Файл: Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 158

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3 00

 

 

Вз а и м о д е й с т в и е д в у х м о д

 

[ г л . x v t

четности.

В этом случае

pjyjvjvp = 0

и из

уравнений

(16.1)

и

(16.3)

получим

следующие уравнения

для

генерации

двух мод

на центре линии усиления:

 

 

 

 

 

 

dt

 

Т ~

{% - VNa'aEl -

1^Ра'а4

(20 + 1" cos 2фда)}

 

d<^N

 

 

Асо д .

JV0

 

 

(16.19)

I u>n — Qn = р„рр —

-щ— а аЕр2 sia <рда,

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

Фn p — ( ® м — ® р ) t + Фл/ + ф р + 6

{ РФ N).

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты взаимодействия ft и р в

уравнении

(16.19)

и

фаза 6 имеют следующие значения:

 

 

 

 

а)

для волн,

бегущих в одном направлении,

 

 

 

 

■&= 1 ,р =

VPPNN

6 =

arg

РрРЛГЛГ.

 

 

 

 

 

 

& N P P N

 

 

V’ N P P N

 

 

б) для стоячих волн при доплеровском уширении контура усиления

*=т(з+^ )- - т ('+ М

в) для стоячих волн при однородном ушцрении контура усиления

,= l f 2 + ^£w v)

„ _ i f i .■

 

 

6 = 0.

 

^ \

V-n p p n ) ’

3 \

V-n p p n ) ’

Введем следующие переменные: суммарную интенсивность

Z = a (E~n +

£р),

разность

интенсивности

мод

Y = а (Ер — E2N)

и разность

фаз Фрм —Фр —Фдг- Тогда уравнения захвата при­

мут вид

 

 

 

 

 

 

 

 

аФрдг

— Qp

Qjy-f-p^p p Ac0jyCt/2 sin 2фр^у,

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

dZ

= ^

4 2 r,Z -p „ a '(Z 2 +

n

-

(16.20)

 

~dt

 

 

— pWPa' (Z2 — Y2) (2ft + p cos 2фРДг)},

 

dY

Д со ,

{2г]У — 2p^a'ZK}.

 

 

 

 

~dt

2

 

 

 

§ 3 ] ВЗАИМНАЯ СИН ХРОНИ ЗАЦИ Я ЧАСТОТ МОД 301

При ^ — = — ^ из системы (16.20) получим У = 0 и стационарные уравнения для Z и cos2<pPAf:

Z = _______И_______

VNP»(r + cos2<ppN) ’

где

1 -

(cos 2<ppjv)2

д9

(Г +

COS 2фрЛ,)2

(16.21)

г = ——— )- — , s = ■

(16.22)

IVpM' М.

A co „ ri

Из уравнения (16.21) получим выражения для соз2фРЛ,:

cos 2<pP/v =

1

l

[s2r ± j/l + s2( l —r2)].

(16.23)

 

s2 +

 

 

Легко показать, что решение с

cos 2qpPN = — -jTq-i- [s*r—l/l + s2( l —r2)]

является неустойчивым. Поэтому в дальнейшем будем рассмат­ ривать решение с

cos 2Фрлг =

—

[s2r + V 1 — s2 (г2 — 1)].

(16.24)

Значение суммарной интенсивности Z может быть найдено

из уравнения (16.21)

при

подстановке (16.24). Захват

частот

мод может реально осуществиться, если стационарные значения

интенсивности

Z

и cos 2фР^ вещественны, а также

Z > 0 и

| cos 2фРл? | ^

1 •

 

 

Требование вещественности соэ2фР^ приводит к следующему

ограничению на разность частот мод:

 

 

I

______ А<0;уТЦХ______

(16.25)

 

I ^

Для рассмотрения устойчивости стационарных решений (16.21) по отношению к малым флуктуациям 6Z, 6У и 6фpn ли­ неаризуем систему (16.20). Рассмотрение устойчивости по отно­ шению к развитию малых флуктуаций 6Z и бфрл (фазовая не­ устойчивость) показывает, что в области существования захвата частот (16.25) стационарные решения (16.21) являются устой­ чивыми, т. е. малые флуктуации 6Z и 6фраг затухают.

Условие устойчивости по отношению к конкуренции мод в захвате (оУ) < 0 приводит к условию

26' > рсоз2фРЛ,.

