Файл: Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне.pdf

вениго и от точки к точке. Якоби и мыслители сере­ дины столетия сблизили интегральные закономер­ ности движения частицы или системы в некотором поле с геометрическими законами, указывающими направление геодезических линий на поверхностях различной кривизны. Герц в «Принципах механики», продолжая эту линию в развитии вариационных принципов, вообще отказался от понятия силы и отождествил движение тела в силовом поле со сво­ бодным движением в пространстве определенной кривизны. Для Герца движение в силовом поле — это движение по кривой, которую можно считать гео­ дезической, задав определенную кривизну простран­ ства. Тем самым движение в силовом поле прирав­ нивается движению по инерции, вернее, различие между ними сводится к различию между «плоским» и искривленным пространством.

Но этот путь в общем случае не может привести к устранению силового поля, к превращению его в чисто геометрическое понятие. Только в случае гра­ витационного поля, действующего единообразно на все тела, искривляющего в одной и той же мере траектории всех тел, можно говорить о воздействии источника поля на пространство, которое своей струк­

прообразом актуальной бесконечности оказывается пространство (впрочем, четырехмерное), а в случае других полей непосредственным прообразом акту­

точках. Точки получают опосредствованным образом физическую осязаемость и становятся элементами актуально бесконечного пространства.

258

Если движущееся тело следует геодезической ли­ нии пространства заданной постоянной кривизны, то интегральные условия определяют поведение тела в каждой точке негативным образом и, таким образом, позволяют считать данное пространство однородным, а движение в этом пространстве — относительным. Таково, согласно общей теории относительности, дви­ жение тела в гравитационном поле.

Итак, «заданное», «определенное интегральными закономерностями», «актуально бесконечное» про­ странство — это пространство, в котором поведение тела подчинено вариационным принципам или, кон­ кретнее, принципу наименьшего действия. Теперь можно обойтись без указанных выше псевдонимов. При изложении старых концепций они были необхо­ димы — эволюция научных понятий обычно и со­ стоит в их освобождении от первоначальной сравни­ тельно неопределенной формы.

Для интегральных (напомним об условности этого термина применительно ко времени, предшествующе­ му созданию аналитической механики), определений,

охарактеризовать зависимость локальных процессов от интегральных условий, выраженных в требовании наименьшего значения интеграла действия. В других случаях такая зависимость может быть описана точ­ ным и наглядным образом. Переход системы тел от состояния с меньшей энтропией к состоянию с боль­ шей энтропией — это также интегральное условие, ддредедящщее некоторое множество последователь­

9* 259

ных состояний системы. Нам известен механизм, га­ рантирующий выполнение этого условия в случае больших статистических ансамблей. Не исключено, что конкретный механизм, гарантирующий выполне­ ние принципа наименьшего действия, также окажет­ ся стохастическим. В 1922 г. Эддингтон писал, что действие, быть может, является логарифмом вероят­ ности *. Правда, это относилось к одной конкретной теории того времени, и Эддингтон не придавал тако­ му предположению более общего значения. Но сей­ час стохастическая природа наименьшего действия стала гораздо менее парадоксальным предположе­ нием, и можно себе представить некоторое обобщен­ ное понятие, охватывающее классическую функцию действия, понятие энтропии, фигурирующее в теории информации, и обычное термодинамическое понятие энтропии. Речь идет о логарифме вероятности дан­ ного состояния системы со знаком минус (действие) или плюс (энтропия). В таком случае принцип наи­ меньшего действия оказывается принципом наиболь­ шей вероятности данной мировой линии, а дейст­ вие — мерой «невероятности», интегральной упоря­ доченности, соответствия локальных процессов ин­

каким-либо прямым расширением или ограничением ее физических прообразов, а очень косвенным и неявным путем.

Принципы классической физики. М-. 1958, стр, 75—76,

260

7

Теперь, когда мы знаем о тождественности гравита­ ционного и метрического полей в общей теории от­

теза геометрии и физики, который был дан Эйнштей­ ном в 1916 г. И действительно, связь между геомет­ рическими соотношениями на поверхностях той или иной кривизны с вариационными принципами меха­ ники и физики была одной из исторических предпо­ сылок общей теории относительности. Навстречу этой тенденции шла другая — развитие неэвклидо­ вой геометрии. Последняя разрушила представление об априорном характере геометрии. Эйнштейн с при­ сущей ему ясностью исторической ретроспекции го­ ворил о том, как геометрия и физика, потеряв ха­ рактерную для древности первоначальную связь, привели к представлению об априорности геометри­ ческих идей. Неэвклидова геометрия в известном смысле вернула научную мысль к античному пред­ ставлению о физическом характере и эмпирическом происхождении геометрических понятий. Лобачев­ ский пришел к убеждению о непротиворечивости как эвклидовой, так и новой, неэвклидовой геометрии. В чем же состоит критерий для определения геомет­ рических свойств действительного мира? Лобачев­ ский высказал мысль о различных геометрических свойствах мира, в одних случаях эвклидовых, в дру­ гих — неэвклидовых, в зависимости от того, какова природа полей, действующих в рассматриваемых об­ ластях пространства. Далее Риман, выдвинув непро­ тиворечивую сферически-эллиптическую геометрию, приводящую к идее конечности пространства,

