Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Аналогично для F — A cos cat.

У к а з а н и е . Искать решение в случае а) в виде u = v(x) sin со;'-f-

w (х, t)\ в случае б) в виде и =

vx (х) sin cut-j-uz (х) t cos cot-|--го (x , t),

где

у (a-) sin со/ (соответственно

(a) sin ш/ -)- н2 (x) t cos col) удовлетво­

ряет

уравнению и краевым условиям задачи.

31.

и (г, t)= F1(г) + t-F.z И — у т "

V

1

X

V

я»

P n C0SRn

Л =

1

X

Мл г-

р„ — положительные корни

уравнения

tg pi= pi.

Л

’

qR

3R2 — 5r2

3qa2

h W

Fi (г) = u0-}- kx

10R 2 ’

T[R'

где

fi ~b 1/2

»

-

~ - — установившийся

режим, удовлетворяющий уравнению

32. и(х, t) есть решение задачи

[k (х) « v] — р (х) и,, и (0, 1) =

— u (l, 1) = 0,

и(х, 0) =

f(x), где

k(x)

(hklt, 0 < х < х 0,

р (а) =

! рг,

0 < * < * „ ,

\ k2,

Сх<1,

I Р2.

хо< х < I,

и (•*>

0 =

(

Ux {x,

1),

0 ^

д:0,

|

,

t),

*0 й£ *

\

U

и2 (х>0> х0^

х ^

a\ { Ul ) x x = { Ul)t>

aU U2) x x =

(U2)t’

кI

а =1,2),

а1 = ~

Pi

их (0, t)= о ,

«2

(/,

о

= оh, i

(х 0,

о =

н 2 (* „, 0 ;

M i* (-«0. t) = hu-ix (*о> 0 -

U (х,

0) =

/(*);

и(*. 0=

СО

.

1I -

ог,

2

сле

^

Фл (*),

л — I

где

■ Мл

sin

"

х,

: Xq,

at

Sin Г -“ Хц

Фл (*)= <

“1

1

sin — (l — x),

s i n ^ ( ( - x 0)

a 2

a 2

l

j л

у ф

цУ ^ / (A) M(Л) Фл (x) dxt

^ (хп— 1).

а 1

« 2

а 1

211хх— 14-

й (х— ЛГ0) щ.

и (0, t) = и (/, О =

0,

и (х, 0) = [ (х),

или

и (х, 0 = |

U i ( x , t ) ,

0 < х < х а,

и2 (X,

t), Х0 < Х < 1 ,

о® Ы х х = ("/)/

(i = 1, 2),

иг (0, 0 = 0 = и.2 (/, 0 .

их (*0. 0 =

«2 (*о.

0 .

и (*. 0) = f (х);

k u 2x (x0, t) — k u l x {x0,

t ) ~ C au t (х0, 0,

I

где С„ = I Ф»1 ^ Р (-0 / W

Ф я W

dx,

sin р„х

^

:'Гj,

sin р„х0 ’

sin р„ (I — х)

х0:

sin рл (I — х0)

р„ — положительные корни

уравнения

ctgpx0 —ctg р (/ —*<,) =

ц.

СР

СО

^ С0р„ Sin рл fl - * \ - C l cos р„ f 1 — *

= £0 + 2/£0С J) «"

(/ • С • С0 +

/2С3 + C(jp*) рл sin р/{

П=1

С1

где рл — положительные корни уравнения p t g p =

-^-

У к а з а н и е .

Собственные

функции

задачи

ортогональны на

отрезке [0,

/] с

Q

весом р ( х ) = 1+ -£° 6 (х —/).

35.

а)

и (г,

ф) = -~-г cos ф =

х; б)

и = Л +

-~г/; в)

и = Аху;

г) « =

Л+В

В —Л (х3—р2).

2

1

2Я2

У к а з а н и е

к задачам 35—41. См. пример

8 гл. IV,

§ 6.

41.

и =

~

(а2 -

/?i) -

1

+ /?3)

' l

-

у

qq

, 2л -f- 1

2/т-f- I

42.

и(дс,

1!4

V

,

„ / " - г

г

-

г г -

' ’»

У) = ~ г

У.

