304 |
в з а и м о д е й с т в и е д в у х м о д |
[ГЛ. XVI |
по полю |
Ер членами |
всюду, кроме уравнения для |
dEp/dt. |
В уравнении для dEPjdt |
насыщение по полю ЕР учитывать нуж |
но, так как иначе при усилении моды Р выше пороговой поле ЕР будет неограниченно нарастать во времени. Действительно, вблизи порога линейное усиление goEP близко к нулю и вели чины линейного goEp и нелинейного цр Аа>ра,'раЕз членов в урав
нении для dEPldt одинаковы.
Из уравнения (16.1) или (16.4) найдем уравнения для ам плитуд En и Ер и разности фаз cpn p
dE N __ dt
dEP _ ___
dt
d ( f NP ^ dt
где
N nop (nN — [iNa'NaE2N)E^N>
|
|
|
Дю„ |
N, |
g E p |
^ n n n p |
2 |
iVnopa E " К C0S(Pvp+Pv sin фда). (16.32) |
n _ |
„ / |
_A |
|
Nn |
14 |
r ’NNNP |
2 |
N nop a £ (Рдг C®S ФлГР aNS^ (fNp)> |
Ф N P = ( a M — w p ) ^ + Ф м — ф р + б»
Afflp |
Nn |
g — go — Рр ~ J ~ |
a p a E P> |
Eo — 2Nn0p |
— ^РК%РЫаЕн)’ |
|
|
^ == |
®p == |
|
^p + |
(°> |
ap “t" (P/v |
хри)аЕ\г) 2~ |
^ N N N P ~ ^ N N N P ’ |
6 = |
arg|Im p , |
|
I для бегущих волн, |
Pw^Pjv” |
|
Re |
|
XPN = ^PN~ ReFi |
|
|
|
V -N N N P = |
^ N N N P ’ |
6 = |
0 , |
для стоячих волн, |
|
"1" XNn)> |
XPN = |
~2 ( XPN ~ Ь ^ PN) |
P ^ = T ( Р м |
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
Q — разность |
частот генерации |
мод N и |
Р в двухмодовом ста |
ционарном режиме на пороге генерации Р-й моды. Коэффи циенты деформации цлгмлгр определены формулами (14.22) — (14.49).
Найдем стационарные решения на частоте oijv с учетом де
формации. Амплитуда генерируемой моды равна аЕ%= ■—, ■.
Р№лг Стационарные значения амплитуды ЕР и разности фаз ср^р
§ 4] н е л и н е й н а я д е ф о р м а ц и я м о д ы 305
удовлетворяют уравнениям
|
_п2 |
/2 |
( A(0^ |
N, |
2 < |
+ Ры ( Чу ¥ |
|
|
аЕр |
V-NNNP^ |
2 |
ff |
|
"Ь В2 |
\ H-JVaAГ/ |
|
|
|
|
|
|
пор/ |
(16.33) |
|
|
|
|
|
^ аNЛ |
|
|
|
|
|
|
gf>N |
mn, |
|
|
|
|
Флгр |
— arctg g a N — QpN |
|
|
|
|
где |
0, |
если |
ga'N + йр^ > |
0, |
cos q>NP > |
О, |
|
т = |
|
1, |
если |
ga'N+ |
Йр^ < |
0 , |
cos q>NP < |
0 . |
|
|
Вдальнейшем будем считать, что частота генерации иn близка
кцентру линии: сом « соаь- Во всех квантовых генераторах для
моды N, близкой к центру линии, р^ 0. Соответственно знак
cos фNP совпадает со знаком насыщенного усиления моды Р. В допороговой области g « g0< 0 и можно в формулах (16.33) заменить g на g0.
