Файл: Реферат по дисциплине Численные методы решения задач строительства на эвм.docx
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 24
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
| более богатым воображением, чем он, математиками в областях, в которых он тяжело трудился большую часть своей долгой трудолюбивой жизни, что, как показали более молодые ученые -- Гаусс, Абель и Якоби, -- было излишним. На каждом шагу Гаусс далеко опережал Лежандра. Тем не менее, когда Лежандр обвинил Гаусса в нечестном поступке, тот почувствовал, что сам покинут в беде. После опубликования с подробностями посмертных бумаг Гаусса и многого из его переписки последних лет, все эти старые споры раз и навсегда были разрешены в пользу Гаусса. Но остается еще одно основание для его осуждения -- отсутствие у него сердечности в оценке великих трудов других, особенно более молодых ученых. Когда Коши качал публиковать свои блестящие открытия в теории функций комплексной переменной, Гаусс игнорировал их. Ни слова похвалы или ободрения не дошло до молодого француза от короля математиков. Хорошо, но почему оно должно было дойти? Гаусс сам (как мы видели) достиг сердцевины проблемы годами раньше, чем Коши приступил к ней. Статья по этой теории должна была стать одним из шедевров Гаусса. Далее, когда труд Гамильтона по кватернионам в 1852 г., за 3 года до смерти Гаусса, привлек его внимание, он опять не сказал ни слова. Почему он должен был сказать что-нибудь? Суть предмета была захоронена в его заметках более 30 лет до этого. Он хранил свой покой и не претендовал на приоритет. Как и в своих предвосхищениях теории функций комплексной переменной, теории эллиптических функций и неевклидовой геометрии, Гаусс был удовлетворен проделанной работой. Суть кватернионов -- это алгебра, которая играет роль вращений в трехмерном пространстве, как алгебра комплексных чисел играет роль вращений на плоскости. Но для кватернионов (Гаусс называл их мутациями) нарушается одно из основных правил алгебры: для них уже не верно, что а b = b а, и невозможно создать алгебру трехмерных вращений, в которой это правило сохраняется. Гамильтон, один из великих математических гениев XIX в., пишет с ирландской цветистостью речи, как он в течение 15 лет старался изобрести алгебру, совместимую с тем, что требовалось, пока счастливое вдохновение не дало ему ключ к разгадке, что а b не равно b а в той алгебре, которую он искал. Гаусс не сообщает, сколько времени поглотило у него достижение цели; он просто записал о своем успехе на нескольких страничках об алгебре, не оставляющей математике воображения. Если Гаусс был несколько холоден в печатных выражениях признания ценности трудов, то в переписке и в научных сношениях с теми, кто обращался к нему в духе бескорыстных расспросов, он был достаточно | ||||||
| | | | | | АСИЗ-304.2020 | Листт |
| | | | | | 29 | |
| Изм. | Лист | № докум. | Подпись | Дата | ||
| сердечным. Одна из его дружеских научных связей имеет более чем только математический интерес, так как показывает либеральность взглядов Гаусса касательно женщин, занимающихся научной работой. Широта его взглядов в этом отношении была выдающейся для любого человека его поколения; для немца она была почти беспрецедентной. Женщина, о которой идет речь, -- мадемуазель Софи Жермен (1776-1831) -- была старше Гаусса только на один год. Они никогда не встречались, и она умерла (в Париже) прежде, чем Гёттингенский университет смог присвоить ей почетную докторскую степень, что рекомендовал факультету Гаусс. По курьезному совпадению самая знаменитая женщина-математик XIX в., тоже Софья, получила свою докторскую степень много лет спустя в этом же самом либеральном университете после того, как Берлинский университет отказал ей в этом, учитывая ее пол. Видимо, Софья -- удачное в математике имя для женщин, если только они опекаются широко мыслящими учителями. Ведущая женщина-математик нашего времени -- Эмми Нетер (1882-1935) -- также вышла из Гёттингена. Научные интересы Софи Жермен охватывали акустику, математическую теорию упругости и высшую арифметику; в каждой из них она сделала заметные работы. В частности, ее вклад в исследование Последней теоремы Ферма привел в 1908 г. к значительному продвижению в этом направлении американского математика Леонарда Юджина Диксона (1874 -- 1954). Описание всех выдающихся