ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 153
Скачиваний: 0
314 |
ФЛУКТУАЦИИ В РЕЖ И М Е БЕГУЩ ЕЙ ВОЛНЫ |
(ГЛ. XVII |
Из уравнения (17.5), аналогично тому как это сделано в § 4 гл. II, получим уравнение для комплексной функции $ (t)
, |
©о d<5 . о ее |
|
|
dF- + |
"Q '^ T + a)^ = |
|
|
|
= - - f J |
eP (r, t) e",v dr + |
(t), (17.8) |
где Eb}(t) — компонента |
Фурье поля E iT)( r , i ) . |
|
|
§ 3. Спектральная плотность источника тепловых флуктуаций
В уравнение поля (17.5) введен дополнительный член оаоЕ(т)— источник тепловых флуктуаций. Чтобы определить спектральную плотность этого источника, поступим следующим образом.
Разложим функцию £<т) (г, t) в ряд Фурье
EM{ r , t ) = ^ьl Ek{t)e^.
Средняя энергия тепловых флуктуаций с учетом, этого раз ложения может быть представлена в виде
|
Е(т)! |
V: |
14Т) (о |
V. |
(17.9) |
|
4я |
||||
|
|
4я |
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
4 Т) (О |
V = 2hck (п + |
, й = |
[ех р -^ ----l] |
|
|
4я |
|
|
|
|
|
— средняя тепловая энергия двух взаимно перпендикулярных осцилляторов поперечного поля. Отсюда получаем (в расчете на одно колебание с k — k0) выражение
| еЕ(к} |2 V — 4яйсо0 (й + -j) • ®о = ck0, |
(17.10) |
которое определяет одновременную корреляцию пространствен
ных компонент Фурье eE{ul{t).
Чтобы найти соответствующую спектральную плотность ис точника, стоящего в правой части уравнения (17.8), т. е. функ
цию (еЕ*?)*» используем известный прием.
Поскольку нас интересует источник тепловых флуктуаций, т. е. флуктуаций, не связанных с флуктуациями поляризации Р,
рассмотрим уравнение (17.5) при 6Р = |
0. Из него следует урав |
|
нение для компонент б£Й1(оо) |
|
|
6 £ * 0 (со) (соо — со2 — i |
= |
©оеЕ£1 (со). |
316 |
ФЛУКТУАЦИИ В РЕЖ И М Е БЕГУЩ ЕЙ ВОЛНЫ |
(ГЛ . XVII |
Из (17.15), (17.16) находим искомое выражение
(17.17)
Сравнивая формулы (17.11), (17.17), находим выражение для спектральной плотности теплового источника флуктуаций поля
(17.18)
Из формул (17.18) видно, что спектральная плотность тепловых флуктуаций пропорциональна ширине полосы резонатора, кото рая определяется потерями, не связанными с поляризацией активной части рабочей среды.
Напомним, что величина щ/Q связана с эффективной прово димостью а (см. (2.31)). Величину а можно представить в виде суммы частей, характеризующих различные потери: за счет по глощения в зеркалах резонатора, выхода излучения, поглощения в неактивной среде лазера. В соответствии с этим спектральная плотность тепловых шумов может быть представлена в виде суммы соответствующих членов.
Естественно, что из-за различия температур зеркал и окру жающих тел функции п = ^ехр-^— lj , входящие, напри
мер, в выражения для спектральных плотностей, обусловленных потерями в зеркалах и выходом излучения, будут различны. Это различие, однако, не является существенным в силу того, что для Не—Ne-лазеров отношение йсо/й7'>1. По этой причине мы будем использовать формулу (17.18), понимая в ней под Т некоторую среднюю температуру.
§ |
4. Уравнения для амплитуды и фазы излучения |
в |
гелий-неоновом лазере |
Представим в уравнении поля (17.5) вектор поляризации
активных молекул в виде суммы двух частей |
|
Р (г, t) = Р(инд) + 6Р(СП). |
(17.19) |
Здесь рсипд)(£) — индуцированная часть поляризации — отклик системы на поле Е = ( Е ) -j-6Е; 6Р<СП>— флуктуации поляриза ции, обусловленные атомной структурой активной среды. Эта часть вектора поляризации связана со спонтанным излучением (см. § 9 гл. XX). Конкретное выражение для спектральной плот ности поляризационного шума зависит от режима генерации.
318 ФЛУКТУАЦИИ В РЕЖИМЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ [ГЛ. XVII
Правая часть |
(17.27) в силу неравенства Дюр <С соо слабо зависит |
от со, так как со <С соо. Поэтому при расчете флуктуаций ампли |
|
туды и фазы |
достаточно знать спектральную плотность источ |
ника теплового шума на нулевой частоте (со = |
0). |
|
|
Из формул (17.18), (17.27) следует |
|
|
|
йга=(isa-lw |
t - f 4*'(s+?)• |
<i7-28> |
|
Из формул (17.25), (17.26) находим |
|
|
|
(laTUT))o= (|фТ)|а })о= 0. |
(17.29) |
||
Это означает, что источники |1т), |
статистически независимы. |
||
Найдем соответствующие выражения для |
источников |
поля |
|
ризационного шума. Напомним, что вектор поляризации мы представили в виде суммы двух частей: индуцированной и спон танной (см. (17.19)). Проведем аналогичное разделение для элементов матрицы плотности р0, рь, раь
р = р(и«Д) + |
6р(сп). |
(17.30) |
Из формулы (17.6) находим |
|
|
р(инд) (Г) t) = П J |
+ й аЪpj” rt) dr. |
( 1 7 .3 1 ) |
Подставим выражения (17.30) |
для элементов матрицы плот |
|
ности в уравнения (17.1) —(17.4). Уравнения для |
индуциро |
|
ванных частей элементов матрицы плотности совпадают по форме с уравнениями (17.1) — (17.4) и соответственно с систе мой уравнений (2.10) —(2.13) гл. II.
Уравнения для элементов матрицы 6р(сп) при заданной на
качке, |
т. |
е. без учета флуктуаций функций р^, |
имеют вид |
||||||
|
^■gf" 4 |
® |
бра = |
-g-(daj6pja |
bPab^ba) Е |
Yo^Pa» |
(1 7 .3 2 ) |
||
( ж |
+ |
V Ж |
) брй = |
г |
бРЪа — ЬраьЛьа) Е — Yi 6рЬ, |
( 1 7 .3 3 ) |
|||
I |
д |
|
д |
i®ab + |
\ |
id . |
|
( 1 7 .3 4 ) |
|
(^gj + V -g^T + |
Yab) 6pa6 = |
E (6pь — 6pa), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
6p6o = 6p;6. |
|
|
( 1 7 .3 5 ) |
(Здесь и ниже опускаем для сокращения записи индекс «сп».) Выражение для спонтанной части вектора поляризации свя
зано с элементами матрицы 6р соотношением
бР (г, 0 = Я J (Аьа&РаЬ 4* брbadab) dv. |
(17.36) |