Деформация поля приводит к следующему изменению в по перечном распределении интенсивности генерации на N-я моде:
In деф —Ion О "Ь ^ n)>
(16.34)
6/^ = 2 ^ cos (фдгр + флгр)
где lQN= aE2N| |2— интенсивность N-я моды без деформации,
q>NP— разность фаз собственных функций фя и фр. Найдем ве личину изменения интенсивности вследствие деформации б/лг, используя формулы (16.33):
|
g cos (pPN + Q sin <ppN |
p,Niffl/p фр |
6/дг — |
— АирЛм 2 |
£22 + g2 |
. (16.35) |
»N |
Условие применимости (16.35) имеет вид |
|
|
й 2 + g 2 > |
ti2, |
|
Примесь предпороговой P-я моды ЫР велика, если разность частот генерируемой и предпороговой моды Й мала, а коэффи циент деформации v'NNNphiN не слишком мал. Оба условия вы
полняются для поперечных мод одинаковой четности с одинако вым продольным индексом = qP в следующих случаях: 1) в резонаторах со сферическими зеркалами, когда суммы попе речных индексов мод равны (mN+ nN — тР+ пР, при этом й = 0); 2) в сферических резонаторах, близких к плоскому
Рис. 16.1. Зависимость решения уравне ния (16.36) от разности частот мод. Кри вые /, 2, 3 отличаются значением пара метра связи А: I — >1 = 1/27; 2—А = 4/27; J —А=8/27; Хр Хп , у ,,,- т р и решения
306 |
в з а и м о д е й с т в и е д в у х |
м о д |
|
[ГЛ. XVI |
(L/6 < |
1), когда ту -\-tiy Ф тРЦ- пР\ |
3) в резонаторе |
с пло- |
скими зеркалами. Во всех этих случаях |
, NNNP |
1 (см. |
(14.45), |
ч \
N2
'/
/
/Х е
/__ ~
хя "
nNNNN
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.35), (14.49)). Для таких |
|
мод разность фаз резонатор |
|
ных |
собственных |
функций |
|
<Ppjv ( z ) мала. Полагая в фор |
|
муле |
|
(16.35) |
|
sin $pjv = |
0, |
|
cos фpN = 1, получим, что знак |
|
примеси Р-й моды 6/р опреде |
|
ляется |
знаком |
g. |
При |
g < 0 |
|
соответственно |
и 6/р •< 0, |
де |
|
формация приводит к уши- |
|
рению |
|
радиального |
распре |
|
деления; |
при |
g > 0 — к |
су |
2 |
жению. |
|
При |
увеличении g в |
|
области |
g ^ |
0 |
уширяющая |
Вдеформация 6/р пройдет че рез максимальное значение
|
|
|
|
|
1 « , 1 - |
|
|
“у * " - при g - |
в области (16.37)—(16.38); 4—линия границы |
= —| Q| |
и |
обратится |
в |
нуль |
между решениями |
Х| и Xjj, Хц |
|
и Хщ , |
при g = |
0. |
Затем |
при |
росте g |
Решение Хц, проходящее внутри области, |
в области |
g > 0 |
будет |
нара |
ограниченной линией 4 и осью |
X, |
всегда |
неустойчиво. Х[ |
всегда |
устойчиво, |
стать сужающая |
деформация |
Х щ устойчиво в области (16.41) |
(см. [3)). |
вплоть |
|
до |
порога |
генерации |
Из уравнений (16.33) |
|
|
Р-й моды. |
|
|
|
|
|
получим нелинейное уравнение для без- |
размерной интенсивности Р-й моды X(qn » |
coob; |
« |
0) |
|
|
|
Дю_ |
N n |
apaE2p/gQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
X — Ц р - |
|
|
N пор |
|
( S o |
Ф 0 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.36) |
|
Xs— 2Х2 + (1 + В ) Х — Л = |
0, |
|
|
|
г д е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дш, |
■ПN у |
V-NNNP^P а Р |
в |
- ( ± |
|
В > 0. |
А = |
N,пор Sn |
|
|
1*А/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
\Во |
|
|
|
|
Знак А определяется знаком go. Дискриминант уравнения
(16.36) равен
|
|
D = q2 + p\ |
|
|
где |
i |
l |
l |
I |
|
|
|
+ |
|
Р = |( з в - 1 ) . |
Уравнение |
(16.36) |
имеет одно |
вещественное |
решение, если |
D > 0 и три вещественных решения, если D < 0 |
(рис. 16.1). Из |
§ 4] |
Н ЕЛ И Н ЕЙ Н А Я ДЕФ О РМ А Ц И Я МОДЫ |
S 07 |
уравнения D — О найдем границы области существования трех решений А\ <. А < А2, где
Л1>2= | [ ( в + | ) + |/ ( 1 - З В ) з ] |
( о < л < А ) . (16-37> |
