Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 1
Введенную таким образом S-функцию можно рассматривать как производную единичной ступенчатой функции 1 (t), определяемой равенствами
|
|
f 0 при t < |
О |
( 1.22) |
||
|
1 ® |
= \1 |
при |
f > |
0. |
|
|
|
|||||
Используя |
обозначение |
(1.22), |
на |
основании выражений |
(1.19) |
|
и (1.20) запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.23) |
Дифференцируя эту формулу, |
получим |
|
|
|||
|
|
6 (0 |
= 1' (i). |
|
(1.24) |
|
Используя свойства 6-функции, легко показать справедливость |
||||||
следующего выражения для любого |
е > 0 и любой непрерывной |
|||||
функции х (/): |
|
|
|
|
|
|
Н-е |
|
И-е |
|
|
|
|
| |
х(т)6(^ — т) dx = I |
х (т)5(т— i)dx = x(i)t |
(1-25) |
|||
i—Б |
|
/—В |
|
|
|
|
На основании выражения (1.19) подынтегральная функция в фор
муле (1.25) везде равна нулю, кроме точки т = t. |
В этой точке х (т) = |
= х ((). Значение интегралов в равенстве (1.25) |
не изменится, если |
в них х (т) заменить на х (t). Величину х (t.) выносим за знак интеграла и, используя формулу (1.20), получим
/+е |
Н-е |
|
в |
|
J |
х(т)6(^—т)dx = x(i) |
| |
8(t — t ) c(t = a'(/)J 8(a)do = x(t), |
|
l—e |
/—в |
|
—в |
|
|
|
|
|
(1.26) |
Вследствие того, что подынтегральная функция в выражении |
||||
(1.25) |
равна нулю при всех значениях т, кроме т = t, пределы ин |
|||
тегрирования можно произвольно расширить |
и записать |
|||
|
|
00 |
|
|
|
х (t) = |
| |
х (т) 6 (t — т) dx. |
(1-27) |
( — оо < t < оо)
Заметим, что формулы (1.25) и (1.27) справедливы также для функ ции х (0, имеющей в точке t разрыв первого рода, если ее значение
вэтой точке определить как среднее арифметическое значений справа
ислева.
Дифференцируя формально тождество (1.27) по t для функции х (t), имеющей непрерывные производные до п-то порядка, получим
ОТ |
|
x(ft) (t) = f х (т) 6(fe>(t — т) dx, |
(1.28) |
( * = i ....... «)
где 6<ft) (t — t ) — производная 6-функции k-то порядка.
16
Формула (1.27) представляет собой разложение функции х (t) на бесконечно большое число бесконечно малых элементарных им пульсных слагаемых х (т) б (t — т) dr.
Рассмотрим линейную одномерную нестационарную систему с од ним входом и одним выходом, имеющую оператор А. Пусть в произ вольный момент т на вход системы будет приложено возмущение в виде 8-функции. Реакцию системы на выходе в момент t обозначим g (t,
т). Она выражается формулой |
|
g (t, т) = A t8 (t — %), |
(1.29) |
где индекс t у оператора А показывает, что оператор выполняется над функцией б (t — т), рассматриваемой как функция t при фикси рованном т. Реакция системы в общем случае для нестационарной системы зависит от переменных t и т, т. е. от момента действия им пульса т и текущего момента времени t, в который изучается реакция.
Функция g (/, т) называется весовой, или импульсной переходной функ цией, и представляет собой реакцию на выходе системы в момент t на единичный импульс, действующий на вход системы в момент т.
Весовая функция любой реально существующей системы имеет то свойство, что она равна нулю при значении второго аргумента, большем значения первого:
g (t, т) = 0, т > t.
Это свойство называется условием физической возможности си стемы и отражает тот факт, что никакая реальная система не может реагировать в данный момент на возмущение, которое будет действо вать на нее позже. На рис. 1.3 изображена весовая функция физи чески возможной системы. Она представляет собой поверхность, определенную в области т ^ t. Весовая функция стационарной ли нейной системы зависит от интервала времени между моментом дей ствия импульса т и данным моментом времени t, т. е. зависит только от разности аргументов t — т:
|
g (t, т) = w (t — т). |
Отсюда следует, |
что реакция стационарной линейной системы |
на б-возмущение для |
любого момента времени характеризуется одной |
Рис. 1.3. Весовая функция линей- |
Рис. 1.4. Весовая функция ста- |
ной системы |
ционарной системы |
2 В. С. Пугачев |
17 |
и той же функцией одного аргумента | = I — т н изображается пло ской кривой, как показано на рис. 1.4.
