Файл: Реферат по дисциплине Численные методы решения задач строительства на эвм.docx
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 30
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
| астрономии и математической физике; общая биномиальная теорема также является здесь частным случаем. Располагая этим рядом в его общем виде, Гаусс одним ударом сокрушил многое. Этот труд послужил развитию в XIX в. многих приложений к дифференциальным уравнениям физики. Выбор такого исследования для серьезных усилий характерен для Гаусса. Он никогда не печатал тривиальных вещей. Когда он издавал что-то, оно было не только законченным само по себе, но также настолько переполнено идеями, что его последователи получали возможность применять то, что изобрел Гаусс, к новым проблемам. Хотя ограничения по объему книги запрещают обсуждение многих примеров такого фундаментального характера вкладов Гаусса в чистую математику, один из них не может быть обойден молчанием даже в самом коротком очерке -- это труд о законе биквадратичной взаимности. Значение его в том, что он придал новое и совершенно непредвиденное направление высшей арифметике. После установления квадратичной (второй степени) взаимности для Гаусса было естественным рассмотреть общий вопрос о двучленных сравнениях любой степени. Если т -- данное целое число, не делящееся на простое число р, п -- данное положительное целое и если далее можно найти такое целое число х, что х" = т (mod p), то т называется п-ичным вычетом р, когда п -- 4, т называется биквадратичным вычетом р. Статья 1825 г. распахивает целину со всей смелостью великих пионеров. После многих неудачных попыток, ведших к необозримой сложности, Гаусс нашел «естественный» путь к сердцу проблемы. Рациональные целые числа 1, 2, 3, ... не являются подходящими для формулировки закона биквадратичной взаимности, какими они являются для закона квадратичной взаимности; должен быть изобретен совершенно новый вид целых чисел. Они называются гауссовыми комплексными целыми числами. Это все комплексные числа вида а + bi, где а и Ъ -- рациональные целые числа. Чтобы установить закон биквадратичной взаимности, необходимо исчерпывающее предварительное рассмотрение законов арифметической делимости для таких комплексных целых чисел. Гаусс дал его и тем самым положил начало теории алгебраических чисел -- той теории, которую он, вероятно, имел в виду, когда давал свою оценку Последней теореме Ферма. Для кубичной взаимности (п = 3) он также нашел правильный путь подобным образом. Его работа об этом была обнаружена в его посмертных бумагах. | ||||||
| | | | | | АСИЗ-304.2020 | Листт |
| | | | | | 24 | |
| Изм. | Лист | № докум. | Подпись | Дата | ||
| Кубичной взаимностью располагал любимый ученик Гаусса -- Эйзенштейн. Он же обнаружил удивительную связь между законом биквадратичной взаимности и некоторыми частями теории эллиптических функций, в которой Гаусс продвинулся далеко, но воздержался раскрыть то, что нашел. Гауссовы комплексные целые числа являются, конечно, подклассом всех комплексных чисел, и можно было бы подумать, что алгебраическая теория всех чисел даст арифметическую теорию включенных в них целых чисел, как тривиальный частный случай. На самом деле это не так. По сравнению с арифметической теорией алгебраическая теория -- детская игрушка. Возможная причина этого подсказывается рассмотрением рациональных чисел (чисел вида, где а и b -- рациональные целые числа). Мы можем всегда разделить одно рациональное число на другое и получить еще одно рациональное число: -- , деленное на -- , дает рациональное число --. Но рациональное целое число, деленное на другое такое число, не всегда является рациональным целым числом: 7, деленное на 8, дает -- . Следовательно, если мы должны ограничиться целыми числами, что представляет интерес для теории чисел, мы связываем себя по рукам и ногам еще до того, как начинаем действовать. В этом одна из причин, почему высшая арифметика труднее алгебры, высшей или элементарной. В равной степени важные продвижения были сделаны Гауссом также в геометрии и приложениях математики к геодезии, ньютоновой теории тяготения и электромагнетизму. Как мог один человек выполнить эту колоссальную массу работы высшего порядка? С характерной для него скромностью Гаусс заявлял: «Если бы другие размышляли о математических