вкладов Гаусса в чистую и прикладную математику потребовало бы большой книги (возможно, больше, чем потребовалось бы для Ньютона). Здесь мы можем упомянуть только о некоторых более важных трудах, еще не упомянутых, и будем выбирать те из них, которые пополнили математику новыми приемами или завершили выдающиеся проблемы. В виде приблизительной, но удобной хронологии (принятой издателями сочинений Гаусса) мы подытожим основные области интересов Гаусса после 1800 г. следующим образом: 1800 -- 1820 -- астрономия; 1820 -- 1830 -- геодезия, теория поверхностей и теория конформного отображения; 1830 -- 1840 -- математическая физика, в особенности электромагнетизм, земной магнетизм и теория ньютоновского тяготения; 1841 -- 1855 -- топология и геометрия в связи с функциями комплексной переменной. 211 В 1821-1848 гг. Гаусс был научным советником ганноверского (Гёттинген находился тогда под управлением Ганновера) и датского правительств по обширным геодезическим съемкам. Его метод наименьших квадратов и его | ||||||
| | | | | | АСИЗ-304.2020 | Листт |
| | | | | | 30 | |
| Изм. | Лист | № докум. | Подпись | Дата | ||
| мастерство в составлении схем обработки массы числовых данных получили большой размах, но еще важнее, что задачи, возникающие при точном топографировании части земной поверхности, несомненно, навели его на более глубокие и более общие задачи, связанные со всевозможными кривыми поверхностями. Этим исследованиям предстояло породить математику теории относительности. Предмет не был новым: некоторые предшественники Гаусса, особенно Эйлер, Лагранж и Монж, исследовали геометрию определенных типов кривых поверхностей, однако Гауссу осталось атаковать проблему во всей ее общности, и от его исследований развился первый великий период дифференциальной геометрии. Дифференциальную геометрию грубо можно описать как изучение свойств кривых, поверхностей и т. д. в непосредственной близости от некоторой точки, так что можно пренебречь степенями расстояний выше второй. Вдохновленный трудами Гаусса, Риман в 1854 г. написал свою классическую диссертацию о гипотезах, лежащих в основаниях геометрии, которая, в свою очередь, стала началом второго великого периода в дифференциальной геометрии, той, которая применяется теперь в математической физике, особенно в общей теории относительности. Три из проблем, которые рассматривал Гаусс в своем труде по теории поверхностей, навеяли важные в математическом и естественнонаучном отношении общие теории: измерение кривизны, теория конформных отображений и изгибаемость поверхностей. Излишне мистифицируемое движение «искривленного» пространства- времени, которое является чисто математическим расширением известной, мыслимо представляемой кривизны на «пространство», описываемое четырьмя координатами вместо двух, было естественным развитием гауссова труда о кривых поверхностях. Разумность всего этого хорошо проиллюстрирует одно из его определений. Задача состоит в изобретении некоторых точных средств для описания того, как «кривизна» поверхности меняется от точки к точке поверхности; описание должно соответствовать нашему интуитивному представлению о том, что означает «более искривленная» и «менее искривленная». Полная кривизна любой части поверхности, ограниченной замкнутой несамопересекающейся кривой С, определяется следующим образом. Нормалью к поверхности в данной точке является та прямая, проходящая через данную точку, которая перпендикулярна плоскости, касающейся поверхности в данной точке. В каждой точке кривой С имеется нормаль к | ||||||
| | | | | | АСИЗ-304.2020 | Листт |
| | | | | | 31 | |
| Изм. | Лист | № докум. | Подпись | Дата | ||
| поверхности. Вообразим все эти нормали проведенными. Теперь представим, что из центра сферы с единичным радиусом (она может быть расположена где угодно относительно рассматриваемой поверхности) проведены все радиусы, параллельные нормалям, проходящим через точки кривой С. Эти радиусы вырежут на сфере единичного радиуса кривую, скажем С. Площадь этой части сферической поверхности, ограниченной кривой С, и есть по определению полная кривизна данной части криволинейной поверхности, ограниченной кривой С. Небольшое воображение показывает, что это определение соответствует обычным понятиям, как и требовалось. Другой основной идеей, разработанной Гауссом в его исследовании поверхностей, была