ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 180
Скачиваний: 0
190 |
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНЫХ МОД |
(ГЛ. XII |
уравнение для интенсивности / и частоты со стационарной гене рации
|
|
|
|
|
Л |
г ч W 2 А / |
~Z\ (£l> |
I2) = |
1 > |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 я ю Й 2Л/'о |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Д ш р й Г у \ |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
( 12. 10) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д<Вр у \ + Т |
Z A 6 , . | £) |
|
|
|||||
|
|
|
со = |
Q„ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
Z , ( | , . |
ы |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Случай однородного уширения линии можно получить, ис |
||||||||||||||||
пользуя |
асимптотическое |
разложение для |
функции |
Z(g) при |
|||||||||||||
| |
оо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Z(|) = - |
S (2fe— |
1)11 |
(—т < |
аг& 1 < т я ) ’ |
|
|||||||||||
(2k — 1)!! = |
1 ■3 • 5 ... |
(2k — 1); |
(-1)1! = |
1. |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
При уаЬ/Г-+оо |
|
|
|
|
|
|
|
г |
g2 + |
Si |
|
|
|
||||
|
|
|
Zx(h, h)-> |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2Yabl |
^1^2 |
|
|
|
( 12. 11) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Z-2(lb |
|
E2) -*■ |
Г |
6 , - |
Ei |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2Yaj |
lii2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С помощью |
(12.11) |
легко |
показать, |
что в этом |
случае |
Л/Ст = |
|||||||||||
— Р а |
при х = 0, |
и получить |
решения |
(12.10) |
для интенсив |
||||||||||||
ности и частоты генерации |
|
|
|
|
|
|
Дсор |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qo + |
|
|
|
|
|
I |
мО |
|
1 - |
|
/ СО — Юр |
(В= |
|
|
0>а |
( 12. 12) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ЛГпор |
|
|
I |
Yab |
|
|
1+ |
Д ю р |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Nпор — пороговая |
заселенность для |
однородного |
ушире |
||||||||||||||
ния, определенная в (11.60). |
|
неоднородного |
уширения |
||||||||||||||
|
Для |
описания |
|
предельного |
|||||||||||||
|
(\аь/Г —►О) |
используем разложение Z(g) |
при |-» 0 : |
|
|
||||||||||||
|
|
|
Z ® |
■2 |
|
^ktk |
a0= i l / n , |
ai |
2, |
|
|
||||||
|
|
|
|
fe=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
<22= |
— i |
|At, |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
я3= з - |
|
|
|
|
|
|
|||||||
При Yab У Т + 7 < |
г |
и (и — ©о)2 < Г2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
г , (I,, у ■= V * - |
|
|
|
(I, + |
%,)— !^ |
(-*“ •)’ (i; + |
IJ. |
(12.13) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г. й.. |
(Ь-6,)(i + -Ч£” (Ь + и i f ) . |
§ 3] |
ВЫВОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ |
191 |
Подставив выражения (12.13) в уравнения (12.10), находим интенсивность и частоту генерации в случае предельного неодно родного уширения линии
|
|
|
/ = |
|
|
|
|
|
|
|
Q,a+ |
Дюр \гТ+1 • СОо |
(12.14) |
|
|
|
О : |
|
\f~nr |
|
|
|
|
|
ЛсРрУ1+ I |
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
УяГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
Л^пор — пороговая |
заселенность для |
неоднородного уши |
|||
рения, |
определенная в (11.67). Смещение |
частоты генерации |
||||
со— |
|
|
|
|
Дш |
(со— со0), в то время |
— первого порядка малости по — |
||||||
как изменение |
интенсивности — величина второго порядка ма- |
|||||
лости по |
/ ш — |
\2 |
. |
|
|
|
— ~— |
|
|
||||
§ 3. Вывод характеристического уравнения
Наша цель — определить область устойчивости стационар ного режима генерации (12.10). Для этого будем искать не стационарное решение системы укороченных уравнений (12.6) в виде суммарного поля стационарной генерации (12.10) и ма лой флуктуации.
Рассмотрим возникновение волн, бегущих «вперед» в ту же сторону, что и генерируемая волна. Как было отмечено во вве дении к данной главе, за счет комбинационного взаимодействия
поля боковых мод бEi и бЕ2 на частотах и + Д и со — Д свя заны друг с другом таким образом, что их легко можно пред ставить как результат совместного воздействия амплитудной и фазовой модуляции генерируемой волны
6£a = i-(6 £ , + 6^),
(12.15)
6ДФ= -^-(бДх-бД!).
В случае амплитудной модуляции (бЁф— 0) связаны флуктуа ции, возникающие в одной фазе. В случае фазовой модуляции
(бД, = 0) связаны противофазные флуктуации. Соответственно нестационарное решение уравнений (12.6) будем искать в виде
192 |
|
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНЫХ МОД |
[ГЛ. ХП |
||
суммы сигналов амплитудной и фазовой модуляции |
|
||||
Ё = |
Е„ + |
Re [6£ae!U~iA (*-*/«»] + |
i Re [бЁфем~1А |
|
|
Р = |
рст + |
Re [6Рае“ ~гд |
+ |
г Re[6P$ew" IA <‘"2/с>], |
|
О |
= t/CT+ Re [б£/ае « -гд('- 2/с)] + i Re [6£/фел<- гд <'-2/c>], |
|
|||
N — NCT+ Re [bNelt~iA<<~2^].
