ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 0
* 4] |
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ ВСТРЕЧНЫХ ВОЛН |
29 |
И |
2= i -р- J 4ясгет Шг dr |
|
|
(2.47) |
еще не полностью определяют связь между волнами в кольце вом лазере, так как они не учитывают рассеяния волн на неод нородностях комплексной диэлектрической проницаемости, обу
словленной |
рабочими переходами в среде. Эта связь входит |
|
в уравнения |
(2.40) |
через величины Р\ и Р2. Оценка величины |
этой связи |
(см. гл. |
V) показывает, что она значительно мень |
ше, чем связь, обусловленная рассеянием на неоднородностях е
и а. |
коэффициентов |
связи rh\t 2 |
В общем случае модули и фазы |
||
для встречных волн различны. Если |
т(°>2 = 0, т. е. |
рассеяние |
происходит только на неоднородностях диэлектрической прони цаемости, то, как легко видеть из (2.46), коэффициенты связи Щ, г являются комплексно сопряженными, т. е. thl = thy В слу
чае же, когда рассеяние происходит только на неоднородностях проводимости, коэффициенты связи антикомплексно сопряжен ные, т. е.
т , = — т 2. |
(2.48) |
В качестве примера рассмотрим связь между волнами за счет отражения от скачка диэлектрической проницаемости. Пусть е = 8i при 0 ^ 2 ^ / и е = е2 при / ^ z ^ L. Тогда из (2.46) следует, что
(2.49)
Отсюда видно, что если бы в кольцевых лазерах существовали границы раздела двух сред с разными значениями диэлектри ческой проницаемости, перпендикулярные направлению распро странения волн, то они неизбежно давали бы значительную связь между волнами. В связи с этим при конструировании коль цевых лазеров стараются избежать появления таких границ. Для этого, в частности, делают газоразрядные трубки с брюстеровскими окнами. В этом случае обратное рассеяние возникает в основном за счет шероховатостей зеркал и дифракционных эффектов.
По экспериментальным данным эффективные коэффициенты отражения в обратном направлении [5, 6] (по амплитуде)
Взаключение данной главы заметим, что при задании поля
ввиде (2.26) с не зависящими от координат амплитудами
30 |
КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВОГО ЛАЗЕРА |
[ГЛ. II |
коэффициенты релаксации поля co/Q для двух встречных волн оказались одинаковыми.
Экспериментальные исследования (см. гл. VIII) показывают, что добротности резонатора для встречных волн могут быть не равными. Одной из причин этого может являться неидеальность частотных фарадеевских элементов, вводимых внутрь кольцевого резонатора, вследствие чего потери для встречных волн могут оказаться различными. Кроме того, различие добротностей ре зонатора для встречных волн можно искусственно создавать с помощью амплитудного фарадеевского элемента (см. гл. VIII).
При теоретическом рассмотрении процессов в кольцевых ла зерах мы в общем случае будем считать потери для встречных волн неравными, введя феноменологически разные значения до бротностей Qi и Q2.
Г Л А В А |
III |
РАСЧЕТ |
ПОЛЯРИЗАЦИИ АКТИВНОЙ СРЕДЫ |
Решение системы самосогласованных уравнений для матрицы плотности и поля представляет собой сложную задачу.
В газовых лазерах время релаксации амплитуды поля (боль шее или порядка 1/Асор, Дсор— ширина полосы резонатора) обычно значительно превосходит времена релаксации элементов
матрицы плотности (у” 1, у^1, У“b‘), т. |
е. |
|
Аюр <Уа. У», |
УаЬ- |
(3.1) |
Действительно, Дозр имеет порядок |
(106Ч107) рад/сек, тогда |
|
как у0, уь, Уаь — порядка (108-f- 109) |
рад/сек. |
При выполнении |
условия (3.1) поляризация и населенности рабочих уровней активной среды успевают следить за изменением поля.