идея параметрического представления. Чтобы отметить определенную точку на плоскости, требуются две координаты. То же и на поверхности сферы или сфероида, подобного Земле: в этих случаях координаты можно мыслить как широту и долготу. Это поясняет, что значит двухмерное многообразие. В общем случае: если точно п чисел как необходимы, так и достаточны, чтобы отметить (индивидуализировать) каждый отдельный элемент из какого-то класса вещей (точек, звуков, цветов, линий и т. д.), то говорят, что этот класс является п-мерным многообразием. При таком подходе принимается, что лишь некоторые характеристики элементов класса будут определены числами. Так, если мы рассматриваем только высоту звуков, то имеем одномерное многообразие, ибо одного числа -- частоты колебания, соответствующей звуку -- достаточно, чтобы определить его высоту. Если мы присовокупим громкость, измеренную по некоторой подходящей шкале, звуки являются уже двухмерным многообразием, и так далее. Если теперь рассмотрим поверхность как состоящую из точек, то видим, что она является двухмерным многообразием (точек). Употребляя язык геометрии, мы находим удобным говорить о любом двухмерном многообразии как о «поверхности» и применять к многообразию рассуждения геометрии в надежде обнаружить что-нибудь интересное. Метод представления поверхностей имеет большие преимущества перед декартовым методом, когда применяется к изучению кривизны и других свойств поверхностей, которые быстро меняются от точки к точке. Заметим, что параметрическое представление является внутренним, оно соотносит саму поверхность к ее координатам, а не к внешней посторонней системе осей, не связанной с поверхностью, как в случае метода Декарта. Заметим также, что два параметра и и v непосредственно выявляют | ||||||
| | | | | | АСИЗ-304.2020 | Листт |
| | | | | | 32 | |
| Изм. | Лист | № докум. | Подпись | Дата | ||
| двухмерность поверхности. Широта и долгота на земной поверхности являются примерами этих внутренних, «естественных» координат; было бы в высшей степени затруднительным осуществлять навигацию, ссылаясь на три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр Земли, как требовалось бы для кораблевождения по Декарту. Другим преимуществом метода является легкость обобщения на пространство любого числа измерений. Достаточно увеличить число параметров и действовать, как выше. У Римана эти простые идеи естественно приводят к обобщению метрической геометрии Пифагора и Евклида. Основы этого обобщения были заложены Гауссом, но их важность для математики и физики не была полностью оценена до нашего столетия. Геодезические исследования подсказали Гауссу также развитие другого мощного метода геометрии, метода конформного отображения. Конформное отображение в целом постоянно используется в математической физике и ее применениях, например в электростатике, гидродинамике и ее отпрыске -- аэродинамике; в последней оно выступает как часть теории крыла. Еще одной областью геометрии, которую Гаусс обработал с обычными для него основательностью и удачей, была область изгибания поверхностей, в которой требуется определить, какие поверхности могут быть изогнуты в данную поверхность без растягивания и разрывания. И здесь изобретенные Гауссом методы были общими и широко полезными. Гаусс обогатил фундаментальными исследованиями другие разделы естествознания, например математические теории электромагнетизма, включая земной магнетизм, капиллярности, притяжения эллипсоидов (планеты являются эллипсоидами специального вида) при действии ньютонова закона тяготения, а также диоптрики, особенно относительно систем линз. Последняя предоставила ему удобный случай применить некоторые из чисто абстрактных приемов (непрерывные дроби), которые он развивал молодым человеком, чтобы удовлетворить свою любознательность в теории чисел. Во всех этих вещах Гаусс не только возвышенно математизировал, он использовал свои руки и свои глаза, был исключительно тщательным наблюдателем. В течение многих лет Гаусс с помощью своего друга Вебера искал удовлетворительную теорию для всех электромагнитных явлений. Потерпев неудачу в поисках того, что он считал удовлетворительным, Гаусс отказался от своей попытки. Если бы он нашел уравнения электромагнитного | ||||||
| | | | | | АСИЗ-304.2020 | Листт |
| | | | | | 33 | |
| Изм. | Лист | № докум. | Подпись | Дата | ||