Для того чтобы поле (12.16) удовлетворяло условию перио дичности (12.2), нужно, чтобы частота А была кратна разности
резонаторных частот соседних продольных мод |
|
||||
|
А = лА0 = п -^р- |
(п = |
0 ,1 ,2 ,...) . |
(12.17) |
|
При |
Re к < |
0 флуктуация затухает. Следовательно, стацио |
|||
нарный |
режим |
генерации (12.10) |
оказывается |
устойчивым. |
|
В той области значений параметров, |
где Re к > 0, |
флуктуация |
|||
нарастает. При этом возникает генерация связанной пары волн
на частотах ш ±(А — 1тЯ). При |
Д = |
0 (п = 0) |
выражения |
(12.16) описывают нарастание |
(или |
затухание) |
пульсаций |
амплитуды и фазы самого одномодового режима (12.10), т. е. рассматривается внутренняя задача устойчивости. Частота пуль саций равна —Im к.
Подставляя решения (12.16) в систему уравнений (12.6), линеаризируя уравнения относительно малых флуктуаций и приравнивая нулю коэффициенты при линейно независимых функциях е(А--гдЧ и е^’-нд)^ получим однородную систему урав нений для амплитуд флуктуаций '
[к + -рр + i (со — Q,)] (6£а ± i 6£ф) = 2ли (6t/a ± i б0 Ф),
[Я — /А + |
у аЬ + |
I (и — |
со0 — *)] (6Р а ± |
i ЬРф) = |
|
||
|
|
|
|
= |
- _ - . ( б £ а ± /б £ ф] + |
_ ^ 6 Л Г , (12Л8) |
|
(к - /а + |
v„)т |
= |
- |
% |
ьРя - - fp б£а - |
|
|
|
|
|
|
|
— у - (© — ©о —х ) Ь Ё ф . |
||
Из уравнений |
(12.18) |
исключим 6N и с |
учетом соотноше |
||||
ний (12.7) |
найдем выражения для 6Ра и бРф |
|
|||||
|
|
2лшбРа= Хо (Д, |
+ F афЬЕф), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(12.19) |
2 л ( й 6 Р ф = Хо (Fфа б р а + р ф ЬЁф),
§ 3] ВЫВОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 193
где |
Л |
Г . |
Ю . * г |
- -.*-3fo-[1+ |
|
|
+ |
(1—//)/']. |
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
= 4 |
г1+ f o - |
? ] • |
=■ т |
К 1 + fo) <1- |
w |
+ |
4 |
|||||
|
Л = |
(1 + / |
+ |
/О [(1 - |
if)2 + |
f'o |
+ (1 |
- |
if) / ' ] , |
|
(12.20) |
||
|
|
/' = |
|
|
I |
|
c |
Д + |
iX |
|
|
|
|
|
|
1 — |
if (Уablya) ’ |
f- |
УаЬ |
|
|
|
|
||||
|
|
f'o = |
fo |
УаЬ |
fo- |
<0 —COp. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
УаЬ |
|
|
|
|
|
|||||
%o- |
2na>d2N0 |
линейный |
коэффициент |
усиления |
в |
единицу |
|||||||
Ъуаь |
|||||||||||||
времени в центре однородно уширенной линии. |
|
|
|
|
|||||||||
|
В случае однородного уширения линии б£/а = |
бЯа и 6U$ = 6РФ |
|||||||||||
при х = 0. При неоднородном уширении линии нужно бРй, 6Рф усреднить по х
2лсо б0 а = Хо ((Fa) ЬЁа+ (£аф) б£ф),
( 12.21)
2ли ббф = Хо ((^фа) бЁа+ (£ф) б£ф),
где угловые скобки означают усреднение по формуле (12.4),
например
оо
Т О - I F = 7 eH" r,,rf*-
— ОО
Проводя интегрирование, получим
< * > = ^ . ( т т т г ) > < |
|
|
|
|
|
|
X { Z, (S3, 14) + |
i -щ (2 - 1 |
f) h |
(бз, h) - |
(6i, h)} }. |
||
<£фа> = Щ Z2(S3, h) + i-Jf (2 ~ |
1^ 7 f) |
I<) - Z3(h, |
h)]}, |
|||
(fаФ) = |
z 2(h, h) + |
т |
- |
1) [г2( Ш - z 2(h, &)]}. |
||
w - r i f u i |
|
&• a + £ ( ■ * ? - + 1 - |
x |
|||
|
X [z,(S3 , U)- |
|
Zx(ii, | 2)] }• |
(12.22) |
||
7 Под ред. Ю. Л. Климентовича