ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 0
24 КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВОГО ЛАЗЕРА (ГЛ. II
форм, т. е. от того, насколько выбранные формы отражают наи более существенные стороны исследуемых явлений.
При использовании кольцевого газового лазера в качестве гироскопа обычно работают при достаточно малых превышениях уровня накачки над порогом, вследствие чего в каждом направ лении возбуждается лишь по одной продольной моде. Есте ственно начать рассмотрение волновых процессов в кольцевом лазере именно с этого случая.
Зададим поле в виде суммы двух встречных волн |
|
||
еЕ = |
у ( 8 |
+ g 2e~lkr + к. с). |
(2.26) |
Здесь е — единичный |
вектор |
вдоль вектора Е. Волновой |
век |
тор k направлен вдоль оси резонатора. Модуль вектора fe равен k — 2nn/L, п — большое целое число, L — периметр кольцевого резонатора. Такая форма поля справедлива и для режима одной бегущей волны, когда одна из волн каким-либо способом подав лена, и для режима стоячей волны, когда амплитуды и частоты встречных волн одинаковы.
Направим ось z вдоль оси резонатора. Тогда волновой вектор fellz и поле E(r,t) = E(z,t), т. е. зависит только от коорди наты Z.
В выражении (2.26) комплексные величины 8 \ и 8 2являются быстрыми функциями времени и в общем случае могут быть медленными функциями координат. Зависимостью 8\ и <§2 от продольной координаты z можно пренебречь, если на длине ре зонатора величины <8\ и 8 г изменяются мало.
В этом случае величины <§\>2 можно представить в виде |
|
|
8 U2 = |
EU2e~l^ ‘^t+^-^. |
(2.27) |
Здесь £i, г. ф1,г — амплитуды и фазы полей встречных |
волн, |
|
являющиеся медленными |
функциями времени. Частоты |
2 |
можно задать произвольным образом; необходимо лишь, чтобы они были близки к частотам генерации встречных волн. При за дании поля в виде (2.27) частоты генерации встречных волн равны о)], 2 + <Р1, 2.
Чтобы вывести уравнения для функций 8 \ и 82, прежде всего представим вектор поляризации Р в уравнении (2.25) в виде
суммы двух частей: |
|
Р = Р, + 1^ - Е . |
(2.28) |
Здесь Ра— составляющая вектора поляризации среды, обусловленная активными переходами, - Е — составляющая вектора
поляризации, обусловленная всеми нерезонансными переходами, в —диэлектрическая проницаемость среды.
§ 4] |
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ ВСТРЕЧНЫХ ВОЛН |
25 |
Подставим теперь выражения (2.26), (2.28) в волновое урав нение (2.25). Умножим затем обе части этого уравнения после довательно на функции e~tkr, eikr и усредним по объему резо натора V. Из первого и третьего членов уравнения (2.25) сле дует выражение
+ ***>■')■ |
(2 29) |
Член с (е— 1) можно объединить со вторым членом уравнения (2.25), учитывая при этом, что d/dt ~ — но, где со = ck. Преоб разуем этот суммарный член, предполагая, что электрическая проводимость о и диэлектрическая проницаемость е зависят лишь от г :
тг' ТJ [а- г'^(е- ^ |
^ e~ikz] eTlkz d r - |
|
|
=4 {4ят J["-О 8-1)] d r ^ i r + |
|
||
4л |
ст — г’^ |
(е ~ {)\e* i2kzdr~ [ r ) - |
(2.30) |
+ |
|||
Введем обозначение для добротности Q и коэффициентов |
|||
связи встречных волн ifilt 2 |
|
|
|
|
■| = f - J c x ( r ) d r ; |
(2.31) |
|
^ i .2 = |
^ { ( / c r + |
^ e ) ^ ^ rfr. |
(2.32) |
Выражение (2.30) в этих обозначениях принимает вид |
|
||
|
|
(е _ ^ |
<2-33) |
Первый член описывает затухание каждой из встречных |
волн |
||
за счет проводимости |
а, второй |
член — связь встречных |
волн, |
обусловленную обратным рассеянием на неоднородностях ди
электрической проницаемости и проводимости, |
третий |
член — |
|
поправку к собственным частотам резонатора за счет е. |
(2.25) |
||
Преобразуем последний член левой части уравнения |
|||
Т J [Ч к dr ± |
, = 9= Щ - 9 1 [г dr] -fr |
= |
|
|
1 . 4kQS |
d |
(2.34) |
|
2 l ' |
|
|
|
|
|
|
(знак «—» для волны, распространяющейся по вращению,
26 |
КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ |
ТЕОРИЯ |
ГАЗОВОГО |
ЛАЗЕРА |
[ГЛ. II |
« + » — против вращения). |
Здесь |
введено |
обозначение |
S = |
|
= у [г г/г]. Величина вектора S равна площади контура коль
цевого лазера.
Из (2.29), (2.33) и (2.34) следует, что собственные частоты резонатора для двух встречных волн, которые мы обозначим Qi, г, равны
Q1i2 — ck |
(2.35) |
Эту формулу можно получить и иным путем. Сделаем это для случая е — 1. При вращении кольцевого лазера время прохо ждения лучом кольца лазера по вращению и против вращения неодинаково. Оно определяется выражением (см., например, [4],
стр. 310)
t = -j- ± 2GS/C2.
Здесь L — длина периметра кольца, S — площадь кольца. Верх ний знак для волны, распространяющейся по вращению, а ниж ний — против.
