения Qi вне области синхро­ низации. При малых значениях параметра е полученные зави­ симости хорошо согласуются с формулой

ответствующие результаты получены на модели (рис. 7.3, кри­ вая 1). Для случая синусоидальных колебаний подставки зави­

низации, близкой к нулю. Кривая 2 соответствует х = 2,03, т. е.

формулой (7.30).

На основании приведенных частотных характеристик можно сделать вывод, что при малых значениях параметра е рассмат­ риваемый метод позволяет в принципе измерять малые угловые скорости, соответствующие расстройкам частоты, значительно меньшим ширины полосы синхронизации в отсутствие колебаний подставки. Минимальное значение угловой скорости, которое еще

Рис. 7.4. Зависимость частоты биений от при сннусоидалных коле­ баниях подставки. / —xss4,l; 2—*=*2,03; 3—jc» 4,83; 4—#e3,04.

можно измерить, определяется лишь уровнем флуктуаций ампли­ туды и частоты колебаний подставки, причем влияние флуктуа­ ций также ослабевает при уменьшении параметра е.

Здесь следует заметить, что диапазон угловых скоростей, ко­ торые могут быть измерены рассматриваемым методом, оказы­ вается ограниченным не только снизу, но и сверху. Результаты моделирования показывают, что при величине Qi ~ v/2 и Qi ~ v происходит синхронизация измеряемой частоты биений с ча­ стотой колебаний подставки. В области синхронизации измеряе­ мая разность частот встречных волн остается постоянной при изменении расстройки и имеет значение v/2 или v соответ­ ственно. Ширина наблюдаемой области синхронизации увели­ чивается при увеличении связи, что эквивалентно увеличению па­ раметра е при фиксированном значении Ог- В результате при больших параметрах е возникает сильное искажение частотной характеристики.

На рис. 7.3 и 7.4,6 изображены частотные характеристики соответственно для пилообразных и синусоидальных колебаний

характеристики при синусоидальной модуляции угловой скоро­ сти. Кривая 3 на рис. 7.4,6 получена в области первого мини­ мума ширины области синхронизации (х = 4,83). В случае пря­ моугольной модуляции угловой скорости частотные характери­ стики искажены в значительно меньшей степени (кривая 1 на рис. 7.3, соответствующая х = 3,4). Кривая 4 на рис. 7.4,6 и кривая 2 на рис. 7.3 получены при х — 3,04 и х — 4,5 соответ­ ственно.

Проведенный нами анализ показал, что для эффективного уменьшения ширины полосы синхронизации необходимо обеспе­ чить наибольшее из возможных отношение Q2/Qo. В то же время для расширения рабочего диапазона измеряемых скоростей ча­ стота модуляции должна быть выбрана достаточно большой,

Qi <§; V. При выполнении этих условий можно рассчитывать на большую эффективность изложенного метода.

§ 4. Случайные колебания подставки

Предположим теперь, что разность частот Q2(0> обусловлен­ ная колебаниями подставки, является случайным процессом, т. е. Q2(t) = Если время корреляции случайного процесса £(/) мало по сравнению с 1/Qj (это условие выполняется при малых скоростях вращения), то его можно считать белым шумом. Урав­ нение (7.1) в этом случае может бв1ть записано в виде

W = Q, — Q0 sin ¥ + g(f),

полностью аналогичном уравнению (18.43) в книге Стратоновича [8]. Воспользуемся полученными там результатами. Из фор­ мулы (18.55) [8] следует, что среднее значение частоты биений равно

Здесь e = Qo/(g2)o, (|2)0 — спектральная плотность случайного процесса %{t) на нулевой частоте.

Влияние синхронизации частот встречных волн будет значи­