ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 168
Скачиваний: 0
160 |
УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ |
(ГЛ. XI |
|
(Я |
Отметим, что в |
пределе бесконечно большого |
зеркала |
w) коэффициент |
связи встречных волн отличен |
от нуля, |
|
хотя и имеет чрезвычайно малую величину |
|
||
|
|
|
(11.40) |
В гл. II было рассмотрено обратное рассеяние плоских волн на безграничном зеркале и получено т^' = 0. Полученный здесь
результат объясняется учетом того факта, что поле, падающее на зеркало, не является плоской волной, амплитуда поля па дает при удалении от оси. Однако параметр, определяющий скорость спада поля ру, гораздо больше периода интерференции на зеркале полей падающей и рассеянной волн длины X. В силу этого коэффициент связи хотя и отличен от нуля, но очень мал:
Выражение для коэффициента обратного рассеяния /лоо со держит фазовый множитель ехр(—i4nz3/X), который осцилли рует при дрожании зеркала, т. е. стабильность фазы коэффи циента обратного рассеяния обеспечивается при закреплении зеркала с точностью Az3 Х/8. Отметим, однако, что соотноше ние между коэффициентами связи встречных волн
(11.41)
которое выполняется для вещественных коэффициентов отра жения гх и гу, не зависит от дрожания зеркала.
Связь встречных волн разных поперечных мод можно оце нить на основании формул (11.34), (11.35) и (11.32). Приведем выражения для коэффициента связи встречных волн основной моды (т а — па = 0) и моды Ь с более высокими поперечными индексами:
mat = i2vQe - i(kSb+k$ z*LfnbMZb (Ааь ~ A'ab) |
(11.42) |
(s, s' = 1, 2, s=j£s'),
где при | w | > | d |
а
-а
(k = 0, 1,2, ...).
§ 8] |
ВРЕМЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ |
161 |
Интеграл Atfom отличен от нуля при т = 2k и определен фор мулой (11.33). Сравнение формул (11.42) и (11.39) показывает, что коэффициент связи встречных волн с разными поперечными распределениями оказывается больше, чем связь встречных волн основной моды. Это объясняется тем, что угол расходимо сти поперечной моды высшего порядка больше, чем основной моды, и соответственно доля излучения, рассеянного на зеркале, возрастает.
§ 5. Временные уравнения поля
Подставив выражение для Па (11.23) в уравнение поля (11.11), получим систему уравнений для коэффициентов разло жения поля по модам S as
d^as_ + Дсйа d |
+ |
= |
|
|
|
= ОЖ'« #«.' - |
+ |
Q* 2 |
S |
Iflab'&bs, (11.43) |
|
|
|
(s, s' = 1 ,2 ; |
b |
a Si—s, s' |
|
|
|
s ^ s ') . |
|
||
Здесь Ao)a = 4яа/е + |
До^) — полная ширина |
линии резонатора, |
|||
обусловленная уходом излучения из резонатора через зеркала
тs$ (I)
Дсо^3): и объемными потерями от. При выводе (11.43)
I
ПОЛОЖИЛИ }а — 0 ( £ а.
В (11.43) суммирование производится по всем модам иде ального резонатора, причем в сумму входят как волны, бегущие
в |
ту же сторону, что волна a, s |
(si = |
s), так и волны, бегущие |
в |
противоположную сторону (si |
= s'). |
Отдельно выделено взаи |
модействие с встречной волной той же моды.
Из уравнения (11.43) следует, что если имеется поле в не котором типе колебаний b на частоте соь, то на этой же ча стоте имеется вынуждающая сила для всех типов колебаний, для которых thgl' ¥= 0. В результате этого поле в резонаторе
с не полностью отражающими зеркалами деформировано по сравнению с полем идеального резонатора — амплитуда и фаза волны на частоте соь меняются в зависимости от координат. Вы числим величину этой деформации — найдем поле в волне a, s на частоте соь, на которой имеется генерация ffbsi- Положив в
(11.43) Ра = 0, получим
4 = (Qas - Об,.) + i (Д“в/2 “ Д«У2) * |
(11.44) |
|
6 Под ред. Ю. Л. Климонтовича
162 |
УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ |
[ГЛ. XI |
отсюда видно, что эффектом деформации можно пренебречь, если
_________ Ч^аЬ________ |
< 1. |
||
Qas ~ Qbs, ~ |
* ( Д “ а / 2 - Д“ й/2 ) |
||
|
|||
Для разных продольных волн, бегущих в одном направлении (si = s), Дсоа == Дсоь, поэтому пренебрежение продольной де формацией возможно, если (в случае линейной поляризации см. (11.28))
Д (0 (з>
I йа — йь l > v0 (1 — rMaa) = —Y~,
т. е. если разность частот резонатора значительно больше ши рины линии резонатора, обусловленной уходом излучения из резонатора.
