Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

§ 9. Влияние поперечного распределения поля на нелинейную поляризацию активной среды

Рассчитаем поляризацию инверсно-населенного перехода с учетом поперечного распределения поля. В отличие от преды­ дущих параграфов номер моды будем обозначать прописными латинскими буквами (N,K,...). Каждая мода N характери­ зуется совокупностью трех индексов — продольным qN и двумя поперечными mN и nN. Вклад поляризации первого порядка по полю Pjv(0 в моду N в силу ортонормированности собственных функций определяется нолем самой N-u моды:

При этом предполагается, что поперечные размеры трубки зна­ чительно превосходят поперечный размер поля моды, и поэтому дифракцией на трубке можно пренебречь. Поляризация треть­ его порядка по полю (вклад в N-ю моду) в газовом лазере имеет вид *)

не зависит от распределений полей мод, а определяется только

*) При расчете поляризации движущихся атомов нужно учитывать из­

менения поля Еа(г), действующего на атом, со временем вследствие движе­ ния атома г' = г + vt. Мы будем пренебрегать изменением поперечной коор­

динаты атома, что справедливо, если расстояние иу-1, проходимое атомом за

время жизни у”1, мало по сравнению с масштабом рх, у изменения поля в по­

перечном направлении.

% 10] УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ 181

В формулах для поляризации среды (11.70), (11.70а) коэффи­ циенты MN, RN, Fnk и Wjkg при однородном уширении контура усиления даются формулами (11.60), в которых нужно учесть, что скорость атома v = 0. В случае газовой среды с широким доплеровским контуром усиления коэффициенты M n , R n , F n k , L n k , W j k g и Hjkg даются формулами (11.66).

Из выражений (11.70), (11.70а) видно, что нелинейная по­ ляризация делает среду оптически неоднородной и трансформи­ рует волну одного типа J в волны других типов колебаний N, если соответствующий коэффициент перекрытия бегущих волн цууулг отличен от нуля.

§10. Уравнения многомодовой генерации в газовом кольцевом лазере

Для того чтобы получить уравнения генерации газового ла­ зера, нужно в уравнения поля (11.43) подставить выражение для поляризации активной среды на N-м типе колебаний (11.70) и (11.70а). В приближении медленно меняющихся амплитуд и

фаз поля 8 Ns(t) = ENs(t) e~lWNt

получим укороченные уравнения генерации для комплексных

р < / , м

равны индексы P = N и ] = М. Коэффициент нелинейного про­ странственного перекрытия V>PMjN= V 1pmjn==V-pmjn (п -71) опре­ деляется перекрытием собственных функций резонатора (см.

(14.22) — (14.45):

M-aip = №n p p n — J IFn (r) |2! EP (r) |2 dV,

Комплексные коэффициенты усиления, насыщения и нелиней­

линии усиления определяются формулами (11.66), (11.67). В случае однородного уширения линии усиления нелинейное взаимодействие встречных волн такое же, как и взаимодейст­

В случае взаимодействия продольных мод с одинаковым по­ перечным распределением поля для активной среды, целиком заполняющей резонатор,

(11.74)

где

В приближении плоских волн p,jv = 1.

Если взаимодействуют лишь две встречные волны одной моды, то в приближении плоских волн уравнение (11.73) совпа­ дает с уравнениями (4.4), (4.5). При взаимодействии четырех и более волн в уравнениях (11.73) имеется не равный нулю член

где йр — Qn — разность частот двух продольных мод резонатора

Оценим глубину модуляции Ем/Е$( и з амплитудного урав­ нения (11.73). Из уравнения нулевого приближения получаем, предполагая, что стационарные амплитуды мод равны:

(е % Т =(е№ =

Тогда для амплитуды осцилляций Е$ получим из уравнения первого приближения следующую оценку:

Таким образом, в силу условия (11.75), означающего, что ха­ рактерное время изменения поля 1/(AtojvT)) гораздо больше пе­ риода осцилляции с разностной частотой TPN = 2n/\Qp— Qjv|, амплитуда этих осцилляций мала по сравнению со средней амплитудой поля:

т. е. поле не успевает реагировать на быстрые осцилляции ди­ электрической проницаемости среды. Полагая, что условие (11.75) выполняется, получим в приближении плоских волн