Здесь в левой части мы будем иметь многочлен уже не степени п, а степени п—1, так как отсутствует член, содержащий v, a ѵ' есть многочлен степени п—1. Зна чит, тождеством равенство (50*) быть не может (в пра вой части Рп(х) есть многочлен степени п, а в левой — степени п—1). Тогда естественно частное решение искать в форме
и = екх (ѵ • х).
Произведение ѵ-х есть многочлен степени и - f - l:
ѵ-х = |
(АоХя+ |
. . . |
+An)x |
= |
AQx«+\+ . . . |
+Апх. |
Положив |
V-X — W |
(а |
значит, |
взяв частное |
решение |
в форме и = ehxw), |
мы придем |
к равенству |
|
|
w" |
+ (2k + |
p)w' |
= Pa(x). |
(50**) |
Здесь va'— многочлен уже степени п, а значит, и вся левая часть этого равенства, если 2k -f- р ф 0, есть мно гочлен степени п. Приравнивая коэффициенты при оди наковых степенях х многочленов, стоящих в левой и
правой |
частях |
равенства (50**), мы найдем значения |
А о, А\, |
|
Ап, |
при которых равенство (50**) окажется |
тождеством, |
и |
вместе с тем |
найдем и частное |
реше |
ние и уравнения |
( I ) . |
|
k2-\-pk-\-q=0, |
Далее, может оказаться, что не только |
но 2/г + |
р = |
0, |
т. е. 2k ==—р. |
Это будет |
иметь |
место, |
когда k является кратным корнем характеристического уравнения
|
|
г2 + |
рл + <7 = |
0. |
|
Очевидно, в этом случае следует искать частное ре |
шение и уравнения |
(I) в форме |
|
|
|
u = ekxv • x2 = |
ekx(AQX11 |
+ Аххп~х |
- f . . . |
+An)x2. |
Таким образом, общее решение уравнения |
(I) мож |
но найти следующим путем. |
|
|
|
Пусть дано |
уравнение |
|
|
|
|
У" + РУ' + дУ = |
<?хРя(х). |
( I ) |
1) Находим |
сначала |
общее |
решение у уравнения |
|
|
у" + РУ' + дУ = |
0. |
(35) |
2) Выясним, не является ли k корнем характеристи ческого уравнения г2 - f pr.$- q — 0. Если k не есть ко-
рень характеристического уравнения, то частное реше ние и уравнения (I) следует искать в форме
где ѵ = А0хп + 'Ап-.1хп |
+ |
...'+'Ап. |
|
|
|
Неизвестные коэффициенты этого многочлена нахо |
дятся из системы уравнении, получаемой |
приравнива |
нием' коэффициентов |
при одинаковых |
степенях |
х мно |
гочленов, связанных |
тождественным |
соотношением |
ѵ" + (2k + р) о' + |
(k2 + pk + q)v = Pn |
(x). |
(51) |
3) В случае, если k есть простои корень характери стического уравнения, частное решение уравнения (I) следует искать в форме
и = екх |
(ѵ • x) = ekxw. |
|
Неизвестные коэффициенты А0, Аи |
А„ многочлена У |
определяются теперь |
приравниванием |
коэффициентов |
при одинаковых степенях х многочленов, связанных тож
дественным |
соотношением |
|
|
w» + (2k + p)w' = Pn(x)- |
(52) |
4) Если |
k есть кратный корень характеристического |
уравнения, |
то частное решение уравнения (I) следует |
искать в форме |
|
и = екх (ѵ • x2) = ekxw.
Неизвестные коэффициенты многочлена ѵ определятся теперь из системы уравнений, получаемой приравнива нием коэффициентов при одинаковых степенях много членов, связанных тождественным равенством
|
w" = |
Pn(x). |
|
(53) |
Рассмотренный способ |
нахождения |
частного реше |
ния уравнения (I) называется методом |
неопределенных |
коэффициентов. |
|
|
|
|
П Р И М Е Р 14. Найти |
частное решение уравнения |
у" |
+ 4у*=ех(х- |
1), |
(54) |
удовлетворяющее следующим начальным |
условиям |
0 ( 0 ) = |
0 ( 0 ) = - 25-. |
|
Р е ш е н и е . |
Сравнивая |
уравнение |
(54) с |
уравнением |
(50) |
об |
щего вида, видим, что в данном |
уравнении |
р — 0, |
q = |
4, k = |
1. |
Характеристическое уравнение г2 + |
4 = |
0 для |
уравнения |
( / " 4 - 4 у = 0 |
имеет корни ± 2 |
/ . Значит, последнее уравнение |
имеет |
общее |
решение |
у = С, cos 2х + |
С 2 sin 2х. Так |
как |
число |
k = |
1 не является |
корнем |
характеристического уравнения, то частное решение и |
уравнения (54) |
следует искать |
в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
и = ех (Ах + В) — ехѵ.
