Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 117
Скачиваний: 0
(например, а,-0г0), не равны нулю и имеют один и тот же знак,
я;„г„ М> 4 . • • •. х°п) = 0 и bia= (*}, 4 , ... , Хп) фО *).
Если уравнение (23) эллиптично (соответственно гипер болично, параболично) в каждой точке области D, то оно называется эллиптическим (соответственно гиперболическим, параболическим) в D. Например:
ихх + иуу+ игг = / (дг, у, z) всюду эллиптично
(и =*«(*, у, г)),
Uxx-\-4yy-\-UZg — k2utt = f{x, у, z, t) всюду гиперболично
(и=и{х, у, z, t)), uXx-\-Uyy + Uzz — k2ut — f(x, у, z, t) всюду параболично
(и = и (х, у, z, t)).
Здесь k — вещественное число.
ЗА Д А Ч И
1.Привести к каноническому виду уравнения:
а) |
х 2ихх — У 2иуу = |
0; |
|
|
б) y2Uxx~\~X2Llyy = 0, |
|
|
||
в) |
х2ихх -f- 2хуиХу -{-y2Uyy = |
0; |
||
г) |
ихх~\~Уиуу-\-0,5и,у = |
0. |
|
|
2. Привести к простейшему каноническому виду уравнения: |
||||
а) |
ихх~\-^иху~\~иуу~\-Зих —5ui,-j-4« = 0; |
|||
б) |
и.хх + 4иху -j- 3Uyy -j- 5их -)- Uy -|- 4ы = 0; |
|||
Б) |
‘^■uxxJr ‘^uxyJr llyyJr^uxJt^ lly-\-U = Q. |
|||
*) |
Возможны и |
другие |
распределения знаков коэффициентов. |
|
См. П е т р о в с к и й |
И. |
Г., |
Лекции об уравнениях с частными про |
|
изводными, «Наука», |
1965. |
|
|
|
Г л а в а 11
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Мы рассмотрим ряд физических задач, приводящих к уравнениям указанных в гл. I типов. При выводе урав нений, описывающих соответствующие процессы, мы будем пользоваться основными законами сохранения.
§ 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны
Струной мы будем называть упругую нить, не сопро тивляющуюся изгибу, но оказывающую сопротивление растяжению *). Отсутствие сопротивления изгибу мате
матически выражается в том, |
|
|||
что напряжения, возникаю |
|
|||
щие в струне, всегда на |
|
|||
правлены по |
касательной к |
|
||
ее |
мгновенному профилю |
|
||
(рис. 2 ). |
|
|
|
|
ну, |
Будем рассматривать стру |
~х |
||
расположенную |
вдоль |
|||
оси х. Колебания каждой |
Рис. 2. |
|||
точки струны с абсциссой х |
вектора смещения |
|||
описываются |
тремя |
компонентами |
||
{«1 (х, t), иг (х, t), и3(х, t)}. Мы будем рассматривать только такие колебания, в которых смещения струны лежат в одной плоскости (х, и), а вектор смещения перпендику лярен в любой момент времени к оси х (поперечные коле бания). Мы ограничимся рассмотрением лишь малых коле баний, т. е. таких, в которых можно пренебречь квадратом их в сравнении с единицей.
*) Например, нитью иногда можно считать стержень, два изме рения которого малы в сравнении с третьим —длиной.
19
Из предположения о малости колебаний следует, что величина натяжения Т, возникающего в струне, не зави сит от времени t.
В самом деле, рассмотрим участок (лу, х2) невозмущенной струны. Его длина в начальный момент равна х2 — хи
ав момент t она равна
^V l +uldx.
Xi
Для малых колебаний
*2 _____ |
*2 |
§ Y 1 + и'хdx р» ^ 1 • dx = х2 — ху. X, X,
Таким образом, с точностью до членов второго порядка малости по их длина фиксированного участка струны не меняется со временем, т. е. этот участок не растягивается. Отсюда в силу закона Гука следует, что величина натя жения Т не меняется со временем (с точностью до членов второго порядка малости относительно их). Следовательно, Т может быть функцией только х: Т = Т (х). Поскольку мы рассматриваем поперечные колебания, нас будет инте ресовать лишь проекция вектора натяжения на ось и. Обозначим ее через Ти.
Очевидно,
Ти— Т sin а = Т tg a cos а = Т - ■ЦД_. ^ |
Тих, |
|
|
У 1+ их |
|
где а —угол касательной |
к кривой и —и{х, |
t) с осью х |
при фиксированном t (рис. 2 ). |
|
|
Количество движения участка (лу, х2) в момент вре |
||
мени t равно |
|
|
^ ut (g, |
t) Р (g) dl, |
|
Xt |
|
|
где р —линейная плотность струны. Пусть f(x, ^ — плот ность равнодействующей внешних сил, действующих на струну в направлении оси и.
По второму закону Ньютона изменение количества
движения |
участка (ду, |
х2) |
за время |
Дt — t2 — t1 равно |
импульсу |
действующих |
сил, |
которые |
в рассматриваемом |
20
случае складываются из сил натяжения Тих, приложен-
Х 2
ных к концам участка, и внешних сил \f( l, t)dl,
х2 |
tt |
$ |
[Ut {%, t2)-U i(l, ^)] p(l)dl = 5 [Т {х2)их (х2, т ) - |
х, |
<1 |
|
^2 Х2 |
|
— Т{хх)их {хх, T)]fi?T+( \f{ l, x)dldx. (1) |
|
11 x, |
Это и есть уравнение малых поперечных колебаний участка струны между точками хх и х2 в интегральной форме.
Если и (х, t) имеет непрерывные производные второго порядка, а Т (х) — непрерывную производную первого порядка, то, применяя теорему Лагранжа о приращении функции и теорему о среднем для интегралов в уравне нии (1 ), получим
««(£i, та) р (gj) At Ах = ~ [ Т (х) их]х==ъ At Ax + f (ga, т3) At Ах,
|
t— %2 |
|
(2) |
где gi, g2>1з ^ |
[хх, х2], %х, т2, т3 е [tx, t2). Разделив обе части |
равенства (2) |
на At Ах и перейдя к пределу при At-+0 и |
Дл:->-0 , получим дифференциальное уравнение малых по
перечных |
колебаний |
струны |
|
|
Yx [Tux] + f (х, t) = р (х)и«. |
(3) |
|
В случае, |
когда Т = |
const и р = const, уравнение |
обычно |
пишут в |
виде |
|
|
|
a2uxx + F(x, t) = uti, |
(4) |
|
где а2 = Т/р, F (х, t) —f(x, t)/p. Уравнение (4) называется
одномерным волновым уравнением.
§ 2. Уравнение малых продольных колебаний упругого стержня
Мы будем рассматривать стержень, расположенный вдоль оси х. Введем следующие обозначения: S(x) —пло
щадь |
сечения стержня плоскостью, перпендикулярной |
||
оси х, |
проведенной через точку |
х; k (х) и р (х) — модуль |
|
Юнга |
и плотность в сечении с абсциссой х; |
и(х, ^ — вели |
|
чина отклонения (вдоль стержня) |
сечения |
с абсциссой х |
|
в момент времени t\ при этом мы предполагаем, что вели
21