Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 163

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

290

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ МОД

[ГЛ. XVI

 

 

уравнениями

= Н Г " ! Г -

{[Ш Р + W p R p a E P + г> PNF NPaE2N +

 

^

iVnop

 

 

 

+ i»pppNa{WppNEPE'Ne - 1(«я—лг)' + W PNPE NEpel (“p~MjV) 0]

+

+

WNNNPRNaE2NENX е' t® *-')' +

 

 

 

+

i»NNPpWNNPa (Enf Ёре~21

*}.

(16.1)

Здесь N ф Р, iVnop пропорционально Дсор (см. (11.60), (11.68)). Коэффициенты пространственного перекрытия pjkgn опре­

деляются формулой (11.71)

Vjkq* = J Ej (r) EK (r) Eh (r) Eh (r) dV, v,

V-NM — PNMMNt l*N — VNNNNt

где Ко — объем активной среды. Значения коэффициентов hjkgiv для различных случаев вычислены в гл. XIV (см. (14.22 — (14.49)).

При взаимодействии встречных волн коэффициенты дефор­ мации цррр^ и синхронизации ццшрр равны нулю (см. (14.22)), поэтому уравнения для встречных волн более простые:

[iMp -j- inpRpaE2Ps + i\ipN9?PNaE2Ns,} Eps (16.2)

(s, s '= 1, 2, s ф s').

Пространственное распределение стоячих волн определим че­ рез бегущие волны следующим образом:

Е'ц{х, у , Z) = y = r ( E n (x , y , z ) + E n (x , y , — 2)) =

(16.3)

*2]

КОНКУРЕНЦИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ МОД

£91

 

 

Тогда уравнения взаимодействия двух стоячих волн могут быть получены при помощи уравнений (11.73) и запишутся в виде

d E

 

 

 

~ d t

 

 

 

Д ш р

 

 

 

2 N

{ К - +

[ * р + 2* р р )

“ * » +

+

K r

r « ( . - P" t

аЁ " Ё>“’ "

’ + 4

W J ljT -

^ +

 

+

(^Ш£±!Ьш ± £ мр) аЕнВУ <*'— »>']£ Р +

 

 

 

+ 1( i „

- % * • ) аЩ,Е-ре,г С о -» )' +

 

 

 

+ 'К',™ . ( ”» +2g »» ) a£i,£„e‘ C f-"»)'}

(Р # ЛГ),

(16.4)

где

М'рррд) = Re Ррррдг,

i^Nffpp— Re P-nnpp1

 

 

 

Отметим, что коэффициенты пространственного перекрытия Ц/яолг, входящие в уравнение (16.4), определяются по-прежнему через собственные функции волн, бегущих в одном направлении.

Уравнение (16.4) описывает взаимодействие

стоячих волн как

в кольцевом лазере, так и в линейном лазере

стоячей волны.

§ 2. Конкуренция поперечных мод

Пренебрегая влиянием синхронизации и деформации мод, будем рассматривать конкуренцию двух бегущих или стоячих волн. Это всегда можно сделать, если разность частот волн много больше линейного коэффициента усиления | аР— (Оуу|»

» АюдгТ]-дГ~0— (см. § 10 гл. XI). Более того, в ряде случаев эф- ^ПОр

фектами деформации и синхронизации мод можно пренебречь и при малой разности частот |а>р— ©л-|. Так, нелинейная дефор­ мация отсутствует у мод разной четности по поперечным коор­ динатам, для них ppppjv = Pivjvjvp = 0 (см. (14.22)). Нелиней­ ные синхронизация и деформация отсутствуют у встречных бе­ гущих волн.

Конкуренция двух мод не зависит от фаз мод и может быть рассмотрена на основе следующих амплитудных уравнений:

d E .,

Доз _

дг

 

 

dt =

2

1уnop ( %

Il Na Na ^ 2N

V-NP%NPa E p ) ^N>

 

Д со_

N n

 

(16.5)

 

 

 

тf t nop

(Лр ~ ppa'a£p

V’p n ^'p n ^ n ) ^ p >

10*

292

ВЗАИ М О Д ЕЙ СТВИ Е Д ВУХ МОД

[ГЛ. XVI

где En == |£ jv| — амплитуда N-й моды. Уравнения

(16.5) спра­

ведливы как для бегущих, так и для стоячих волн. Коэффициен­ ты для бегущих волн получены в гл. XI (см. формулы (11.60) и (11.67)). Коэффициенты для стоячих волн выражаются через коэффициенты для бегущих волн (см. (16.10)). Коэффициенты

пространственного нелинейного

перекрытия p,jv =

unnnn и

fuvp = Vnppn даны выражениями

(14.22) —(14.34) и (14.48).

Из рассмотрения устойчивости по отношению к малым флук­

туациям следует, что две моды, N и Р, могут одновременно

устойчиво генерироваться, если выполняются условия

 

XnpV'Np ^

Длг_ ^

ал4*дг

(М'Мр — Црм)-

(16.6)

OpUp

t)p

ОСp n ^ p n

 

 

Так как при взаимодействии мод с одинаковым поперечным рас­ пределением ppjv = Цр = цаг, то условие (16.6) в этом случае накладывает одни и те же ограничения на моды с любым попе­ речным распределением и может быть получено в приближении плоских волн.

При взаимодействии мод с различными пространственными распределениями необходимое условие одновременной генера­ ции имеет вид

^ k l L < K 2t K = y j ^

t

(16.7)

ClyyCtp

 

 

где Kn = цлг/ppn. Как и следовало ожидать,

условие (16.7) осу­

ществляется легче, чем в случае генерации мод с одинаковыми поперечными распределениями, так как для мод с разными про­ странственными распределениями имеет место неравенство К > , > 1 (т. е. такие моды лишь частично перекрываются).

