ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 171
Скачиваний: 0
164 |
УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ |
[ГЛ. XI |
уравнениям (в системе, связанной с атомом)
сif |
l®abPab VabPab "Ь W (0 (Paa Pbb)> |
= - YftPw + YaPaa + VbPbb + i V (0 (Pba ~ Pв»)
(P&a Pab)
где (йаЬ — частота перехода; Y0Pi°i» Y6pj$ — накачка атомов, дви жущихся со скоростью v, на уровни а, b в единицу времени в единицу объема; уа и уь— обратные времена жизни генерирую щих уровней а, Ь\ уаь— полуширина линии спонтанного излуче ния отдельного атома. По сравнению с аналогичными уравне ниями (2.10)— (2.13), использованными в первой части, здесь в уравнении для функции раь добавлен член YaPaa. учитываю щий спонтанный переход с уровня а на уровень Ь.
Матричный элемент hV(t) энергии взаимодействия движу |
|
щегося атома с полем зависит |
от координаты атома z' == z +* |
,+ £>(/ — t0): fiV(t) = — dE(z',t). |
Здесь E(z',t) — электрическое |
поле в точке z’ в момент t, а d = |
йаь— недиагональный матрич |
ный элемент дипольного момента между состояниями а (верх ний уровень) и b (нижний).
В уравнение (11.46) включена накачка. Это значит, что p(z,.to, t,v) описывает совокупность всех движущихся со ско ростью v атомов, которые были возбуждены в момент времени V <. t0 и приходят в точку z в момент времени to. Матрица плотности атома, движущегося со скоростью и, в зависимости от времени t и момента возбуждения t' вычислялась в работах [6, 8]. Возможность такой постановки задачи, в которой не фик сируется момент возбуждения атома t', была доказана Лэмбом
и Сандерсом [22]. Уравнения (11.46) |
справедливы в случае ста- |
||||
ционарнои накачки I- -ц- — d№ = |
UI. |
|
|
||
Не рассматривая |
процессов |
установления для |
матрицы |
||
плотности, мы будем |
искать решение уравнений |
(11.46) в мо |
|||
мент времени /, причем t —taач» |
Ya'> YjT1. Y^'. |
где |
ta!i4 — мо |
||
мент включения накачки. Легко показать, что при таких t ре шение уравнений (11.46) не зависит от начальных условий
(рнач) •
Предполагая поле слабым [6—9], т. е.
§ 6] |
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ СРЕДЫ |
165 |
будем решать систему (11.46) по теории возмущений, прене брегая при интегрировании зависимостью амплитуд Еп и фаз <рп от времени, т. е. считая, что время релаксации поля Грел боль ше, чем наибольшее из времен у"1, у^"1,
^рел > v r1. Уь1, Уаь-
Положим, что в генераторе имеются типы колебаний с од ним и тем же поперечным распределением*). Рассмотрим ге нератор бегущей волны. В приближении плоских волн поле в нем является суммой бегущих волн
£ ( 2 , o = Y S £ " We~4V+<p't<<)"v ) + K - с- |
(1U7) |
kn = 2nqn/L, где qn— большое целое число, знак которого опре деляет направление распространения волны.
Приведем результаты интегрирования системы (11.46). В ну левом порядке по полю отличны от нуля только диагональные элементы матрицы плотности
р « = е р» = р й + ^ рй - |
(ы.48) |
Они характеризуют заселенности уровней а, b в отсутствие поля. В первом порядке по полю заселенности не меняются, однако появляются отличные от нуля недиагональные элементы матрицы плотности раЬ = р*Ьа, которые характеризуют наличие
вынужденного излучения атомов в поле (11.47) при заданных заселенностях уровней:
|
1 d N 0 |
у |
Епе х р {— i (сont —knz + (pn |
—knv (t —f 0))) |
(11.49) |
|
2fiyab |
Lk |
1+ 1 (&ab ~ “ « + knv)hab |
||||
|
||||||
где N0 — |
(1 — Ye/Yfr) — Pbl — разность |
заселенностей уровней |
||||
a, b, создаваемая накачкой в отсутствие поля.
Вынужденное излучение приводит к тому, что заселенности уровней стремятся к выравниванию. Во втором порядке по полю
получим |
изменение |
заселенностей под действием поля |
|||||||
р(2> |
_ . |
|
d% |
1+ ’ ®ab — toп + vkn у |
|
|
|
|
|
гаа |
2Ъ2УаУаЬ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
УаЬ |
|
|
|
|
|
+ |
Re 2 |
|
E nEmexp[—l[(a>m—a n)t + ( f m ~ 4>п~(km — kn) ( z - f a |
(< —-*<oо))l)]П |
|||||
|
l + l. (On — (Om — V (kn — km) |
) ( |
- |
. (Slab |
+ |
ok, |
|||
|
пфт |
||||||||
|
|
|
|
|
|
УаЬ |
Ч Г |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.50) |
*) Взаимодействие мод с различными поперечными распределениями бу дет рассмотрено ниже.