(-1 )

12я+1)сЬ 2я-

п =

0

У К а з а н и е.

См.

пример 5

гл. IV,

§ 3.

26

Глава VI

1. и (х, 0 = у

- Ф х

RC

At ~ V $ ) +

+

:VRG I — Ф \X l Y

^

Gt,

('-'о)»

V

At

Y

c j

1

('•+ r„)

2.

G (r,

r0;

t) ■

e

iaH

-

i

i a 2t

]■

8 л а а 0 Г

я /

У к а з а н и е .

Заменой

u = v/r свести задачу к одномерной:

a2vrr = vh

v(r,

0) = £гл

- -б (г—г0)

Г'а

3.

и (г, t) ■

\|/

ADtj

\ У ADt 1J +

, «о 1 г щ _

(r — R)>

4аЧ

\ а Ч

Г \

Л

4.

а)

и (х,

у,

z,

t) = u (У х2+ у 2 + (г — г0)2,

____________

t)J

+

u (У х2 +

гу2 +

(г +

г0)2,

б)

и(х,

у ,

z,

t) = u { V x 2+ y 2+ (z — z0)2,

t) —

—и ([/ х2 +

у2 +

(г +

г0)2,

i),

5. и(х, *) = -*-

[

/ ф ( - 7 ^ ~ * . = ) +

Ь -\-х

Ф , - ■■________

2

'

\ \УАа2 (t — x)J

\y A a 2 (t — т)

to

а-\-х

а —х

■Ф

Q (т) dr.

У Act2 (t — x)j

— Ф

\ У Аа2 (t — т)

1

1

(г- |) г

(/- + S)2]

6. и (г, i)'■

^ ёгФ (ё)

е

— в

4аЧ М +

У Aa2nt

г

t

СО

(r - i )*

(г+ Ъ)2

— L = [

\

f (g. У

4 а 2 {t — т ) __е

4а2 — т) I dg dx.

г У Ала2 J

J У t — x

г

о

у

's + i

АпаЧ

АаЧ

j

( rI » \

/o

\2a4j ‘

У к а з а н и е .

Решить

задачу:

a2 (urr-\- — иг '\ = щ,

и (г,

°) = 2^х ' >76 ^ _ г °)’

1«1< 0 °-

Решение ищется в виде и (г, t)= ^ (

С/ (р,

/) •/„ (Яр) У0 (Яг) X dX dp

(см. гл. XIV).

6

о

г 2

СО

8- и(г,

0 = 2^7 Г

^

J

© е_ ** /0 s s ) 1^

О

Уоо

'■*+ !

2а2

И

Т

^

Г ' г

'

"■"0 '• Ы

Ы

' ^

*•

+ i

о

б

g-ht

_ ( х - * ° у

9. С (.V,

*0;

/) =

К 4яа2^

с

АаЧ

Глава VII

1. .)0 ( М ,Р ) _ ^ (1 п г

1

,

R

г д е P i — т о ч к а ,

с и м -

In

метричная точке

' М Р

гигМ Р 1/

г0 —расстояние точки Р

Р относительно окружности,

от

центра круга; б)

G(M,

1 / 1

r

Р ) = !

П—1

4 л \гМ Р

Ч М Р ,

2. G (М,

Pm) - G Kp(M,

Рт)1, где GKp (М, Р ) ~

Р ) =

2

[0кр(М,

функция

Грина

т —0

круга,

_

поляр-

для

внутренности

Рт и Рт — точки с

ными координатами

/

, 2т

\

[

2т

\

1г0, ф0 + —

л) и

(г0, — я —ф01 соответственно,

(/•„,

ф0) —координаты

точки Р.

3. a)

G (Л4, Р ) =

^,т

1

,

где Р„ —точки

с коор­

и —О4 я

\ г

динатами

(р„,

60,

ф’о),

Рп — точки

с

координатами

(рп, б0,

фо)>

(р0,

во» fo) —координаты точки

Р,

R i \ k

при

II с

см

.

((« ■

при

n = 2k,

£%)

1 Ро

'P2Jfe+l

при

n = 2k -|-1,

1*Л2 при

п = 2/е-)-1

1 Ро