ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 116
Скачиваний: 0
20 |
КВА.ЗИКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВОГО ЛАЗЕРА |
[ГЛ. II |
Индексом «0» отмечены значения коэффициентов уа, уь, Уаь при столь низких давлениях, что эффектом давления можно прене бречь. Таким образом, значения коэффициентов у®\ у$>, у^ь
определяются флуктуациями электромагнитного поля.
На рис. 2.1, а представлены графики зависимости коэффи циентов уа, Yь» Уаъ от давления, полученные на основе экспери ментальных данных в работе Форка и Поллака [3]. Из этих графиков видно, что все три коэффициента являются линейными
Рис. 2.1. Зависимость параметров Ya. Yj> Yaj, и Д от давления гелия
(Аи= 1000 Мгц, ц=215 Мгц).
функциями давления. Однако скорость роста с увеличением давления существенно различна. Если для коэффициентов Ya’. Уг,0*. Y® справедливо соотношение
Y^ = |
i(Y <a0) +YL0')- |
|
|
|
то при давлении, например, |
2,5 |
мм рт.ст. уаб = 2-108 |
гц, |
уь = |
= 5,5• 107 гц, уа = 1,5-107 гц, |
т. е. это соотношение |
не |
имеет |
|
места. |
|
|
|
|
Аппроксимация интеграла столкновений в форме (2.9) не содержит явной зависимости от поля. Поле входит лишь неявно через функцию р„т - Однако в уравнение для флуктуаций, опре деляющих диссипативные процессы, на временах порядка 1/у входит напряженность электрического поля Е. Вследствие этого интеграл столкновений включает и явную зависимость от поля. Выражение (2.9) является нулевым приближением по Е (в смысле явной зависимости от поля).
В первом приближении по полю в выражении (2.9) появятся дополнительные члены, пропорциональные Е. Их можно объ единить с соответствующими членами в уравнениях (2.10)— (2.13), содержащими поле Е. В результате поле Е заменится
« 3] |
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПОЛЯ В ЛАЗЕРЕ |
21 |
на некоторое эффективное поле Еэфф. Проще всего влияние до полнительных членов можно учесть, если задать эффективное поле в виде
Яэфф = (1 + *-Л)Я. |
(2-15) |
Величина А, как и величины уа, Уь, Уаь, является функцией давления.
Подстановка выражения (2.15) в уравнения (2.10) — (2.13) показывает, что вследствие учета в интеграле столкновений яв ной зависимости от поля возникает дополнительный сдвиг фаз между вектором поляризации Р и полем Е. Аналогичный эф фект учитывается в работе [3]. Величину А можно практически отождествить с параметром с, введенным в этой работе.
Зависимость величины А от давления также может быть най
дена по экспериментальным данным. Результаты приведены на рис. 2.1,6.
§ 3. Уравнение для напряженности электрического поля в лазере
Чтобы сделать систему уравнений (2.10) —(2.13) замкнутой, надо дополнить ее уравнением для поля Е. Используем для этого уравнения Максвелла. В инерциальной системе отсчета за
пишем их в виде системы |
уравнений |
для векторов Е, В = Н: |
|||
, _ |
I |
дЕ . 4л дР . 4л , |
|||
rot5 = |
7 |
¥dt |
+ 7 |
¥ |
+ 7 / ' |
rot Е = ■ |
1 |
дВ |
|
(2.16) |
|
|
|
с |
dt |
|
|
divJ3 = |
0, |
divZ? = |
— 4ndivP. |
||
Здесь P — вектор поляризации. Он определяется через функцию рпт {г, р, t):
P{r, t) = n ^ J dmnрпт (г, v, t) dv, |
(2.17) |
п, m |
|
n = N/V — плотность числа активных атомов. Отсюда для поля ризации, обусловленной переходами между двумя рабочими уровнями а, Ь, находим
P(r, t) = |
n j (dbapab + |
dabpba) dV. |
(2.18) |
В уравнениях (2.16) |
j = o(r)E. |
Электрическая |
проводи |
мость а характеризует затухание поля, не связанное с выходом излучения через полупрозрачные зеркала резонатора. Объемная плотность заряда — divP для рабочей среды в газовом лазере равна нулю.
