Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

энергетики, экономики, надежности, сложности и других факторов, характеризующих автоматические системы, при их оценке, проек­ тировании н разработке возможен на основе использования дополни­ тельных критериев и математической формализации соответствующих оценок. В этом направлении теория автоматического управления в на­ стоящее время успешно развивается как общая теория управления.

Состояние объекта управления в общем случае характеризуется большим числом величин или переменных. Однако с точки зрения определенной задачи управления в теории управления существен­ ными являются только небольшое число этих переменных. Напри­ мер, если при управлении самолетом поставлена задача полета только в определенном направлении, то существенными переменными яв­ ляются положение осей самолета в пространстве и направление вектора скорости. Высота полета, величина скорости, время полета и другие переменные в целом характеризуют полет, но они не оказы­ вают непосредственного влияния на работу системы управления и не существенны для организации процесса управления; или, если в тур­ бине (паровой, газовой) поддерживается определенная заданная ско­ рость вращения, то число оборотов турбины в единицу времени яв­ ляется переменной управления. Угол поворота турбины, ее темпера­ тура также характеризуют процессы, происходящие в турбине, но с точки зрения обеспечения заданного числа оборотов они являются второстепенными.

Переменные, определяющие состояние объекта управления, су­ щественные для организации процесса управления, носят название

выходных переменных, выходных сигналов или выходных функций системы. Эти переменные наблюдают в определенных точках, назы­ ваемых выходами системы.

Объект управления и система управления подвержены действию различных внешних возмущений. Внешние возмущения называются

входными переменными, входными сигналами или входными функ­ циями. Точки приложения входных сигналов называют входами си­ стемы. Заметим, что одни и те же сигналы могут быть входными и выходными. Эти понятия имеют относительный характер, и их сле­ дует применять по отношению к определенной системе.

Входные и выходные сигналы измерителей и других устройств содержат в себе полезные сигналы и помехи. Первые представляют со­ бой заданные сигналы или сигналы при точном функционировании всех устройств. Полезные сигналы играют решающую роль при орга­ низации процесса управления. Помехи не связаны с задачей управ­ ления и играют отрицательную роль в процессе управления. Помехи являются случайными функциями времени или случайными величи­ нами. Они характеризуют ошибки приборов и влияние среды, в ко­ торой работает система.

Например, автоматическая промышленная система, предназна­ ченная для производства калиброванных деталей, обеспечивает не­ обходимую подачу режущего инструмента от специального программ­ ного управляющего устройства, работающего в определенном темпе. Однако неизбежны случайные колебания напряжения питания элек-

7

тродвнгателя, вибрации, случайные различия в твердости заготовок. Все это приводит к отклонению от программных режимов обра­ ботки деталей и к случайным разбросам размеров обработанных деталей.

Вторым типичным примером автоматической системы, подвержен­ ной действию случайных возмущений, является самолет. На самолет действует реальная атмосфера, находящаяся в непрерывном турбу­ лентном случайном движении. Вследствие этого самолет в полете всегда находится под непрерывным действием случайных аэродинами­ ческих сил и моментов, зависящих от скорости полета и от случай­ ного движения атмосферы.

Наконец, в самих элементах любой автоматической системы, имеющей механические, электронные, оптические, электродинамиче­ ские, радиотехнические, пневматические и другие элементы, возни­ кают случайные колебания (флуктуации) полезных сигналов за счет внутренних изменений в этих элементах. В результате этого полезные сигналы управления в реальных системах смешаны с помехами,

иполностью отделить полезный сигнал от помех невозможно.

Внекоторых случаях целесообразно и полезный сигнал рассма­ тривать как случайный, имея в виду, что в каждом отдельно взятом случае он может быть произвольным и зависящим от условий при­ менения объекта или системы в целом или поставленной задачи. На­ пример, в первом рассмотренном примере размер или профиль обра­ батываемых деталей может быть задан различным, произвольным, зависящим от партии обрабатываемых деталей. Во втором примере полет самолета может происходить на различных высотах и с различ­ ными заданными скоростями в соответствии с заданным профилем полета. Заданный профиль полета определяется целым рядом обстоя­ тельств, которые заранее при проектировании самолета точно учесть невозможно. Поэтому самолет должен быть рассчитан на возмож­ ность выполнения любого случайного профиля полета.

Случайные сигналы изучаются в теории вероятностей и теории случайных процессов, где принято обозначать их большими буквами алфавита.