истинах так глубоко и постоянно, как это делаю я, они пришли бы к моим открытиям». Возможно, объяснение Гаусса напоминает ньютоново. Когда его спросили, как он сделал открытия в астрономии, превосходящие открытия всех своих предшественников, Ньютон ответил: «Всегда думая о них». В способности забывать о себе в мире своих мыслей Гаусс имеет сходство и с Архимедом и с Ньютоном. Еще в двух отношениях он также достигал их уровня -- в своих дарованиях к точным наблюдениям и в своей искусной изобретательности, что позволило ему самому создавать инструменты, необходимые для научных исследований в геодезии, астрономии, теории электромагнетизма. В качестве примера его технической изобретательности можно упомянуть, что в 1833 г. он пришел к открытию электрического телеграфа и что он и его сотрудник Вильгельм Вебер (1804 -- 1891) применяли этот телеграф как само собой разумеющееся средство для | ||||||
| | | | | | АСИЗ-304.2020 | Листт |
| | | | | | 25 | |
| Изм. | Лист | № докум. | Подпись | Дата | ||
| передачи сообщений. Такое сочетание математического гения с первоклассными экспериментальными способностями является одним из редчайших во всех естественных науках. Сам Гаусс мало заботился о возможных применениях его изобретений. Как и Архимед, он предпочитал математику всем земным царствам, предоставляя другим собирать осязаемые плоды его трудов. Но Вебер, его сотрудник по фундаментальным исследованиям электромагнетизма, отчетливо понимал, каково значение слабого маленького телеграфа в Гёттингене для цивилизации. «Когда земной шар покроется сетью железных дорог и телеграфных проводов, -- пророчествовал Вебер в 1835 г., -- эти сети сослужат службу, сравнимую с деятельностью нервной системы человеческого тела, частично как транспортные средства, частично как средства распространения идей и новостей со скоростью света». Восхищение Гаусса Ньютоном уже отмечалось. Зная, каких колоссальных усилий стоили ему некоторые его собственные шедевры, Гаусс отдавал должное длительной подготовке и постоянному размышлению, которые привели к величайшему труду Ньютона. Легенда о Ньютоне и падающем яблоке вызывала у Гаусса негодование. К теории гравитационного поля Эйнштейна так же привел напряженный труд, затраченный им в течение нескольких лет на овладение тензорным исчислением двух итальянских математиков -- Риччи и Леви-Чивита, самих по себе учеников Римана и Кристоффеля, которые оба, в свою очередь, вдохновлялись геометрическими трудами Гаусса. Толкуя об Архимеде, к которому он также питал безграничное восхищение, Гаусс заметил, что он не мог понять, как Архимед упустил изобретение десятичной системы счисления или эквивалентной ей с основанием, отличным от 10. Совершенно не греческий по своему духу труд Архимеда, содержавший изобретенную им систему записи и обращения с числами, далеко выходящими за пределы возможностей греческого способа обозначений чисел, предоставил (согласно Гауссу) в руки Архимеда десятичную систему записи с ее всеважнейшим принципом поместного значения (325 = 3 102 + 2 10 + 5). Этот недосмотр Архимеда Гаусс считал величайшим несчастьем в истории науки. «До каких высот поднялась бы теперь наука, если бы Архимед сделал это открытие!» -- восклицал он, думая о массе своих собственных арифметических и астрономических вычислений, которые были бы невозможными, даже для него, без десятичной системы записи. Полностью понимая значение для всех наук улучшенных методов вычислений, Гаусс, как раб, трудился над своими собственными | ||||||
| | | | | | АСИЗ-304.2020 | Листт |
| | | | | | 26 | |
| Изм. | Лист | № докум. | Подпись | Дата | ||
| вычислениями, пока страницы цифр не сводились до нескольких строк, которые могли быть восприняты почти сразу. Сам он многое в своих вычислениях делал в уме; усовершенствования предназначены для тех, кто менее одарен, чем он. В отличие от Ньютона в его поздних летах, Гаусса никогда не привлекали вознаграждения по официальной службе, хотя его острый интерес и проницательность во всех вопросах, имеющих отношение к статистике, страхованию и «политической арифметике», сделали бы его хорошим министром финансов. До своей последней болезни он находил полное удовлетворение в науке и в простых развлечениях. Чтение в широком объеме европейской литературы и классиков античности, критический интерес к мировой политике