Вследствие этого задачу можно разделить на две части: 1) квантовомеханический расчет поляризации P(r,t) активной среды под действием заданного электромагнитного поля; 2) ре шение уравнений Максвелла для среды с поляризацией Р.
В этой главе проводится расчет поляризации активной среды для одномодового режима генерации при выполнении условий (3.1). Заметим, что условие (3.1) является значительно более жестким, чем требуется для того, чтобы поляризация и насе ленности успевали следить за полем. В действительности время релаксации амплитуды при условии слабого поля определяется величиной АсорТ], где ц — превышение накачки над порогом. Сле довательно, результаты этой главы всегда справедливы, по крайней мере при достаточно слабом поле.
§ 1. Общее выражение для вектора поляризации активной среды при произвольных значениях поля
В приближении слабого поля в лазере при расчете поляри зации можно воспользоваться методом возмущений. В ряде ра бот были получены выражения для вектора поляризации с точ ностью до членов третьего и пятого порядков по амплитуде поля. В некоторых случаях это оказывается недостаточным и поэтому
32 |
РАСЧЕТ ПОЛЯРИЗАЦИИ АКТИВНОЙ СРЕДЫ |
(ГЛ. II] |
приходится проводить вычисление поляризации среды в сильном поле без использования теории возмущений.
Из формулы (2.18) следует, что для определения вектора по ляризации P(r,t) надо знать элементы матрицы плотности как функции поля. Недиагональные элементы раь, р6а, так же как и поле (см. (2.26), (2.27)), являются быстро осциллирующими функциями с частотой, близкой к частотам генерации ш,, 2. Ре шение ДЛЯ Рab, рьа будем ИСКЭТЬ В ВИДв
Раь('•*) = Раь (г>0 е~1<И/+Ф>, |
Рьа = РаЬ |
(3.2) |
((0 = (со, + со2)/2, ф = (ф, + |
Фг)/2), |
|
где раЬ, рЬа— медленно меняющиеся функции времени.
Из уравнений для диагональных элементов матрицы плот ности (2.10), (2.11) и из (2.27) следует, что функции ра, рь мож но представить в виде сумм медленно меняющихся функций вре мени и быстро осциллирующих функций с частотами, кратными 2ш. Амплитуды колебаний на этих частотах меньше или порядка Ya, ь/со и поэтому очень малы. Вследствие этого их можно не учитывать.
Разность частот встречных волн Ф = со,— со2-|-ф ,— ф2, как правило, не превышает 107 рад/сек. Вследствие этого выпол няется неравенство
I ф I < Ya, YЬ. YаЬ- |
(3 . 3 ) |
При этом условии производными по времени от медленных функций раь, ра, рь можно пренебречь.
Вместо функций ра, рь удобно ввести их сумму и разность:
Я = Ра + Рь. D = ра — р6.
Тогда из уравнений для матрицы плотности (2.10) —(2.13) получим систему уравнений для функций D, R, раь, содержащую лишь производные по координате
= - Y+ (D ~ Д (0)) + Y_ (/? — R{0)) -
v ~ r = y _ ( D - DM) - у + ( R - RM), |
(3.4) |
V |
= (i ((О — (Oab) — Yab) Pab ~ |
§ 1] ОБЩЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ Зз
Здесь
D (0) _ р(0) _ |
p№)i |
/J(Q> = р«о» + |
р«в, |
V± = Yb 2 Y° ■ |
Ф = |
(со, — co2)^ + |
(pi— Ф2. |
Система уравнений (3.4) может быть решена точно путем разложения решения в ряд Фурье по пространственным гармо никам. Такое разложение запишем в следующем виде;
D = Dne~irl®l2+lnkz,
R = ' 2 i Rne - inq>l2+inkz, |
^ |
Ра» = 2р«*,е“ ,,,ф/8+"“ *,
?Ьа=^РЬапе-1пФ12+Шг.
Выражая составляющие вектора поляризации P\,n(t) в соот ветствии с (2.18), (2.39) и (3.2) через р„ь, получим, что век торы Р1,2 определяются лишь амплитудами первых гармоник величины раь, т. е.