22 КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВОГО ЛАЗЕРА (ГЛ. II
Из первых двух уравнений (2.16) после исключения |
век |
||||||
тора В следует уравнение для Е |
|
|
|
|
|||
дгЕ + |
с2rot rot Е + |
4лог-^—= —4л |
д2Р |
(2.19) |
|||
dt2 |
|
|
|
|
|
dt2 |
|
Для поперечного |
поля |
rot rot Е = — АС, |
и |
уравнение |
(2.19) |
||
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
д2Е |
. . |
дБ |
, . „ |
, |
д2Р |
,0 ОПч |
|
~Ш2~ ^ Ала~дГ ~ |
с2АС = |
— 4 |
|
л |
(2.20) |
||
Система координат, связанная с вращающимся кольцевым ла зером, является неинерциальной. Вследствие этого в уравне ниях Максвелла появляются дополнительные члены.
Заметим, что в уравнениях |
(2.16) векторы D, Н исключены |
||||||
с помощью соотношений |
|
|
|
|
|
||
|
|
D = Е |
4лР, |
Н = В —4лМ. |
|
(2.21) |
|
Рабочую среду лазера можно рассматривать как немагнит |
|||||||
ную, поэтому вектор намагниченности М = |
0 и Н = |
В. |
|
||||
Во вращающейся системе отсчета в нулевом приближении по |
|||||||
ср/с2 |
(ср — гравитационный потенциал) и в первом приближении |
||||||
по |
v/c |
(V = [0г] — линейная |
скорость |
вращения |
в |
точке г, |
|
0 — угловая скорость вращения |
кольцевого лазера) |
выражения |
|||||
(2.21) |
принимают вид (см., например, книгу [4], стр. 309) |
||||||
|
|
D = E + 4nP + |
||JB [0r]|, Н = В + |[£ [0 г]]. |
(2.22) |
|||
Первое уравнение (2.16) с учетом соотношений (2.22) во вра щающейся системе отсчета можно записать в виде
, D |
1 дЕ . |
4я дР . |
~/ - l r o t [ E [ 0 r ] ] + ^ |
dB |
0r]]. (2.23) |
|
rot В = |
— -zr—-------jr + |
dt |
||||
|
с dt |
с dt |
' |
|
||
Второе и третье уравнения при этом не меняются, так как не |
||||||
содержат векторов |
D, |
Н. Четвертое уравнение принимает вид |
||||
|
|
div£ = |
— 4ndivP — ^-div[5[0r]]. |
|
(2.24) |
|
Преобразуем два последних члена уравнения (2.23) для случая
поперечного поля, когда div£ = 0. |
в |
(2.23) производную dB/dt |
Исключаем из последнего члена |
||
с помощью второго уравнения (2.16). |
В результате последние |
|
два члена уравнения (2.23) примут вид |
||
— у {rot [Е 10г]] + |
[rot Е [0г]]}. |
|
5 4] |
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ ВСТРЕЧНЫХ ВОЛН |
23 |
|
Используя |
векторные |
тождества и учитывая, что |
div Е = О, |
div[0r] = |
0, получим, |
что |
|
rot [E[0r][ = ([0r] grad) Е — (Е grad)[0r].
Вектор [rot Е[0г]] преобразуем с помощью формулы
grad (аЬ) |
— (Ьgrad) а + |
(a grad) Ь + [Ь rot а] -f [а rot Ь\, |
|||
в которой |
а = |
£, b = [0г]. |
Учитывая, |
что (£[0г]) = 0, |
так как |
вектор [0г] |
коллинеарен направлению |
распространения |
волны |
||
в кольцевом лазере, получаем |
|
|
|||
|
[rot Е [0r]] — ([0r]grad)E+ |
(Е grad) [Or]. |
|
||
Врезультате сумма двух последних членов уравнения (2.23) оказывается равной
-| ( [ 0r]grad)E.
Всоответствии с этим уравнение (2.20) для Е во вращающейся системе координат принимает вид
^ + 4яог- f - - с2 АЕ - 2 ([0г] grad) = - 4л |
. (2.25) |
Таким образом, во вращающейся системе отсчета в волновом уравнении для Е появляется дополнительный член, пропорцио
нальный отношению [0г]/с — отношению линейной скорости к скорости света.
§ 4. Уравнения для полей встречных волн в кольцевом лазере
Для определения электромагнитного поля во вращающемся кольцевом резонаторе, заполненном активной рабочей средой, используем замкнутую систему уравнений (2.10) —(2.13), (2.25). К этой системе уравнений следует добавить граничные условия на зеркалах. Однако при этом задача оказывается настолько сложной, что решить ее даже в одномерном приближении можно лишь в частных случаях.
Значительные упрощения получаются, если решать эту си стему уравнений методом заданных форм поля При этом за дача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых представляют собой усред ненные по заданным формам соответствующие значения пара метров. Точность такого решения зависит от выбора задаваемых