Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

j 3] ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЗОНАТОРА И СРЕДЫ 281

Объяснить этот эффект можно следующим образом. Нелиней­ ная деформация уширяет поперечное распределение поля (см. (16.34), (16.35)). Величина деформации определяется характе­ ром поперечного распределения. Она уменьшается при расшире­ нии светового пятна.

Если трубка с активной средой поставлена так, что каустика расширяется от одного конца к другому, то для одной волны по направлению ее движения световое пятно уширяется, а у встречной — сужается.

Величина деформации поля волны в слое активной среды за­ висит от ее поперечного распределения в этом слое, которое в свою очередь складывается из поперечного распределения в пустом идеальном резонаторе (14.1) и дошедшего до слоя иска­ жения из-за нелинейной деформации на предшествующем уча­ стке среды. Для встречных волн, пришедших с разных концов трубки, деформация различная, что и вызывает различие иска­ жения распределения (14.1). Следовательно, возникнет разная нелинейная деформация полей встречных волн в слое, приводя­ щая к неодинаковым суммарным деформациям в трубке. В ре­ зультате сдвиги частот встречных волн оказываются различными

ипоявляется расщепление их частот генерации.'

Всогласии со сказанным выше пространственный коэффи­ циент нелинейной трансформации LbcN (15.21) определяется различием размеров каустик на разных концах трубки. Если центр трубки совпадает с шейкой каустики симметричного

кольцевого резонатора (z0 = 0), то L^n = 0 и расщепление ча­ стот отсутствует. На протяжении короткой трубки масштаб поля меняется мало. В соответствии с этим при уменьшении длины трубки коэффициент L^n уменьшается как 14 (см. формулу (15.22)). С другой стороны, если среда заполняет резонатор це­ ликом (L = /), то z0== 0. При этом L^n — 0 и разность частот (15.33) равна нулю.

' Можно подобрать длину и расположение трубки так, чтобы расщепление частот (15.33) стало максимальным. Из физиче­ ских соображений ясно, что для этого трубка должна протя­

Ьх-*оо, by—юо размер светового пятна растет, поперечное рас­ пределение поля становится более однородным, деформация

уменьшается и, согласно (15.22), LbcN/ll~ *0. Поэтому расщеп­ ление частот стремится к нулю. Кроме того, чисто нелинейное расщепление частот (15.33) пропорционально третьей степени коэффициента усиления и, следовательно, в слабом поле мало.

При достаточном увеличении апертуры зеркал ‘знаки нера­ венства в условиях (15.27) и (15.28) сменятся на обратные и

<дифракционные потери станут несущественными, а полные по тери разных поперечных мод — равными (Acojvb = 0). В таком «идеальном» резонаторе без дифракции имеется только чисто нелинейное расщепление частот^

с активной средой определяет предельное минимальное расщеп­ ление частот встречных волн.

§ 4. Расчет дифракционного расщепления частот генерации встречных волн со,—со2 в приближении короткой трубки

Зависимость со,—с»2 от расстройки частоты генерации от­

носительно центра линии усиления. При выполнении условия (15.27) в разность частот oil — со2 основной вклад вносит член Awiriiv, обусловленный искажением полей встречных волн за счет дифракции, и можно представить выражение (15.19) в виде

то расщепление со, — со2 является четной функцией расстройки независимо от изотопного состава активной среды (для чистого изотопа соо совпадает с шаь). Этот факт согласуется с экспери­ ментом [2, 3] (см. рис. 15.1). Четный характер зависимости со, — со2 от со — со0 позволяет на эксперименте отличить дифрак­ ционное расщепление частот от расщепления частот, связанного с различием добротности направлений. В последнем случае за­ висимость разности частот встречных волн от расстройки со — соо имеет нечетный характер (см. 15.46)). На рис. 15.4 приведены зависимости функции F от со — <в0, вычисленные для чистого изо­ топа и для 50% -ной смеси изотопов.

Отметим, что в случае 50%-ной смеси изотопов на центре ли­ нии усиления со —со0 = 0 функция Z7 (со — to0) имеет максимум

5 4] ДИФРАКЦИОННОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЧАСТОТ 283

или минимум в зависимости от знака производной

мом, которая может быть замечена на эксперименте) записы­ вается в виде

Рис. 15.4. Зависимость расщепления частот генерации встречных волн от расстройки частоты генерации относительно центра линии усиления. Кривая / для чистого изотопа

(см. 15.30), (15.35), (15.29), (15.30а)). Область вблизи центра линии (выделена пунктиром) не описывается формулой (15.35) (см. (15.18)). Кривая 2 Для 50Я-НОЙ смеси изотопов (см. (15.35).

В пределе короткой трубки I <к. kbN, Ьх, Ьу в случае резонатора с одной диафрагмой формула (15.25) для Рьс приобретает вид

Будем интересоваться расщеплением частот основной моды mN = пя — 0. Из выражения для Рьс (15.37) следует, что су­ щественный вклад в сумму (15.35) дают только первые попе­ речные моды (ть, пь = 1, 2, 3, 4, 5, 6) (см. (15.42) и (14.276)).

Будем рассчитывать резонаторы, у которых для первых попе­ речных мод разность частот мод либо мала

Подставляя в (15.35) выражение (15.37) для Рьс и пренебрегая вкладом членов с частотами й яь, удовлетворяющими условию (15.39), формулу можно записать в виде

Коэффициенты Мья отвечают за перекрытие мод на апертуре диафрагмы и определяются геометрией резонатора, размером и видом диафрагмы. Для одномерной диафрагмы (щель, полу­ плоскость)

«■ ...-V- «-/-5SK*+(■£)■]•

\n— символ Кронекера.

Врезонаторе с симметричной щелевой диафрагмой вклад в

расщепление частот дают лишь моды с четными т и п (посколь­ ку # 2а— четная функция, а H2h+i — нечетная, то основная мода связана только с четно-четными модами). В этом случае

е-о1

тов перекрытия 0, Afmji 0, однако основной вклад дает не­ большое число мод с т — 0, 2, 4, поэтому максимум кривой расщепления А (15.41) определяется первыми максимумами М02, М04, которые лежат близко друг к другу (см. (15.42)). Коорди­ ната максимума кривой расщепления (15.41) Стах — 0,7 слабо зависит от формы резонатора (от величины R/L), но в разных резонаторах сх соответствует различным размерам диафрагмы d (d = cxdQ). На рис. 15.5, а приведен вид зависимости функции

Рис. 15.5. Зависимость дифракционного расшепления частот от относительного размера диафрагмы сх . а) щелевая диафрагма с шириной щели 2d=2d0cx (см. (15.42)); б) диа­

фрагма в виде полуплоскости. Расстояние от края полуплоскости до оси резонатора равно d=*d0cx .

А (см. (15.41)) для конфокального резонатора от относитель­ ного размера сх симметричной щелевой диафрагмы. Для других резонаторов характер зависимости А от сх сохраняется.

Рассмотрим резонатор с несимметричной диафрагмой; для примера рассчитан случай диафрагмы в виде полуплоскости. Тогда, интегрируя (15.42) в пределах от —оо до сх, получим

V n V 2т

Присутствие мод с нечетными т существенно изменяет вид ча­ стотной кривой, так как определяющую роль играют члены с ЛТ01, Моз. имеющие максимум при сх = 0. На рис. 15.5,6 пред­ ставлена зависимость «ц — шг для конфокального резонатора в случае диафрагмы в виде полуплоскости от безразмерного рас­ стояния сх края полуплоскости от оси резонатора. Характер за­ висимости сохраняется и для других резонаторов.