ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 166
Скачиваний: 0
§ 4] ДИФРАКЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗИ 155
Здесь 2b — размер зеркала в направлении х, перпендикулярном плоскости падения, 2d— размер зеркал в плоскости резонатора. Величина Маь определяет связь волн вследствие того, что ко эффициент отражения зеркала отличен от единицы, М'аь опре деляет связь волн из-за ограниченности апертуры зеркала.
Связь волн, бегущих в одном направлении. Оценим вели чину интегралов Маь, М'аЬ в простейших случаях. Для волн, распространяющихся в одном направлении, волновые векторы близки: kb — ka ~ 2n/L. Так как масштабы поперечного рас пределения поля рх, Ру значительно меньше длины резонатора L, то в той области, где поле отлично от нуля, показатель
экспоненты |
в |
интегралах (11.26) |
мал ((kb — ka)y t g a ^ |
|
~ |
(2n«/tga)/L -С 1). Поэтому экспоненту можно положить рав |
|||
ной |
единице. |
В |
этом приближении |
интегралы Маь, М'аь свя |
заны друг с другом вследствие ортонормированности собствен ных функций:
|
|
|
МаЬ= |
^та’Пь^>папЬ— ^ab> |
|
(11.27) |
|||
где б/н —символ |
Кронекера. |
Отсюда для волн, |
бегущих |
в од |
|||||
ном направлении, имеем |
|
|
|
|
|
|
|||
“ |
4>я “ |
гЧ |
"Р !' [№ - |
- |
К ) г , - |
<11(г,) + Ф’. (г,)]) X |
(11-28) |
||
|
|
|
X К |
А |
- |
ЛМ ° ь+( \ ь - |
К ь ) \ |
||
Здесь |
для |
конкретизации |
введен |
индекс s = 1, |
2, определяю |
||||
щий направление распространения волн. Индексами а, b будем нумеровать разные моды, без учета направления распростра нения волны, т. е. a = (|<7a|, та, па), причем в каждой моде имеются две встречные волны (s = 1, 2).
При вещественных коэффициентах отражения гх, гу вели
чины Ааь, А'аь вещественны, если |
поляризации мод а, Ъ линей |
|||
ные, |
круговые, а также эллиптические с главными осями эллипса |
|||
вдоль а: и у. При этом из (11.28) |
следует, что thlJb= — (гпЦ)’- |
|||
Для одинаковых поперечных |
мод |
А'аь— 1', Маь М ' аь = |
1. |
|
Кроме того, при достаточно большой апертуре зеркала (Ь |
рх, |
|||
d |
ру) можно пренебречь хвостами |
распределения поля, вы |
||
ходящими за апертуру зеркала. При этом из (11.26) получим МаЬ= 1. Подставив теперь в (11.28) выражение Ааь (11.19), получим
К ь = К х е Ьх О ~ г х) + е ауе Ьу{1 - Гу)] i2 v 0 е Х {*Р ( k b ~ К ) *з] ■
(11.29)
Таким образом, неидеальность отражения зеркал (отличие ко эффициентов отражения от единицы) приводит к связи разных
156 УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ [ГЛ. XI
продольных мод |
(мод с разными волновыми векторами kb ф ka |
и с одинаковыми |
поперечными индексами). То, что отраженная |
волна состоит из набора продольных мод, описывает тот физи |
|
ческий факт, что |
в резонаторе с локальными потерями на зер |
калах амплитуда |
бегущей волны уменьшается при отражении |
скачком (суммарное поле падающей и отраженной волн на зеркале отлично от нуля). В лазере амплитуда бегущей волны возрастает при распространении в активной среде как раз на величину уменьшения амплитуды на зеркалах.
Выпишем величину ширины полосы моды резонатора, обус ловленную потерями на неполное отражение и дифракцию на зеркале. Из выражения (11.28) получим
= ■7■ = 2v, [:l - (г, | е , I2 + г, \ г , |°) A)J . (11.30)
Отметим, что эта величина одинакова для волн, распространяю щихся в обоих направлениях.