и овладение в совершенстве иностранными языками и новыми науками (включая ботанику и минералогию), являлись занятиями Гаусса на досуге. Его особенно привлекала английская литература, хотя ее более мрачные аспекты, как в шекспировских трагедиях, были слишком обильными для обостренной чувствительности великого математика ко всем видам страданий, и он предпочитал более светлые и радостные шедевры. Он читал романы Вальтера Скотта (который был современником Гаусса), как только они выходили в свет. Исторические труды на английском языке доставляли ему особое удовольствие. К своему блистательному молодому современнику, лорду Байрону, Гаусс питал почти неприязнь. В отношении литературы своей собственной страны вкусы Гаусса были несколько необычными для интеллигентного немца. Жан Поль был его любимым немецким поэтом; Гёте и Шиллер, чьи жизни частично пересекались с его жизнью, оценивались им не очень высоко. Способность, с которой Гаусс овладевал в юности языками, сохранилась у него на всю жизнь. Языки были для него чем-то большим, чем занятиями на досуге. Чтобы испытать гибкость своего ума, по мере того как он становился старше, Гаусс умышленно овладевал новым языком. Такое упражнение, полагал он, помогает ему сохранить свой ум молодым. В возрасте 62 лет он начал интенсивно изучать русский язык без чьей-либо помощи. Через два года он бегло читал русскую прозу и поэтические сочинения и вел переписку со своими петербургскими друзьями среди ученых полностью на русском языке. По мнению русских, навещавших его в Гёттингене, он также прекрасно говорил по-русски. Русскую литературу он ставил наравне с английской по удовольствию, которое она ему доставляла. | ||||||
| | | | | | АСИЗ-304.2020 | Листт |
| | | | | | 27 | |
| Изм. | Лист | № докум. | Подпись | Дата | ||
| Его третье хобби, мировая политика, поглощало каждый день примерно час. Регулярно посещая литературный музей, он был в курсе событий -- читал все газеты, которые приходили в музей. Интеллектуальный аристократ в политике, Гаусс был вполне консервативен, но никак не реакционер. Его время было бурным и в родной стране и за границей. Власть толпы и акты политического насилия вызывали в нем, как сообщает его друг фон Вальтерсхаузен, «неописуемый ужас». Парижская революция 1848 г. наполнила его страхом. Если бы в Германии вспыхнула гражданская война, говорил Гаусс, он сразу же умер бы. Чужеземное завоевание, на манер великого наполеоновского, он рассматривал, как непостижимое безумие. Другим источником силы Гаусса была его научная скромность и отсутствие личного честолюбия. Все его честолюбие было направлено на продвижение математики. Когда соперники ставили под сомнение его утверждение, что он опередил их, Гаусс не выставлял свой дневник, чтобы доказать свой приоритет, а предоставлял своему утверждению требовать уважения к его собственным достоинствам. Лежандр был самым многоречивым из таких сомневающихся. Один случай сделал его врагом Гаусса на всю жизнь. В «Теории движения» Гаусс сослался на открытый им ранее метод наименьших квадратов. Лежандр опубликовал этот метод в 1806 г., раньше Гаусса. С большим возмущением он написал Гауссу письмо, фактически обвиняя его в нечестности и выражая недовольство тем, что Гаусс, столь богатый в открытиях, мог бы быть настолько порядочным, чтобы не присваивать себе метод наименьших квадратов, который Лежандр считал своим собственным детищем. В спор вступил Лаплас. Гаусс, по-видимому, считал ниже своего достоинства обсуждать вопрос дальше. Но в письме другу он указывает свидетельство, которое могло бы завершить спор тотчас же, если бы Гаусс не был «слишком гордым, чтобы бороться». «Я все сообщил Ольберсу в 1802 г.», -- заявил он, и, если Лежандр был склонен сомневаться в этом, он мог бы спросить Ольберса, который имел рукопись. Спор был крайне неуместным для последующего развития математики, так как Лежандр сообщил о своих неоправданных подозрениях Якоби и тем самым помешал этому блестящему молодому творцу теории эллиптических функций войти в сердечные отношения с Гауссом. Размолвка была тем более прискорбной, что Лежандр был человеком самого возвышенного характера и скрупулезно честным. Ему было суждено быть превзойденным обладавшими | ||||||
| | | | | | АСИЗ-304.2020 | Листт |
| | | | | | 28 | |
| Изм. | Лист | № докум. | Подпись | Дата | ||