т

связал проблему бесконечности пространства (как ре­ зультата сложения конечных величин) с локальными геометрическими соотношениями. Такая связь была очень эффектной демонстрацией нового смысла по­ нятия бесконечности, появившегося в отчетливой форме в X IX в. Локальные геометрические соотно­ шения, позволяющие судить о бесконечности или конечности пространства в целом, состоят в кривиз­ не и метрике пространства. Риман применил к мно­ гообразиям любого числа измерений идеи Гаусса, относившиеся к -кривизне двумерных пространств. При этом оказалось, что метрика пространства не определяется аксиомами геометрии, и Риман пред­ ложил, что она зависит от силовых полей.

С точки зрения связи между бесконечностью и относительностью особенно важна мысль Римана о возможных границах относительного мероопределе­ ния и об абсолютной метрике в дискретном про­ странстве.

Остановимся несколько подробнее на содержании известной лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 г. в Гет­ тингене *.

Риман ставит вопрос о количественных различиях между величинами. «С количественной точки зрения сравнение осуществляется в случае дискретных мно­ гообразий посредством счета, в случае непрерыв­ ных — посредством измерения»2. Это поразительно ясное и глубокое разграничение счета и измерения уже само по себе вводит нас в центр фундаменталь-

Сб. «Об основаниях геометрии», стр. 311.

т

НЫх проблем бесконечности й относительности, в ча^ стности исторических проблем. Счет — это метод оценки многообразий, приводящих к абсолютным результатам. Измерение имеет дело с непрерывными величинами, т. е. с бесконечными множествами. Вся­ кое измерение — это измерение бесконечно делимого отрезка другим бесконечно делимым отрезком. Оно происходит с помощью переноса отрезка, принятого за единицу. Аналогичным образом происходит изме­ рение и других непрерывных многообразий. «Изме­ рение заключается в последовательном прикладыва­ нии сравниваемых величин, поэтому возможность измерения обусловлена наличием некоторого способа переносить одну величину, принятую за единицу масштаба, по другой величине» 1. Перенос не дол­ жен изменять размеры величины, принятой за еди­ ницу. Иначе говоря, величины независимы от поло­ жения. Длина линии независима от пространственно­ го места линии, и каждая линия может быть измерена каждой другой линией.

Подобное требование выражается в существова­ нии квадратичной формы, определяющей длину от­ резка через приращения координат. Мероопределе­ ние в каждой точке пространства связано с его кри­ визной в этой точке. Если пространство обладает положительной кривизной (например, поверхность сферы), оно будет конечным. Пространство нулевой либо отрицательной кривизны бесконечно.

Риман вводит очень тонкое и вместе с тем весьма отчетливое разграничение внутренних свойств про­ странства, выражающихся в мероопределении, в метрических соотношениях, и внешних отношений

1Там же.

263

протяженности, характеризующих положение фигур в пространстве: «...мы начали с того, что отделили отношения протяженности (или отношения взаимно­ го расположения) от метрических соотношений, и пришли к заключению, что при одних и тех же отношениях протяженности мыслимы различные мет­ рические отношения, затем установили системы про­ стых метрических отношений, которыми полностью определяется метрика пространства и необходимым следствием которых являются все теоремы геомет­ рия» *.

Если мы установили положение данной фигуры относительно других фигур и задали координаты то­ чек данной фигуры по отношению к некоторой си­ стеме отсчета, это еще не значит, что однозначно заданы расстояния между точками фигуры. Они за­ висят от мероопределения, которое может меняться при одних и тех же внешних отношениях протяжен­ ности, т. е. при тех же координатах точек, из кото­ рых состоит рассматриваемая фигура. Представим себе, что фигура все дальше отходит от начала коор­ динатной системы. Такой отход — он может быть не­ ограниченным — означает прибавление к конечным координатам новых конечных отрезков. Возможность без конца повторять такое прибавление Риман на­ зывает неограниченностью.

Теперь рассмотрим кривизну пространства в дан­ ной точке. Если кривизна равна нулю, то мероопре­ деление выражается простой квадратичной формой, а пространство, кривизна которого определяет мет­ рические свойства в данной точке, оказывается бес-1

1 Сб. «Об основаниях геометрии». М., 1956, стр, 321— 322.

264