166 УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ [ГЛ. XI
Введем следующие |
обозначения: |
а>'п ; ©л— knv — частота |
|||
волны в системе движущегося атома; |
|
|
|||
|
f'n- Уab uab |
|
|
|
|
Тт(а ). 1 |
1УаЪ f т ' |
ftn' |
|
(11.51) |
|
|
|
'л > |
In |
Уab |
|
|
|
|
|
|
|
Фпт — (©л |
©т)^~Ь фл Фт (&л |
^т) "Ь О |
^о) ) |
||
— разность фаз волн п, |
т в момент t |
в точке 'г' = z + v (t — to), |
|||
в которой находится атом; £™(Ь)' определяются через |
за |
||||
меной уа->у ь- |
в этих обозначениях: |
|
|
||
Выпишем |
|
|
|||
Ye |
(11.52) |
|
|
Как видно из (11.50), (11.52), при наличии генерации более |
|
чем одной волны изменение заселенностей уровней pfj под |
|
действием поля состоит из двух членов: первый член постоянен в пространстве и во времени, а второй член зависит от разности фаз волн фпт, которая меняется в пространстве и во времени. Этот член, который мы будем обозначать р Мод, описывает моду
ляцию заселенности. |
Его можно представить в следующем виде: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Y |
J |
v s "Er l : |
i соз(Фта, |
+ |
о |
(11.53) |
||
где |
|
|
|
|
|
т < п ЖУаЬУа |
| С;С„ |
|
|
|
|
|
||
|
|
/ |
Г1 |
|
|
|
\ 2 ‘ |
|
|
|
\21 |
|
||
п<°> |
= |
2 |
+ |
|
/ |
1 + |
©л |
' |
|
|||||
|
2V,ab |
|
|
|
|
|
||||||||
и пт |
= |
*• |
|
|
|
Уа |
|
|
|
|||||
* 8 ^ |
= |
|
(“т “ |
®л) (Ye + Ьаъ) «(а) |
|
|
|
|
(11.54) |
|||||
2 [VoYafi - |
V* К |
~ < ) 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
/ |
\2 |
|
|
|
|
|
Уа |
|
|
|
|
|
|
/ |
®л + |
® т “ |
2 ®аЬ |
|
|
ч,ab |
|
||
|
|
|
1+ |
®/»“ ©т |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2V,ab |
|
|
Чab |
|
1+ |
Yа |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
А {а) |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч,аЪ |
|
||
ппт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
~ тт)2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t ] | © л-® тУ [ /® л + ® т~ 2®аьУ 1
Ч,аЬ |
ч.аЬ |
|
1 |
ЧдУдЬ
(®л ~ ®>л)2
ЧдУдЬ
§ 6] |
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ СРЕДЫ |
167 |
Из выражения (11.53) видно, что имеется сдвиг фазы моду ляции заселенности относительно фазы фпт модуляции энергии поля
\ЕГ = ^ Е 2п + 2 5] ЕпЕтcosqw
пп < т
на величину ф „ т . Э тот с д в и г , характеризующий отставание мо дуляции заселенности от модуляции энергии поля, определяется в основном разностью частот волн (о'п— со'т в системе атома. Если частоты волн в системе движущегося атома равны со^=а>т. то сдвиг фаз фпт равен нулю. При симметричном расположе
нии частот волн А(°!п= 1 |
и из (11.45) видно, |
что с ростом раз |
||
ности частот волн |
| а'т— (о^| |
сдвиг фаз |ф |^ | |
растет от нуля |
|
(при со'п= со'т) до |
л/2 |
(при |
| < — а'т| = 2уаУаь) и далее при |
|
увеличении разности частот стремится к л.
Сдвиг фазы ф модуляции заселенности относительно фазы модуляции энергии поля является фактором, определяющим конкуренцию волн (см. § 1 гл. X).