Таким образом, ѵ — Ах + В, ѵ' = А, ѵ" = 0. Используя для нахождения коэффициентов А и В соотношение (51), получаем
2Л + 5(Ах + В) = х— 1,
что дает |
|
5/1= |
1, |
. • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Л + |
5Я = |
- 1 . . |
|
|
|
откуда находим Л = |
—-> В =—]—. |
Следовательно, v = ~ x |
— -^z, |
|
О |
Zb |
|
|
|
о |
|
и—^ех[^х—g-j, |
и общее |
решение |
исходного |
уравнения |
(54) |
получается такое: |
|
|
|
|
|
|
|
у — у + а = |
Ci cos 2х -f- С 2 |
sin 2х + |
ех [x |
— - g - j . |
|
Легко проверить, что частное решение и не удовлетворяет на чальным условиям. Значит, нужно найти те значения С\ и С2 , при которых решение будет удовлетворять начальным условиям. Нахо
дим для этого производную общего решения |
|
|
|
у' |
= — 2CÎ sin 2х |
+ |
2С 2 |
cos 2х |
+ |
-g- ех |
{^х — - | - j . |
|
Полагая |
теперь в |
общем |
решении |
и |
в |
его |
производной |
х = 0, |
18 |
, |
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£/= = "25~» |
У = |
— 2 5 ' |
п о л У ч |
а е м |
следующую |
систему уравнении |
с не |
известными Ci и С2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
l |
|
25 _ |
25 |
' |
|
I |
|
|
|
|
|
2с |
|
_ |
J |
|
.51 |
|
|
|
|
|
|
2 С |
г |
|
І 5 |
_ |
|
2 5 ' J |
|
|
откуда находим Ci = 1, С 2 = — 1 . Следовательно, искомое частное решение будет
= cos 2х — sin 2х + — ех [x — - g - j.
П Р И М Е Р |
15. |
Найти общее решение |
уравнения |
|
|
|
у"-Ау' |
= |
Ъх2. |
|
|
(55) |
Р е ш е н и е . |
Характеристическое |
уравнение |
г2 |
— Ar == 0 для |
уравнения у" — Ау' |
= 0 имеет корни |
л = |
0, г2 = |
4. |
Следовательно, |
у |
= |
С, -f- C2 e4 ï . Правая |
часть уравнения |
(55) |
может |
быть |
записана |
так: Зе°,х-хг. |
|
Здесь коэффициент k |
показателя |
степени |
функции |
е к х |
равен нулю и, значит, является корнем характеристического |
урав |
нения. Поэтому частное |
решение и |
уравнения |
(55) |
следует |
взять |
в |
форме |
и = |
е*-* (Ах2 |
+ Вх |
+ |
С) х = |
Ах3 + |
Вх* + |
Сх |
= |
w. |
Отсюда |
к»' = |
ЗАх- |
-(- |
2Вх + С, w" = |
бДх + |
20. |
Используя |
теперь |
(52), |
при |
ходим к соотношению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
6-Л.ѵ + |
2 ß - |
4 (ЗЛх2 |
+ |
2 ß x + |
С) = |
Зх2 |
|
|
|
|
|
|
|
— І2Л.Ѵ2 |
+ |
(6Л - |
8ß) х + 2В - |
4С = |
Зх2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравнивая |
коэффициенты |
при одинаковых |
степенях |
х |
многочле |
нов в полученном равенстве, получаем следующую систему урав нений с неизвестными коэффициентами А, В и С;
|
|
|
- |
|
12Л = |
3, |
л |
|
|
|
|
|
|
|
6 Л - 8 о |
= |
0, |
I |
|
|
|
|
|
|
|
2 ß - 4 C |
= |
0. |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
Р е ш а я эту |
систему, |
находим |
А = |
——, |
В = |
— —, С = |
Следовательно, |
и = |
|
II |
+ |
3 |
х2 |
+ |
3 |
\ |
; составляем |
— — ( х 3 |
|
|
х) |
решение уравнения |
(55) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = д |
+ „ = |
С, |
+ С Ѵ 4 * - |
- і |
( х 3 |
+ |
| х 2 |
+ |
1*). |