Ри 2 (t) = |
J |
J [раь± , (О) e"' (в‘-2<+Ф’-*>+ |
|
|
|
О |
—оо |
|
|
|
|
+ Раь т , (О) |
1<+ф’- «± 26г>] dv dz. |
(3.7) |
Второй член в этой формуле характеризует связь между вол нами за счет неоднородности активной среды. По аналогии с (2.46), (2.47) соответствующие коэффициенты связи можно за писать в виде
,п1г = ^Т' Iк2,1^Шг d*>
где xi, 2 — поляризуемость рабочей среды для встречных волн. В стационарном режиме генерации (4n/V)j xIi2d r ~ 1/Q и, сле довательно,
ml,2 |
«n-ь |
Таким образом, коэффициенты связи за счет рассеяния от не однородностей активной среды оказываются малыми и в даль нейшем учитываться не будут.2
2 Под ред. JO. Л. Климентовича
34 |
РАСЧЕТ ПОЛЯРИЗАЦИИ АКТИВНОЙ СРЕДЫ |
[ГЛ. III |
Подставляя выражения (3.5), (3.6) в уравнения (3.4) и ис ключая Rn, получим следующую систему уравнений для вели
чин Dni рabnr pban-
(ikon + уа) (ikvn + уъ)
D^6n0-
ikvn + y+
--jr[edba (ElPabn+14“ E2pa6 я-l) |
edab(E\Pban—\"Ь ^ 2Рбаn+l)]> |
(3.8) |
|
Pabn |
edgb |
D n -iE i + Dn+\E2 |
(3.9) |
2B |
p — kvn + i \ ab |
||
|
_ edba |
Dn+\E\ + Dn—\E2 |
(3.10) |
Pban —~2E~ |
p + kvn — iyab |
||
Здесь Y2 = YaY&Yat/Y+; |
р = ю — <ва6. |
Pit 2 |
|
Для вычисления составляющих вектора поляризации |
|||
нам необходимо знать лишь выражение для нулевой и второй
гармоник |
разности |
населенностей. |
Действительно, подставляя |
||||||
в (3.7) выражение для pa&±i из уравнений (3.9), находим |
|
||||||||
еР it) = Id?bJ-.n- Г |
р hF |
|
|
+ 1уаь |
К 2<+ф..г) dv. |
(3.11) |
|||
|
В |
J |
|
|
|
|
|||
Исключая из уравнений (3.8), (3.9) |
переменные раьп и рьап, |
||||||||
получим уравнение для Dn |
|
|
|
|
|
|
|||
|
AnDn= |
б„0Д(0) + |
|
|
К ’Ч + 2 + B(?Dn- 2]. |
(3.12) |
|||
Здесь |
y ' ( k v n - i y +) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
л п— 1 - г |
2 (kvh - iya) (kvn - tyb) A |
|
|
|
|||||
X |
[яД1 ( ц — kv (n + |
1) + |
i\ab |
p + kv (n — 1) — lyab ) |
|
||||
|
a^ 2 ( P + kv (n + |
1) — iyab |
p — kv (n — 1) + iyab )] ’ |
|
|||||
nil.» |
УУаЬ( ^ - » У +) ^ ^ 2 v |
|
|
|
|||||
|
2 (kvn — iya) (kvn — iyb) ^ |
|
|
|
|||||
|
^ ( P ~ |
kv (n ± |
1) + |
|
iyab |
p + |
kv (n ± 1) — iyab ) ’ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
\edabV_ |
|
(3.15) |
|
|
|
|
|
|
|
BV |
|
|
|
Введем переменную xn следующим образом: |
|
||||||||
|
|
|
Dn |
|
|
при |
n > 2, |
|
|
|
|
|
- p ~ |
|
|
|
|||
|
Xn — |
иП—2 |
|
|
|
(3.16) |
|||
|
Dn |
|
|
при |
n |
—2. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0/»+s |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||