В третьем порядке по полю решение системы (11.46) дает изменение недиагональных элементов матрицы плотности раЬ
вследствие |
уменьшения |
|
разности |
заселенностей |
уровней |
|||||||||||
Раа — Pss ПРИ вынужденном излучении |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(3) = id3jV0 I |
2 |
|
2 Е РЕ п еХр 1 ~ 1[ V + |
|
фР (<) - |
кр (г + |
о (t - |
<„))]) |
X |
|||||||
Раб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|С '|гс' |
|
|
|
|
|||
М-Уаь |
р,п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
X |
Уаь + |
|
УаЪ- ^ |
|
_ V |
+ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
L |
Уа |
|
|
УЬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ £ Е Р Е п Е < |
ехр { - |
»[(со |
+ |
<*т - |
|
<0„) / + |
Фр + Фт |
- |
Ф„ - |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
- ( k P + |
k m - k n ) ( z + |
v ( t - t 0 ) ) ] ) X |
|||||||||
р.ПчЫп |
|
|
|
|
|
|
УаЬ |
|
С с Г ' |
|
|
|
|
|||
|
X |
Г |
|
УаЬ |
|
|
|
1 — |
|
Ye |
+ |
|
|
|
||
|
L |
V tn{a)' |
№°т |
УУью \ |
|
V 1п{а)' |
|
|
|
|||||||
|
|
*аът |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ехр {— I [(сор |
(0/п + С0„)t + фр—фт + фn—(kp—km + kn) (z + О (t—lо))]} |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I't-PP' |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
X |
УаЬ |
+ |
|
УаЬ |
l |
|
Ye |
|
|
(11.55) |
|||||
|
|
V |
|
|
|
|
Y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
v 1т(а)‘ |
|
|
yb^ {bY |
|
|
|
|
|
||||
г д е |
|
|
|
»а>п |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f.pm' |
|
1 |
;fPm' |
f |
fpm'__ |
|
+ |
CO^, — co' — coa6 |
|
|
||||||
* p |
r |
|
i |
f p |
- |
|
r |
|
|
|
|
|
|
(11.56) |
||
bn |
~ |
|
1 |
4n |
> |
Tn — |
|
|
|
Yab |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
168 |
УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ |
[ГЛ. XI |
В выражении (11.55) для р® первая сумма характеризует из
менение вынужденного излучения вследствие постоянного в пространстве и времени изменения разности заселенностей под действием поля. Вторая сумма в (11.55) характеризует изме нение вынужденного излучения вследствие пространственновременной модуляции заселенностей равМод — рььмод.
§ 7. Поляризация газовой активной среды
Поляризация, создаваемая атомами, движущимися с фикси рованной скоростью. Поляризация среды Р на выделенном пе реходе определяется недиагональными элементами матрицы плотности. Атомы, движущиеся со скоростью о, дают в поля ризацию среды вклад
P(z, t, v) = d[pab(z, t, t, v) + pba(z, t, t, t>)]. |
(11.57) |
Влияние поляризации среды P(t,v) на п-й тип колебания ха рактеризуется величиной (см. § 1)
(11.58)
Подставив (11.49), (11.55) в (11.57), (11.58), получим
Здесь и в дальнейшем в правой части предполагается сумми рование по всем индексам, характеризующим типы колебаний, за исключением п. В (11.59) использованы следующие обозна чения:
4>slPn 3 3 (со, + |
<0/ — ®р— co„)t + <р4 + Ф; — фр — ф„, |
|
( 1> ks -\-kj--kp — kn— 0, |
|
{ |
*/рл = \0 , ks -{- k, — kp— kn=t=Q, |
|
Mn{v) = |
- - p - z s — on — i (ti„ -f NnJ N 0), |
|
'П |
§ 7] |
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ГАЗОВОЙ АКТИВНОЙ СРЕДЫ |
169 |
’Р
|
|
|
(11.60) |
В формулы (11.60) |
мы подставили d = dab. |
|
|
Из выражений |
(11.60) видно, что поляризация ансамбля ато |
||
мов, |
движущихся |
со скоростью v, зависит |
от частот волн |
tOn = |
(o„ — knv в системе движущегося атома. |
Поскольку допле |
|
ровский сдвиг частоты knv зависит от направления распростра нения волны (от знака kn), то поляризация зависит не только от частот волн в лабораторной системе, но и от направлений распространения волн.
Выражение (11.59) для Рп показывает, что в силу нелиней ного взаимодействия поля со средой на поляризацию Рп на п-м типе колебаний влияет не только поле самого n-го типа, но и поле колебаний других типов. Член Fns (11.60) описывает парное взаимодействие п-го и s-ro типов колебаний; он состоит из двух слагаемых: первое, пропорциональное 1 /|£ '|2, характе
ризует уменьшение вынужденного излучения в n-ю волну из-за постоянного в пространстве и во времени уменьшения разности заселенностей при генерации волны s; второе, пропорциональное С'ns, характеризует изменение вынужденного излучения в п-ю волну вследствие наличия модуляции заселенностей из-за ин терференции волн п, s. Член WSjP описывает тройное взаимодей ствие волн, которое связано целиком с модуляцией заселен ности, возникающей при интерференции двух волн: р, s (первое слагаемое C'„s) и р, j (второе слагаемое C'pj).
Поляризация активной среды с однородно уширенным контуром усиления. Если неоднородное уширение спектральной линии оказывается меньшим ширины линии отдельного атома \аь(ки < уаъ) , то говорят об однородном уширении спектраль ной линии. В газовой среде однородное уширение линий наблю дается в дальней инфракрасной области, а также при достаточ но больших давлениях, когда в первом приближении можно счи тать, что столкновения атомов приводят к увеличению ширины спектральной линии \ аь (не изменяя неоднородной ширины ku).
В модели однородного уширения полагается, что излучаю щие атомы находятся в одинаковых условиях (одинаковы