Весовая функция дискретной нестационарной линейной системы представляет собой комбинацию 6-функцпй с весовыми коэффициен тами, зависящими от момента времени, в который определяется ре акция [21, 58]:
g(t,-z)= £ Я* (0 в (/* — х), |
(1.30) |
к = — со |
|
где gk (/) — весовые коэффициенты дискретной линейной системы. Они характеризуют долю, или удельный вес, значений входных переменных, действующих в различные моменты времени tk и фор мирующих выходную переменную системы в любой момент t. При
этом |
4 есть дискретные моменты времени, tk — kTn, /е = 0, ±1, |
±2, |
. . ., Тп — период повторения импульсов. Выходная переменная |
в дискретной системе определяется также в дискретные моменты времени t = IiTn, h = 0, ±1, ±2, . . . Для определения значений выходной переменной в интервалах между тактами принимаем мо мент времени
l = (h + е) Тп. |
|
( O ^ e ^ l ) |
(1.31) |
Подставляя выражение (1.31) в формулу (1.30), получим |
|
g[(h + e)T„, т ]= 2 g (/г, е, /г) б (1гТп— т), |
(1.32) |
k——00 |
|
где для весовых коэффициентов введено обозначение gk [(/i + е) Т„] = g (h, е, /г).
Весовая функция физически возможной нестационарной системы в соответствии с формулой (1.32) имеет вид
g [(/г + е) Т„, т] = S g (/г, е- /г) 6 (kTn— т)- |
(i .33) |
к—О |
|
Совокупность весовых коэффициентов g (/г, е, k) полностью опре деляет весовую функцию. Поэтому часто g (h, е, /г) как функцию пара метров /г, е, k называют весовой функцией дискретной линейной си
стемы [43, 44, 73].
Если пренебречь интервалом времени, меньшим периода повто рения импульсов, и рассматривать только сдвиги во времени, крат ные периоду повторения импульсов, то можно ввести определение стационарной дискретной системы. Реакция стационарной дискретной системы не меняет формы при сдвиге на интервал, кратный пе риоду повторения импульсов. Весовые коэффициенты стационарных дискретных линейных систем представляют собой одну и ту же функ цию, сдвинутую во времени на интервалы, кратные периоду повто рения импульсов. Весовую функцию стационарной физически воз
18
можной дискретной системы можно получить из формулы (1.33),
если |
ввести |
следующие |
обозначения: |
||
= g |
t — x = |
l, (h — k) |
Тп = |
шТп, |
w (I) = g (t — т), w (пг) = |
[(/г — к) Гр]. При |
этом |
для |
дискретного выхода получаем |
||
[21, |
58] |
|
|
|
|
а>(£)= |
w (m)8(£,—mTu) , |
(1-34) |
|
ш=О |
|
Для непрерывного выхода соответственно весовая функция имеет
вид
ИИ + еТ’, , ^ S w (m>е)6(£ —шТ„),
ш=О
где w (/п) и ву (пг, г) — весовые коэффициенты стационарной дискрет ной системы.
Приведем некоторые примеры весовых функций линейных систем.
Пример 1.1. Определить весовую функцию линейной нестационарной системы,
поведение |
которой характеризуется уравнением |
|
|
|
М О Л + Яо (1)У = х. |
Для |
весовой функции g (t, т) запишем неоднородное уравнение |
|
|
«1 (0 |
g (<. т) + а0 (/) g (/,т) = 6 (/ — т), |
где дифференцирование § |
(^, т) производится по переменной t при параметре т, |
|
а начальные условия равны нулю. Как известно, б-функцию в правой части неодно |
||
родного уравнения я-го порядка можно заменить ненулевым начальным условием,
равным 1/ап (т) для я— 1 производной, и нулевыми — для |
всех остальных производ |
ных соответствующего однородного уравнения [58]. В |
рассматриваемом случае |
следует решать однородное уравнение |
|
°i (0 g(l, х) + а0 (t ) g { t , т) = 0 |
|
при начальном условии |
|
1 |
|
g(T, т) |
|
Ох (т ) '
Интеграл этого уравнения имеет вид
|
§(<’T)==^ )exp{"l^rlfd0}- |
(L35) |
|
|
I X |
> |
|
Пример 1.2. Определить весовую функцию линейной стационарной системы, |
|||
поведение |
которой характеризуется уравнением |
|
4 |
|
Ty + y = kx. |
|
|
Для нахождения весовой функции применим формулу (1.35), подставляя в нее |
|||
а1 = Т/k, |
а0 = 1//е. В результате получим |
|
|
|
у |
_±=1 |
|
|
g(t, x) = w(t — т )= -у г -е |
т . |
|
Пример 1.3. Определить весовую функцию стационарной дискретной замкнутой |
|||
физически возможной системы, содержащей 8-импульсный элемент |
и интегратор |
||
2* |
|
|
19 |