Для случая волны, линейно поляризованной в одной из глав ных плоскостей лазера (например, в плоскости xz), получим из (11.30) для бесконечно большой апертуры зеркала
Ашр = 2v0(l —гх).
Для волны круговой поляризации
Ао)р = v0 (2 — гх — гу).
Рассмотрим теперь связь разных поперечных мод (та ф ть
или па ф п ь). Из выражения (11.28) с учетом (11.19) —(11.20)
получим
< ь = - *2v0 e x p |
{ г - [ (k*a)Л *z 3— (<р| ( z |
-3 ) |
q>* ( z 3 ) ) ] ] |
X |
|
X [ в а х 6 ь х г х |
" Ь |
e a y S b y f y \ M a b . |
(11.31) |
Рассчитаем интеграл Маь для кольцевого резонатора со сфе рическими зеркалами. Используя выражение для поперечного распределения поля (14.2), представим интеграл Маь в виде
где
м (х) 1
а пЬ
м(у)
1ПпапЬ '
Маь— ^тать^папь,
|
|
dx |
- 6К.(£К(тгг>Рх/ Рх |
||
dcos а |
|
(11.32) |
|
( У \ dy |
|
Г |
ш * |
|
J |
ПЛ Ру1 |
Пь \ . Ру ) Ру |
—d cos а |
|
|
§ 41 ДИФРАКЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗИ 157
Характер четности собственных функций определяется попереч ными индексами. Поэтому из (11.32) следует, что
M^)amb==Q |
ПРИ |
ma + mb = 2 k + l , k = 0 , 1 , 2 . . . , |
м(папь= 0 |
при |
па + пь— 2k + 1, |
т. е. за счет дифракции связаны только моды одинаковой чет
ности. Основная |
мода |
(та — па = |
0) |
связана |
только |
с четно |
|
четными модами. |
|
|
|
|
|
|
|
Так как (см. (14.3)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
^2k{l) = |
e - ^ H 2k{l), |
|
|
|||
где Н2й(Е)— нормированный полином Эрмита, |
то для |
основной |
|||||
моды имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
/ е - * ’Я2*(6)<£ = |
- = ^ Я 2*_1(с), |
(П.33) |
|||
|
— С |
|
|
|
|
|
|
причем для М<*>2к |
с = |
Ырх(2з). |
а |
для |
М<»>24 |
с = с°*J -, где |
|
рх (г), ру(г) — масштабы поля на зеркале.
Как видно из формул (11.32) и (11.33), величина интеграла перекрытия МаЬ мод с разными поперечными распределениями мала (стремится к нулю при увеличении апертуры зеркала). Моды с разными поперечными распределениями оказываются связанными в генераторе вследствие того, что отражение про исходит не на всей границе идеального резонатора, а только на апертуре зеркала. Поэтому поперечное распределение отражен ной волны обрезано по сравнению с собственной функцией иде ального резонатора. Отраженная волна представляет собой су перпозицию собственных функций резонатора с разными по перечными распределениями.
Связь встречных волн. Рассмотрим связь волн, распростра няющихся в потивоположных направлениях (1га « —kb). В этом случае экспонента, стоящая под знаком интегралов Маь, М'аь, быстро осциллирует. Поэтому значение интегралов Маь, М'аЬ мало как для разных поперечных мод, так и для одинаковых. Коэффициент обратного рассеяния на сферическом зеркале волны моды Ь, бегущей в направлении s', во встречную волну моды a (s' ф s) на основании формул (11.25) и (11.26) имеет вид
ihnSb — i2voe 1^ь+ а)2э [(Aab— А'аь) M^Lal +
+ б.n^L^Aab} |
(s, s' = 1, 2; s Ф s'), |
(11.34) |
158 УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ [ГЛ. XI
где
Lai = (d cos а)/р Je - l«*-VHa {t)H b{l)dl,
(-d cos a)lpy |
(11.35) |
|
CO |
||
|
ву= (ft* + (23) tg a; M<£> определяется формулой (11.32).