Необходимое условие |
существования |
жительность |
усиления go и достаточная |
стот мод по |
сравнению |
с усиле В |
нием: |
|
0,8 |
В |
|
|
(16.38) |
Исследуем устойчивость ста ционарного монохроматического режима генерации на частоте (16.33) относительно малых флуктуаций амплитуды ЕР и фа-
ЗЫ ф NP-
Монохроматическая генерация |
|
неустойчива в области (рис. 16.2) |
|
А <£ А0, где |
0,2 |
|
|
4 |
при |
|
Ап— |
(16.39) |
|
л, |
при В < |
О |
трех решений — поло малость разности ча
tM,
AjA
щ
aJI
0,2 0,<* 0,6А
где go > 0 |
(усиление |
Р-й |
моды |
Рис. 16.2. Влияние нелинейной дефор* |
Граница области устойчивости А9 (16.39) |
выше |
порогового |
значения |
без |
мацни на порог генерации |
Р-Й моды. |
заштрихована. |
В области At < |
А < А3 |
учета деформации), |
|
|
|
существуют три стационарных реше |
|
|
|
ния (см. |
16.36) и (16.37)). |
При |
изменении |
|
|
|
|
|
|
|
|
накачки g0 при постоянной разности |
|
А3 = |
Ц в + ± ) . |
(16.40) |
частот |
мод £2 |
параметры |
А, |
В |
ме* |
|
няются |
по |
закону |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В областях go < |
0 и g0> |
0, А > |
/Дсо^ |
\2 |
„4/3' |
2/3 |
X |
> Aq стационарный |
монохрома |
|
|
-члг |
^NNNP^p |
|
|
пор |
|
|
|
|
тический режим (16.33) устойчив, |
|
|
2/3 |
|
|
|
причем в области |
существования |
|
|
|
|
|
|
|
трех |
решений |
(16.37), |
(16.38) |
|
|
|
|
|
|
|
устойчиво |
решение |
Х\ |
|
(см. |
|
|
|
|
|
|
|
рис. |
16.1). Внутри этой области в узком интервале параметров |
|
|
|
|
■ ± -< Д <4-. |
|
|
|
|
(16.41) |
устойчиво также и решение Лщ, т. е. в области (16.41) имеется два устойчивых решения (см. рис. 16.1). Какое из них осуществ ляется, зависит от предыстории. В формулах (16.39) и (16,41)
3 0 8 ВЗА И М О Д ЕЙ СТВИ Е ДВУХ МОД [ГЛ. XVI
А1,2 определяются формулой (16.37). Проведенное рассмотрение устойчивости справедливо при достаточно малой разности ча
стот мод Q < Yo < Yаь-
Таким образом, при учете деформации пороговое условие ге
|
нерации Р-й моды go > |
0 заменяется более сильным условием |
|
gо gnop, где |
|
|
■/> |
|
ДИр |
N 0 |
( ^ N N N p P p ) 1* |
|
(16.42) |
|
gnop |
' 'Пм |
M'W-'V1 |
|
|
N пор |
|
Усиление конкуренции мод при деформации может быть объяс нено тем, что деформация нарушает ортогональность мод и вследствие этого увеличивает их перекрытие.
Рассмотрим, может ли быть достигнут порог генерации Р-й моды при изменении накачки. Выражение (16.42) является
уравнением для |
gaop. |
Чтобы |
найти |
gnop, |
нужно в уравнение |
|
|
|
|
|
Q 2 \ |
|
|
|
|
|
|
|
(-j—) и выразить gnop через |
разность частот |
|
|
|
|
8пор/ |
|
|
мод Q и другие параметры. Сдёлаем это в двух |
предельных случаях: I.Q |< |
‘/з^пор (в этом случае Л0=Л ,»£22/ ^ ор) |
И I Q | > 1/2ёпор (4> |
« |
72£ВДпор)- |
в обоих предельных слу |
чаях получим |
|
|
|
|
|
|
|
ёпор : |
п I А(0ЛГ No |
\3 |
1 PnnnpPp аР |
(16.43) |
I * |
|
|
|
HN |
aN |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С — » |
1 |
При |
I Q К |
Y f Snopy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
при |
| Q | » |
Y S'nop. |
|
Из (16.43) видно, что gnop неограниченно растет с уменьше нием разности частот мод fi. С другой стороны, усиление Р-й моды go не может быть сделано сколь угодно большим. Действи тельно, максимальное значение go равно
|
gmax |
Д«>ЛГ |
V’PN |
%PN |
(16.44) |
|
2 N пор |
V-N |
aN |
|
|
|
так как с увеличением накачки или апертуры диафрагмы отно
шение линейных коэффициентов усиления мод — • стремится
к единице. При малой разности частот мод Q < Qrp порог гене рации Р-й моды при увеличении накачки или апертуры диа