При пренебрежении дифракцией на зеркалах можно найти поле в резонаторе с учетом продольной деформации из-за про
зрачности |
зеркал. |
Согласно выражениям (11.10) и (11.9), |
|||||||
(11.44) |
и |
(11.29) поле |
бегущей |
волны линейной |
поляризации |
||||
в первом порядке по 1— г <С 1 равно |
|
|
|||||||
|
|
Е (г, 0 = |
у |
(t) Еъ (г) F (z) + к. с., |
(11.44а) |
||||
г д е |
|
|
|
|
|
Ур e x p {t ( kg — k b) (г - z 3) ) |
|||
|
F(z) = l + |
i ( \ - r ) |
5 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
а ф |
b |
|
|
|
|
Так как спектр продольных мод эквидистантен, т. е. |
|||||||||
|
|
й в- й |
ь = |
- М |
| й а | |
kb|) = |
2nv0s, |
|
|
|
|
|
|
Уе |
|
|
|
|
|
где s — целое число |
(s меняется от —оо до +оо), то |
||||||||
|
|
f ( z ) — |
l + |
|
Г |
оо |
|
z3) / L ] |
|
|
|
1 ~ |
у |
s in [ 2 n s ( z - |
|
||||
|
|
|
|
|
|
5—1 |
|
|
|
Для бегущей в положительном направлении оси z волны |
|||||||||
F+{ z ) = |
1—f(z), для встречной волны F-(z) = 1 + |
f(z), где |
|||||||
f(z) — 1~ r ^ |
sin ^2я5 |
~ |
^ 1__ |
г ~ 2з |
|
||||
5=*1
(0 < z — z3>L).
Поле (11.44а) на зеркале (z = z3) испытывает скачок и с точ ностью до малых членов порядка (1— г)2 удовлетворяет гра ничному условию (П.2).
§ 6] |
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ СРЕДЫ |
163 |
Для разных поперечных мод условие пренебрежения дефор мацией — малость коэффициентов перекрытия мод
Qg - |
Ob \2 |
( Vo |
j + (Маа— Mjj)2 r2Mlb. |
/ |
При пренебрежении деформацией поля в резонаторе уравне ние для комплексной амплитуды а-й моды примет вид
Эти уравнения совпадают с одномодовыми уравнениями (2.40), полученными в гл. II. При пренебрежении обратным рассеянием (таа — 0) уравнения (11.45) совпадают с исходными уравне
ниями Лэмба. Подчеркнем, что добротности встречных волн одинаковы.
Чтобы получить замкнутую систему уравнений для нахож дения амплитуд и частот генерации, нужно уравнение поля (11.43) или (11.45) дополнить уравнениями для определения поляризации активной среды. Поэтому перейдем к определению поляризации среды.
§ 6. Уравнения состояния среды.
Матрица плотности атома в поле нескольких мод
Вычислим поляризацию — средний дипольный |
момент |
еди |
|
ницы объема среды |
|
|
|
Р(г, 0 = 2 dmnpmn(r, t) |
|
|
|
(dmn— матричные элементы дипольного момента |
атома). |
|
|
Как и в гл. III, среду будем описывать двухуровневой мат |
|||
рицей плотности, т. е. т, п = а, Ь, причем |
т Ф п, где а, |
b — |
|
уровни, дающие вклад в генерацию. |
матрицы плотности |
||
В гл. II приведены уравнения (2.7) для |
|||
атомов в лабораторной системе координат. В настоящем пара графе используем уравнения матрицы плотности в системе, свя занной с движущимся атомом. Такой способ описания исполь зуется во многих работах и является эквивалентным использо ванному в первой части.
Матрица плотности р(z,i0,t,v) атомов, движущихся со ско ростью v и приходящих в точку z в момент to, удовлетворяет
в*