Изучение поведения автоматических систем при действии случай­ ных входных сигналов является предметом статистической теории систем управления. В настоящее время вероятностные (статистиче­ ские) методы исследования получили большое развитие и являются важной составной частью общей теории управления.

Различают одномерные системы, имеющие один вход и один вы­ ход, и многомерные системы с несколькими входами и выходами. В тео­ рии управления любую систему или ее часть изображают схематически в виде прямоугольника со стрелками, указывающими ее входы и выходы и направление прохождения сигналов. На рис. 1.1 изображена одномерная система, а на рис. 1.2— многомерная. Если рассма­ тривать входные и выходные переменные многомерной системы как компоненты некоторых векторных переменных, то, обозначая одной буквой соответственно совокупность входных и выходных пере­ менных, как показано на рис. 1.2, формально можно перейти к изо-

8

бражеиию многомерной системы как одномерной, но с векторными переменными.

вание динамической системы связано с преобразованием некоторой входной информации, заданной входными сигналами. При этом каж­ дой данной комбинации входных функций автоматическая система ставит в соответствие некоторую единственную комбинацию выход­ ных функций. С математической точки зрения закон, в соответствии с которым по заданным входным функциям определяются выходные функции, называется оператором.

Таким образом, каждой динамической системе соответствует опре­ деленный оператор, являющийся ее полной характеристикой, ко­ торый называют оператором системы. Оператор системы обозначим кратко одной буквой, понимая под этим символом любые математи­ ческие действия: алгебраические операции, дифференцирование, интегрирование, решение дифференциальных, интегральных, ал­ гебраических и любых других функциональных уравнений, а также логические действия. Понимая в общем случае подл: (/) вектор вход­ ных функций, а под у (t) вектор выходных функций, запишем

у (I) = А х (О,

где А — оператор системы.

1.2. Классификация систем

Применяемые автоматические системы разнообразны по принципу действия и по конструкции. Классифицировать их в теории автомати­ ческого управления, где изучаются основные динамические характе­ ристики, по этим признакам нецелесообразно. Однако динамические свойства систем независимо от физических принципов, на которых они основаны, полностью определяются операторами систем, поэтому в теории автоматического управления за основу классификации си­

Автоматическая система линейна, если линеен ее оператор. Свой­ ство, выраженное формулой (1.1), называется принципом суперпо­

9

зиции п состоит в том, что результат действия линейного оператора на любую линейную комбинацию заданных функций является линей­ ной комбинацией от результатов его действия на каждую функцию в отдельности с темн же коэффициентами. Линейные системы можно определить как такие системы, для которых справедлив принцип суперпозиции. Примерами линейных операторов являются оператор дифференцирования

y(t) = ^Lx(t)

иинтегральный оператор общего вида

пt

У(!) = 2 J Sr(t,T)xr{t)dT,

г=1 to

где gr (/, т) — некоторые известные функции.

Оператор решения линейных дифференциальных, интегральных, разностных для алгебраических уравнений является также линей­ ным. Уравнения, описывающие поведение линейных систем, всегда линейны. Для систем, поведение которых характеризуется уравне­ ниями, можно дать другое частное определение линейности. Оно состоит в том, что если все уравнения, описывающие поведение си­ стемы, линейны, то такая система линейна.

Заметим, что из справедливости принципа суперпозиции для ли­ нейных систем при любом числе слагаемых и любом выборе функций xv (i) и чисел Су следует применимость его не только к суммам, но и к интегральным формам.

Оператор А называется нелинейным, если для него принцип супер­ позиции не выполняется или справедлив только при некоторых вполне определенных функциях x^i), . . ., хп (t) и числах сь . . ., сп. Примерами нелинейного оператора являются дифференцирование нелинейной функции ср (х), т. е.

У(*) = 4т Ф ИО]»

иинтегрирование нелинейной функции

У(*) = J Ф [х (t)] dx, to

где ср (х) — функция нелинейная относительно х (/). Поведение не­ линейной системы описывается уравнениями, среди которых есть хотя бы одно нелинейное.

Оператор системы может быть стационарным и нестационарным.

В первом случае свойства оператора не зависят от времени, во втором случае он может менять во времени свои свойства и структуру. Если оператор системы стационарный, то такая система называется ста­ ционарной. Реакция ее на любой заданный тип возмущения зависит только от интервала времени между данным моментом времени и

10