Определим коэффициенты связи встречных волн основной моды
(см. (14.2), (14.3)). В этом случае
£ _ 1 |
У |
»_ |
i |
t t ) |
|
|
Ч'00 |
Р у / |
V n |
|
|||
Н ' |
|
|
|
|||
Интеграл |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
-а |
|
|
|
|
|
|
а* (о>/2) sin wd —d cos wd |
+ е"ш,/4 (п.зб) |
|||||
. K'iT / |
(tw/2)2 + |
(d)2 |
||||
|
||||||
при l/(ou/2)2 + (d)2 » 1, |
где |
|
|
|
|
|
^ = 7 л Ц '> 1 , |
^ = |
|
|
|
||
В оптической области | ш|^>| й| . Так как ру « ]/$/&, то это не
равенство эквивалентно условию квазиоптики s~^>d, где s — расстояние между зеркалами резонатора. В этом случае
( М » И )
l^ = 2e~**nwl' |
Ln = e-w4i<L№(d), |
( 11. 37) |
|
у я |
ь |
|
|
|
|
|
|
М($ = —j=r |
\ e ~ V d t ~ \ ~ X ! L * * \ , |
(11.38) |
|
М |
{ |
f n Ь |
|
где |
|
ь |
|
ь |
|
|
|
Рх (*з) » 1. |
|
||
§ 41 ДИФРАКЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗИ 159
Таким образом, коэффициент обратного рассеяния на зеркале бегущей волны основной моды равен
Ass' |
. |
4v0 |
-/2fc*z0 . , |
. |
» |
. . . |
|
||
iflQQ -- |
l |
-- e |
3 |
(fxSsxSs'X“H ry&sy£s'y) |
X |
|
|||
|
|
у я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л ех р | — ( p |
) |
| |
s‘n |
sin а)/Я] |
|
|
|
|
X |
|
|
4npy (z3) tg а |
(11.39) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(s, s ' = |
1, 2; s Ф s'). |
|
|||
Так как зеркала кольцевого резонатора обычно хорошо отра жают ( | 1 —^ 1 ^ 1 1 — г*|<С 1), то при одинаковой поляризации (e^s') == 1 основным является чисто дифракционное обратное рассеяние. Коэффициент связи встречных волн за счет дифрак ции на конечной апертуре зеркала (11.39) (rx = ry = 1) опре деляется двумя параметрами: отношением Xlpy(z3) длины волны X к масштабу поля на зеркале ру{г3) и отношением (dcosa)/py размера зеркала в плоскости резонатора d к мас штабу поля ру. Все проведенные расчеты справедливы при
dcosa |
ру(г3). Чем с большим запасом выполняется это не |
||
равенство, тем меньше |
| mg*' | (s Ф s'). |
В выражении (11.39) |
|
для т |
содержится |
синус от |
большого аргумента |
(4n<2sina)A- При небольших изменениях апертуры d или угла
а, |
таких, |
что d sin а |
меняется на Х/4, величина | тjg' | |
меняется |
|||
от |
нуля |
до | т»' |тах. |
|
|
|
|
|
|
Оценим порядок величины связи |
встречных волн |
| |
|тах* |
|||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2, |
в-* = 0,018, |
w = |
\4пру(z3) tg a0]A = |
104; |
|
тогда |
|
|m§os'L x /v o = |
4- |
10"e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эта величина определяет отношение амплитуды встречной вол ны, возникающей при рассеянии на зеркале, к амплитуде па дающей волны. При ортогональной поляризации встречных волн
A'ss' — (eles1) = 0, |
= (ry |
rx)esxeS'X, |
величина обратного рассеяния сильно падает. Для встречных волн с ортогональными круговыми поляризациями {е\хеа>х — 1/2) при тех же данных, что и в предыдущем примере,
1 |
Imax/^O— 2| Гу |
Гх | • 10~6. |