Файл: Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Заменяя переменную интегрирования із дополняя показатель степени до шодного квадрата двучлена, имеем:

З і = у = = ехр (— ЬУ4а)

j", exp [--(«/ — 6/2Ѵ~сГ)2] dy.

 

 

 

ü

 

 

 

 

Отсюда легко приходим к окончательному результату

 

 

1

 

 

 

 

— 6/2 V

 

+

Яі = 2

ехр (— Ь2/4а) [Ф (N V а

а)

 

 

+ Ф (6/2 Ѵа)].

 

 

 

 

Раскроем интеграл вида

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

З і =

J х ехр (— ах.2 + Ьх) dx.

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

Для этого составим выражение

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

Зз — bt3 i — '2аЗг =

J (— 2а-\- b) ехр (—ах5

bx) dx —

 

 

о

 

 

 

 

 

=

1 — ехр (aN2— bN),

 

 

 

откуда

 

 

f 6

 

 

 

 

Ъх3 х - Э з

 

1

 

 

 

 

2я

 

"2я

]/" ~ ^ Г

ехр (— b y 4 а )

X

 

х [ф [ n V а - і 7 ^

)

+ ф ( 2- 7 ^ ) ]

- 1+ехр(«Л '2-

6іѴ)}.

Кроме вышеприведенных интегралов в конечных пределах встре­ чается необходимость в интегралах вида

00

 

 

-Ѵ-т»

I

ехр ( — ах2 +

bx) dx

 

 

ехр (62/4я);

J X ехр (— ах2 ± bx) dx — +

j/" ■ ехр (Ь2/4а);

— 00

 

 

 

 

J х 2е х р ( - я х = ± 6хМ х = ^ -

( ! + £ - ) •

353

Интегралы от функции, содержащих логарифм

Учитывая, что в ходе изложения материала книги нами было

•принято обозначение log, понимаемое как логарифм при основании 2, будем придерживаться двоичных логарифмов

j* log х dx = X ^log .-с

—

j

=%=x (log x — 0,69);

p

xn+1

,

X

J *" log X rfx =

 

log

xn + 1

1,45

 

при п ф I .

:n + 1 logx

n+ 1

 

Выражения для относительной меры энтропии непрерывного распределения в ряде случаев удается свести к последнему интегра­ лу при я=1. Наряду с этим полезно соотношение

I Ьгх2— а.

X log (а + Ьх) dx — ---- р ---- log (а + Ьх) +

+ х GS--*)log е.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ВЕРОЯТНОСТЕЙ (ФУНКЦИИ КРАМПА)

г

 

 

Ф(г) =

J exp (—Р) dt

 

 

 

 

 

о

 

 

Z

Ф (Z )

г

Ф (Z )

Z

Ф (Z )

0,00

0,00000

0,34

0,36936

0,68

0,66378

0,01

0,01128

0,35

0,37938

0,69

0,67084

0,02

0,02256

0,36

0,38933

0,70

0,67780

0,03

0,03384

0,37

0,39921

0,71

0,68467

0,04

0,04511

0,38

0,40901

0,72

0,69143

0,05

0,05637

0,39

0,41874

0,73

0,69810

0,06

0,06762

0,40

0,42839

0,74

0,70468

0,07

0,07886

0,41

0,43797

0,75

0,71116

0,08

0,09008

0,42

0,44747

0,76

0,71754

0,09

0,10128

0,43

0,.45689

0,77

0,72382

0,10

0,11246

0,44

0,46623

0,78

0,73001

0,11

0,12362

0,45

0,47548

0,79

0,73610

0,12

0,13476

0,46

0,48466

0,80

0,74210

0,13

0,14587

0,47

0,49375

0,81

0,74800

0,14

0,15695

0,48

0,50275

0,82

0,75381

0,15

0,16800

0,49

0,51167

0,83

0,75952

0,16

0,17901

0,50

0,52050

0,84

0,76514

0,17

0,18999

0,51

0,52924

0,85

0,77067

0,18

0,20094

0,52

0,53790

0,86

0,77610

0,19

0,21184

0,53

0,54646

0,87

0,78144

0,20

0,22270

0,54

0,55494

0,88

0,78669

0,21

0,23352

0,55

0,56332

0,89

0,79184

0,22

0,24430

0,56

0,57162

0,90

0,79691

0,23

0,25502

0,57

0,57982

0,91

0,80188

0,24

0,26570

0,58

0,58792

0,92

0,80677

0,25

0,27633

0,59

0,59594

0,93

0,81156

0,26

0,28690

0,60

0,60386

0,94

0,81627

0,27

0,29742

0,61

0,61168

0,95

0,82089

0,28

0,30788

0,62

0,61941

0,96

0,82542

0,29

0,31828

0,63

0,62705

0,97

0,82987

0,30

0,32863

0,64

0,63459

0,98

0,83423

0,31

0,33891

0,65

0,64203

0,99

0,83851

0,32

0,34913

0,66

0,64938

 

 

0,33

0,35928

0,67

0,65663

 

 

355

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

 

КРАТКАЯ СПРАВКА О МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЕ

Матрицей А

порядка ny.ni

(или

размера п у т )

называется

прямоугольная таблица действительных чисел вида

 

 

 

я„ я!2. • А\т

 

 

 

 

 

А =

я,,

СІ22

• « Я2m = II аі}

1,

2,

., и; /=1

, 2

,; пг

 

^71!

