Файл: Статистика финансов учеб. пособие.pdf

Например, страхователю 40 лет, а по условию договора стра­ ховщик обязан выплатить ему 1 руб. при дожитии до 45 лет. Еди­ новременная премия, которую застрахованный должен уплатить при заключении договора, равняется (/ = 0,03).

В данном случае 0,8455 есть нетто-ставка для лиц возраста 40 лет, страхующихся на дожитие до 45 лет. Ее значение определяется также посредством коммутационных чисел табл. 9.7:

Если страховая сумма по договору определена в размере 300 руб., то нетто-премия страхователя равняется 254 оуб. (300 рѵб.Х X 0,8455).

Страховая сумма может выплачиваться страхователю в виде пенсии. В этом случае размер единовременной премии должен со­ ответствовать современной стоимости всех вероятных выплат страховщика. Обозначим размер такой премии символом ах. Совре­ менная стоимость выплат страховщика определена правой частью равенства 1. Если платежи страховщика производятся без отсрочки, то можем записать:

182

Вычисление Nx производится путем накапливания Dx снизу вверх таблицы (см. табл. 9.7).

Пусть, например, страхователю 40 лет. Страховщик может выплачивать ему пожизненно по 1 руб. в конце каждого года при условии, что единовременный взнос составит

страховщиком в конце каждого года размер единовременного взно­ са определяется с учетом времени отсрочки в соответствии с ра­ венством

N x-f n -

Допустим, что страховщик согласен выплачивать страховате­ лю по 1 руб. пожизненно не с момента уплаты премии, а спустя 5 лет. В этом случае единовременный взнос страхователя, чей возраст равен 40 годам, должен составить:

183

Если а*— размер единовременной премии при пожизненной ренте, а n|öx — размер единовременной премии при отсроченной ренте, то разница ах— п\ах представляет единовременную премию страхователя при получении им от страховщика 1 руб. в течение ближайших лет после заключения договора. Это временная рента. Так как

то нетто-ставка временного страхования на дожитие также опре­ деляется по таблице коммутационных чисел.

Для вышеприведенного примера, но при условии, что страхов­ щик должен выплачивать застрахованному в течение пяти бли­ жайших лет по 1 руб. в конце каждого года, нетто-ставка равня­ ется:

ЛТі-УѴ4в 558 659-435 730

По договору страхования страхователь может вносить премии не единовременно, а периодически. Современная стоимость вероят­ ных платежей страхователя приводится к единовременному взносу. Независимо от характера последующих выплат страховщика обо­ значим его символом А. В соответствии с левой частью равенства

(1) современная вероятная стоимость всех выплат страхователя составляет сумму, равную величине

А — а (оРх+ 1 РхѴ+ гР.ѵУ2 + • • • ) —

Отсюда размер периодического взноса определяется как

Числитель и знаменатель данной формулы модифицируются в зависимости от условий выплаты страховой суммы страховщиком. Заменим в предыдущем примере единовременный взнос страхова­ теля годовыми платежами, производимыми в конце года. Неттоставка определяется в этом случае как

По условию примера

Nl9- N u ==585814-458681 = 0,18,

184

до 45 лет получит единовременно 300 руб.

Изменим условие договора. Пусть страхователь платит пре­ мии в течение 5 лет, а страховщик платит затем ему пожизненно по 1 руб. в конце каждого года. Для отсроченного пожизненного страхования сумма единовременного взноса была определена как

Подставив из таблицы коммутационных чисел значения Nx, по­

Нетто-ставка при страховании на случай смерти также опре­ деляется при помощи таблиц коммутационных чисел. Рассмотрим два случая страхования жизни: пожизненное страхование, когда страховая сумма выплачивается страховщиком немедленно после смерти страхователя, в какое бы время смерть ни последовала, и временное страхование на случай смерти, условием которого явля­ ется выплата страховой суммы, если смерть последует и в бли­ жайшие годы после заключения договора.

При страховании на случай смерти условием уплаты страховой суммы является смерть застрахованного. В силу этого размер выплат страховщика зависит от числа смертей за каждый год. Вероятность для лица, имеющего возраст х лет, умереть в течение

предстоящего года жизни равна: qx Вероятность для того же

Современные стоимости вероятных платежей страхователя и стра­ ховщика должны равняться друг другу. Так как премии застрахо­ ванного на случай смерти вносятся при его жизни, а платежи страховщика производятся в связи со смертью страхователя, то для ряда последовательных выплат получаем равенство

а(оР». + іР*ѵ + 2/7ту2+ • • •) =<х {і\^хѴ+2 \сЦхѴг+ з\ЯхѴ3+.- • •), (9)

где а — взносы страхователя и платежи страховщика. В соответ­ ствии с данным равенством осуществляется расчет нетто-ставок при страховании на случай смерти.

При пожизненном страховании на случай смерти единовремен­ ный взнос страхователя должен равняться сумме всех современ­ ных вероятных значений выплат страховщика.

185

Обозначим единовременный взнос страхователя на случай смерти символом Ах. Сумма вероятных современных выплат стра­ ховщика соответствует правой части равенства (10).

В результате можем записать, что

^ х= 1 і<?ЖУ + 2і^ 2 + ЗІ^У3+'- ■•

—■

где Мх = Сх-\,-Сх+\Л- Сж+2+ ... и т. д. до конца таблицы смертности.

Значение Мх определяется из таблиц коммутационных чисел так, как это показано в табл. 9.8. Например, размер нетто-ставки при пожизненном страховании лиц в возрасте 40 лет равняется:

Для временного страхования на случай смерти размер едино­ временного взноса определяется как разница между ставкой по­ жизненного и отсроченного страхования. При отсроченном стра­ ховании на случай смерти страховщик берет на себя обязатель­ ство выплатить страховую сумму, если смерть страхователя после­ дует по истечении п лет. Отсчет коммутационного числа отодви­ гается на время отсрочки и величина нетто-ставки равняется:

Нетто-ставка для временного страхования жизни равняется:

Пусть возраст застрахованного на случай смерти равен 40 годам, срок временного страхования равен 5 годам. Нетто-ставка при этих условиях равняется:

Единовременные взносы застрахованных на случай смерти за­ меняются периодическими платежами. По аналогии со страхова­ нием на дожитие при страховании на случай смерти размер перио­ дических (годовых) премий, вносимых в начале года, определяет­ ся, как (12):

186