Если активная среда целиком заполняет резонатор, то К определяется поперечными распределениями мод. В резонаторе с плоскими зеркалами К — (3/2)^, где / — число несовпадающих

поперечных индексов

мод 0

^ 2. В резонаторе со сфериче­

скими зеркалами К =

У аРаы1аРЫ-

Если коэффициенты взаимодействия мод %'/а' (%' —%'р^ = %'NP,

a' = a^=ctp) таковы,

что неравенство (16.7) не выполнено, то

осуществляется одномодовый режим, Максимальные значения коэффициентов взаимодействия мод %'/а' для бегущих и стоячих волн приведены в табл. 16.1.

В

газовом кольцевом лазере с доплеровским уширением

встречное волны с разными поперечными

распределениями

( К >

1) могут одновременно генерироваться

при любых часто­

тах, так как для них x7a'!d£ 1.

 

§ 2] КО Н КУРЕН ЦИ Я П О П ЕРЕЧ Н Ы Х МОД 293

Таблица

16.1

 

 

 

 

 

 

Максимальные значения коэффициентов

 

 

 

взаимодействия мод Х'/а'

')

 

 

 

 

 

 

 

 

бегущие волны

 

 

 

 

 

 

Доплеровская линия

усиления

 

однородно-

 

 

 

 

волны в противополож*

уширенная

волны

волны в противоположных

линия

 

ных направлениях на

усиления

в одном

 

направлениях

симметричных частотах

 

направлении

 

 

 

 

(©дг + ©p=*2fi>aft)

 

 

 

 

1

 

 

 

2

2

1

+ ( “

- “ « » )г

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

\

YаЬ )

 

 

 

 

 

 

Стоячие волны

 

 

 

VPPNN

однородно-уширенная

доплеровская линия усиления

HNPPN

линия усиления

 

 

 

 

 

3

2 (

у

 

0

4/3

 

 

2

(

со - соа& у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

VаЪ

1

 

 

 

 

4 +

2 {

° - (0аЬ У

1

2

 

 

 

\

Vab

1

 

 

2 +

( “ — “ « О *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Vab

)

’) Во всех случаях (кроме случая волн с симметричными частотами,

бегущих в противоположных направлениях) значения коэффициентов %'/а' приведены для случая одинаковых частот генерации волн.

Определим, какие моды могут сильно конкурировать в остальных случаях. Так как наибольшее значение, которое мо­ жет иметь коэффициент взаимодействия равно двум (см. табл. 16.1), то из условия (16.7) следует, что моды, поля кото­ рых столь мало перекрываются, что для них К > 2, могут сов­ местно генерироваться даже в случае сколь угодно близких частот генерации.

Для выяснения возможности одновременной генерации в ла­ зере со сферическими зеркалами проверим условие К > 2, под­ ставив значения коэффициентов aPN, aN (см. (14.27) и табл. 14.1).

294

ВЗА И М О Д ЕЙ СТВИ Е ДВУХ МОД

[ГЛ. XVI

Получим, что

если отличаются оба поперечных

индекса мод

(т. е. распределения различны как по оси х, так

и по оси у),

то условие К >

2 выполняется. В случае, если один из попереч­

ных индексов мод совпадает (например,

одинаковы распределе­

ния вдоль оси х), а второй индекс (по у)

отличается больше чем

на единицу, то также К > 2. В обоих этих случаях моды могут генерироваться при любых сколь угодно малых разностях ча­ стот. Если же один поперечный индекс первой моды отличается от соответствующего индекса второй моды на единицу, то такие моды перекрываются сильно (К <С 2), так что они не могут ге­

нерироваться одновременно: в случае мод 00 01 K = V 3, в слу­

чае мод 01 02 К « 1,57

(см. табл. 14.1).

В случае сильного

перекрытия (К < 2) одновременная ге­

нерация двух волн, бегущих в одном направлении, возможна,

только

если

разность

частот

этих

волн достаточно велика

|юлг — о)р| >

|солг — сор|о- Из

(16.7),

подставив коэффициенты

= х,

а ' =

а (11.67),

получим минимальный частотный интер­

вал | (Олт — (Ор 10) начиная с которого возможна совместная гене­ рация. Все результаты в этой главе приведены для случая оди­ наковых ширин уровней генерации уа — у&. В этом случае

Уа ~ 2УаЬ

КУаЬ

i

 

 

У\

. Уд ~ 2УаЬ

 

 

 

а

 

 

 

 

(16.8)

 

 

2Ylb

КУаЬ

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

ЬтСЮДЭ При Уд/\аЬ

0 ПОЛуЧИМ I

<йц ~

©р |0 =

Yа

|

/

"

> О*

При Уа — Yi — Yov =

Y из (16.8)

получим

 

 

 

 

 

 

 

I ©JV—

 

 

1.

 

 

 

 

 

Для

волн с одинаковым поперечным

распределением

поля

(К — 1)

конкуренция возрастает. Из формулы

(16.8)

получим

значение минимального частотного интервала

|солг — юр|о

 

 

 

в + £ +

ы =

- ) ’ - ( 1

+

^

) ] -

 

<>«•»>

Рассмотрим взаимодействие стоячих волн. Из сравнения

уравнений (16.2) и (16.4) нетрудно

увидеть, что коэффи­

циенты взаимодействия стоячих волн

а ' выражаются через

Смотрите также файлы