(16.26)

302

ВЗАИ М О Д ЕЙ СТВИ Е ДВУХ МОД

[ г л . x v i

Так как cos2q>pW< 0 , то при

 

 

 

(16.27)

стационарные решения (16.21) устойчивы. Условие (16.27) есть условие малого пространственного перекрытия мод. При выпол­ нении (16.27) режим синхронизации частот мод устойчив во всей области (16.25). При раздвижении частот резонатора усло­ вие (16.25) перестает выполняться и синхронизованный двухмо­ довый режим генерации сменяется режимом нестационарных двухмодовых биений, когда амплитуда каждой моды промодули-

рована

удвоенной

разностной частотой 21солг — о)р |. При увели­

чении

разности | cojv— сор| глубина модуляции

падает пропор-

 

 

Дшл,т)

Дсодр)

ционально отношению ----------- г (см. гл. XI). При ----------- Г<С 1

можно

пренебречь

I “уу ~ “р I

I ®лг “ ®р I

модуляцией и считать, что

амплитуды мод

вдвухмодовом режиме постоянны.

Вслучае достаточно большого пространственного перекры­

тия мод

(16.28)

из условия устойчивости (16.26) следует, что синхронизованный двухмодовый режим (16.21) устойчив в области

(16.29)

Область устойчивости (16.29) меньше области существования (16.25) и стремится к нулю с ростом пространственного пере­ крытия мод, т. е. при цлг/цагр—*■26' — р.

Если при выполнении неравенства (16.28) разность резона­ торных частот превысит граничное значение в (16.29), то уста­ новится одномодовый режим генерации. Какая из двух пол­ ностью симметричных мод будет генерироваться, определяется начальной флуктуацией (гистерезис). При несимметрии мод бу­ дет генерироваться мода с большим коэффициентом усиления rj.

При еще большем пространственном перекрытии мод

(16.30)

синхронизованный двухмодовый режим (16.21) неустойчив при любой разности резонаторных частот |Qiv — Qp|. Для волн, бе­ гущих в одном направлении, неравенство (16.30) выполняется

§ 4] НЕЛИНЕЙНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ МОДЫ 303

при

 

VPPNN

 

1 <

< 2 —

(16.31)

NPPN

 

»NP

 

т. e. для малых коэффициентов

синхронизации VPPNN < 1.

 

 

 

^NPPN

В этом случае одна волна подавляет другую и устанавливается одноволновой режим генерации. Для стоячих волн условие (16.30) не выполняется. При генерации стоячих волн синхрони­ зованный двухмодовый режим (16.21) всегда осуществляется при достаточно малой разности резонаторных частот (см. усло­ вия (16.25) и (16.29)).

Синхронизация частот мод экспериментально

наблюдалась

в газовом линейном лазере стоячей волны [4]. Резонатор был

близок к конфокальному. Разность резонаторных частот, при ко­

торой наступала синхронизация частот генерации мод, примерно

равнялась 20 кгц. Такая величина области синхронизации частот

мод не противоречит теоретическим оценкам

по формулам

(16.25) и (16.29). Более точного сравнения теории и экспери­ мента провести не удается, так как в эксперименте не был из­

мерен линейный коэффициент усиления

З 1-.

 

•** пор

§ 4. Нелинейная деформация генерируемой моды

Рассмотрим монохроматическую генерацию на частоте cojv в идеальном резонаторе, т. е. пренебрежем линейной связью ме­ жду модами. Однако, как уже отмечалось (см. гл. X), из-за не­ однородности нелинейной среды даже в идеальном резонаторе вклад в поле на частоте cojv дает не только N-я мода, но и дру­ гие моды резонатора Р, для которых коэффициент деформации V-n n n p отличен от нуля, хотя условие генерации на этих модах не выполнено. В этом параграфе рассматривается влияние предпороговых мод на изменение поперечного распределения интен­ сивности генерации и на устойчивость стационарной генерации на частоте (Одг по отношению к возникновению генерации на дру­ гих частотах сор (сор Ф (Ojv). М ы будем рассматривать парал­ лельно два случая: взаимодействие волн, бегущих в одном на­ правлении, и взаимодействие стоячих волн. Для встречных волн деформационное взаимодействие отсутствует [innnp = 0 (см. § 2 гл. XIV). Коэффициент деформации [innnp = 0 для мод разной четности по поперечным координатам.

Определим величину примеси (предпороговой) моды ЕР при генерации на частоте wjv. Предположим, что ЕР много меньше амплитуды генерируемой моды EN, и пренебрежем нелинейными

Смотрите также файлы