П Р И М Е Р 16. Найти общее решение уравнения
у" - 2у' + г/ = хе*.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Ищем общее решение у |
уравнения у" |
— 2і/ |
+ у |
— 0. |
Ему |
отвечает |
характеристическое |
уравнение |
г2 |
— 2г + |
I = 0 |
или |
(г—1)2 |
= |
0. Следовательно, |
уравнение |
имеет |
кратный |
корень, |
рав |
ный |
1. |
Отсюда |
у — (Ci -f- Сгх)ех. |
Коэффициент |
k |
показательной |
функции |
в |
правой части равенства |
равен 1, т. е. является |
кратным |
корнем |
характеристического |
уравнения. |
Множитель |
х |
при |
показа |
тельной функции е х в правой части уравнения (56) представляет собой многочлен первой степени. Следовательно, мы должны по ложить
|
и = |
ех (Ах |
+ В) x2 |
= exw, |
где |
w — Л х 3 + |
Sx2 . |
Отсюда |
га' = |
ЗЛх 2 + |
2ßx, |
w" = |
6Лх + |
2В, |
|
|
|
|
и в |
силу (53) |
|
|
|
6Лх + |
В = x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
дает: Л = |
•—•, В — 0. |
Следовательно, |
и = |
х*ех |
и общее реше |
ние |
исходного |
уравнения |
таково: |
|
|
|
|
П Р И М Е Р 17. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|
|
у" |
- 2у - Зу = |
5е3х. |
|
|
|
|
|
(57) |
Р е ш е н и е . Находим общее решение у уравнения |
|
|
|
|
|
у" -2у' |
-3у |
|
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
Его характеристическое |
уравнение г2 |
— 2г — 3 = |
0 |
имеет |
корни 3 |
и — 1 . Значит, у — Схе-* |
+ С2е3х. |
Правая часть 5е3 * уравнения (57) |
представляет |
собой |
произведение |
многочлена |
нулевой |
степени |
(5 = 5х°) и показательной функции е3х, |
|
коэффициент k = |
3 показа |
теля степени которой есть корень характеристического |
уравнения. |
Поэтому следует положить: и = Ахе3х |
— e3xw. |
|
Отсюда |
|
w = Ах, |
w' = A, w" = |
Ой,согласно (52), (6 — 2)Л = |
5, откуда А = ~ . Сле- |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дователыго, |
и——хе, |
|
и общее решение уравнения |
(57) получаем |
в виде |
у = С і е - х + е3х(с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
^х). |
|
|
|
|
|
3. Обратимся |
к вопросу |
о решении |
уравнения |
|
У" + РУ'Л- qy = a cos ах-\-b sin ах. |
|
( I I ) |
Общее |
решение |
этого |
уравнения, |
как |
и |
|
уравне |
ния (I), будем составлять |
из суммы общего решения у |
уравнения |
у" + ру' -f- qy = |
0 и частного |
|
решения |
и пол |
ного уравнения (II) . Будем |
искать это частное |
решение |
в виде |
|
и = A cos ах + В sin ах, |
|
|
|
|
(58) |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты А и В, как мы сейчас увидим, можно найти методом неопределенных коэффициентов.
Заменяя в уравнении (II) у функцией и, получаем
и" -f- pu' -f- qu = a cos ах + b sin ах,
или, так как в силу (58)
и' = — Аа sin ах + Во cos ах, и" = — Лео2 cos ах — Ва2 sin cox,
после несложных преобразований,
(—Аа2 + Вар + Aq) cos ид: + (—В а2 — Ара + ß<7)sin«>A: =
= a cos ах + 6 sin ox.
Для того чтобы функция и являлась решением уравне ния (II) , нужно, чтобы это равенство было тождеством, а это возможно лишь при равенстве коэффициентов при