Соответственно этому во вращающейся системе отсчета ме няется скорость света. Определяя ее как отношение L/t, получим
cT = c + 2GS/L. |
(2.36) |
Кольцевой резонатор можно рассматривать как резонатор Фабри — Перо. Собственные частоты невращающегося резона тора для продольных мод определяются выражением
= 2л -j- п, п — целые числа.
Во вращающемся резонаторе вследствие изменения скорости света по формуле (2.36) каждая собственная частота расщеп ляется на две:
Qi.2 = Qi,( i т | у ) |
(2.37) |
(в формуле (2.35) индекс п опущен).
Соответствующая разность частот определяется выражением
Q = Q2 — Q, = y -^-Q „.
Такой же результат следует и из формулы (2.35).
Вектор поляризации P(z,t), как и поле, представим в форме
Р (*. t) = 1 [Р, (t) eikz + Р2 (t) e~ikz + к. с], |
(2.38) |
$ 45 |
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ ВСТРЕЧНЫХ ВОЛН |
27 |
где
P I>2(f) = p li2e -<(«i.*,+i'i.*).
В отличие от амплитуд Е\>2 в формуле (2.27) медленно ме няющиеся функции Р 1,2 являются комплексными. Комплексные величины Pit 2 связаны с вектором поляризации P(z,t) соотно шением
L |
|
Р\.А*) = Т | P { z ,t)e * ik2dz. |
(2.39) |
о |
|
В результате, собирая отдельные члены, получаем систему уравнений для комплексных функций &\,2- Запишем ее в виде
^ |
со |
. |
CD d |
ер I |
f-\2 ср |
|
_ |
|
|
|
~dW |
'• 2 + |
~Q |
~dt |
'•2 + |
U:>■ |
2 = |
|
|
||
= |
mi, 2<i>S>2, i — 4я ~^jrePu2(t)', |
& |
= |
(2.40) |
||||||
Здесь |
e —единичный |
вектор |
вдоль |
вектора Е. |
|
|||||
|
Рассмотрим поле в пустом резонаторе без потерь. Ищем |
|||||||||
решение |
для |
функций <§Tli2 |
в виде (2.27). Для частот q),j2 |
|||||||
получаем |
уравнение |
o)^2= |
Qf>2, откуда co12 = Q12 |
и, следо |
||||||
вательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а 2— со, = |
Q = |
-^-0S. |
(2.41) |
||
Расщепление частот резонатора вследствие вращения коль цевого лазера называют частотной невзаимностью. В некоторых случаях возникает необходимость дополнительно увеличивать разность частот встречных волн в кольцевом лазере. Это дости гается путем использования так называемых невзаимных эле ментов, вносящих различие в показатели преломления встреч ных волн. Устройство их будет описано в § 1 гл. VIII.
До сих пор при выводе уравнения (2.40) не были явно учтены граничные условия на зеркалах резонатора. Если зеркала имеют отличный от единицы коэффициент отражения, то граничные условия можно учесть, введя дополнительную эффективную про водимость 0эфф, которую для плоских однородных достаточно больших зеркал можно записать в виде
оафф = S (1 — г<)6 (z — z‘ + У te %{)■ |
(2.42) |
i
Здесь ri — коэффициент отражения i-ro зеркала, Zi — коорди ната /-го зеркала при у — 0, — угол падения лучей на зеркало. Подставим выражение (2.42) в формулу (2.31). Проинтегрируем
28 КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВОГО ЛАЗЕРА [ГЛ. II
сначала по z, а затем по у. В приближении бесконечно больших зеркал получаем
< 2 - 4 3 >
i
Из формул (2.32), (2.42) следует, что достаточно большие однородные зеркала, расположенные под углом к направлению распространения луча, не вносят вклада в связь между встреч ными волнами. Как только мы учтем неоднородность зеркал или их конечные размеры, или же конечные размеры пучка, то такая связь будет отличной от нуля.
При исследовании ряда процессов в кольцевых лазерах часто устанавливают одно или два дополнительных зеркала,
|
обеспечивающих дополнительную |
||
/ |
связь |
т*2 между |
встречными |
|
волнами. Если за полупрозрач |
||
|
ным |
зеркалом М |
резонатора |
|
(рис. 2.2) установлено дополни |
||
|
тельное зеркало М\, отражающее |
||
|
волну с индексом 2, и дополни |
||
|
тельное зеркало Л12, отражающее |
||
|
волну с индексом 1, то коэффи |
||
|
циенты связи ш£ 2 |
равны [12] |
|
'йЬ2= 2 т (1— г)
(2.44)
Здесь Г], 2— коэффициенты отра жения дополнительных зеркал, г — коэффициент отражения зер кала М, #^2 — фазы коэффициен
тов связи, обусловленные расположением этих зеркал. Из фор мул (2.44) следует, что величины и фазы дополнительной связи можно менять, устанавливая поглощающие фильтры и пере мещая дополнительные зеркала. В формуле (2.32) представим mj, 2 в виде
^1,2 = |
,йь)2 + "г(°>2» |
(2-45) |
|
где m f\ определяет связь |
за |
счет рассеяния |
на неоднородно |
стях диэлектрической проницаемости, а |
— связь за счет |
||
рассеяния на неоднородностях проводимости. |
|
||
Коэффициенты связи |
|
JееТШг d r |
|
thf}2=y |
(2.46) |
||