&П2

• • fl-пт

-■

 

 

 

 

Все

числа а,-,- называются элементами

матрицы. Если

п = т , то

матрица называется квадратной. Любой квадратной матрице соот­ ветствует определитель

 

 

detA = 2 ( — 1)П/і...... /р)

п

 

 

 

 

 

 

 

 

(=1

 

 

 

В этой

формуле суммирование ведется по всем

перестановкам

( / і ,

• ■ І р )

множества целых чисел ( 1 ,

...,

р), а / ( / 1, . . ., j P ) —число

транспозиций, необходимых для того,

чтобы перестановку

(1, .... р)

перевести в перестановку /і,

..., } Р (транспозиция состоит

в переста­

новке двух чисел).

 

 

 

 

 

 

 

Кроме того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

р

 

 

 

 

 

det А =

2

ai}\ tj =

2

аѣ Ajh,

 

 

 

 

 

/= I

/ = і

 

 

 

где

Ajj — алгебраическое

дополнение

элемента cuд

т. е.

определи­

тель подматрицы, полученной из А вычеркиванием і - й строки и /-го столбца, умноженный на (—l)'+ j.

Матрица с не равным нулю определителем называется невырож­ денной.

В ходе изложения материала в книге использовались различно­ го рода действия с матрицами. При этом использовались следующие

правила;

матрицы

А на

число

с каждый элемент

1.

ГІри умножении

умножается на это число, т.

е.

 

 

 

 

сА=||са<,-||.

 

 

2.

При сложении матрицы А размера п у т с

матрицей В того

же размера имеем матрицу

С размера п у т ,

все элементы которой

суть суммы соответствующих элементов этих матриц, т. е. если С=

=А + В, то C {j=aij + bij.

 

 

 

 

Условие равного размера матриц обязательно.

 

3.

Вычитание матриц производится аналогично сложению, т. е.

если С=А—В= А + (—1) В, то

—Ьц.

 

 

356

 

4.

Если

прямоугольную

матрицу

т Х п

умножить на

матри­

цу-столбец X с

п элементами, то получается матрица-столбец D

из

т элементов,

причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

если

D = АХ,

то dt =

a ^ x j, i = 1, ... ,

т ; j —

1, ... , п.

 

 

 

 

/ = і

 

 

 

 

 

 

на

5.

При перемножении прямоугольной

матрицы А размера т Х п

прямоугольную матрицу

В

размера

пХ г

 

имеем

матрицу

С

с элементами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c t j = 2

aihbhj, где

і =

1.........т \

/ =

1........... г.

 

к = \

Совпадение числа столбцов матрицы А е числом строк матрицы В обязательно. Матрица С имеет одинаковое число строк с матри­

цей А и столбцов с матрицей В.

квадратная матрица, в

главной

6. Единичная

матрица — это

диагонали которой

стоят единицы, а остальные элемента

равны

нулю. Если единичная матрица Е и произвольная квадратная матри­ ца А имеют одинаковый порядок, то АЕ=ЕА = А.

7. Если А есть матрица невырожденного линейного преобра­ зования, то существует обратная матрица А“1, такая, что АА_1= Е. Чтобы получить обратную матрицу А-1, нужно заменить в матри­ це А каждый элемент а,-,- на его алгебраическое дополнение Ац,

деленное на определитель матрицы, а полученную матрицу транс­ понировать, т. е. поменять строки и столбцы местами. Обратная матрица единственна и существует только для квадратных матриц.

8. С помощью принципа индукции перемножение матриц распро­ страняется на случай любого числа сомножителей, например

ABCD=[(AB)C]D.

Справедлив ассоциативный закон, т. е.

(АВ)С=А(ВС).

9. Под целой положительной степенью матрицы Ак подразуме­

вается А-кратное произведение одинаковых сомножителей А. 10. Справедливо следующее соотношение:

'

А(В + С)=АВ + ВС,

что представляет собою дистрибутивный закон.

11.

В общем случае АВ=й=|ВА. Если АВ = ВА, то матрицы назы­

ваются

коммутативными или перестановочными.

357

12. Псевдообратная матрица представляет собою обобщение по нятия обратной матрицы на случай прямоугольных (неквадратных) матриц. Обратную матрицу можно рассматривать как результат ре­ шения матричного уравнения

Y=AX, т. е. X = A -‘Y.

Если А — вырожденная квадратная матрица или, что равнознач­ но, прямоугольная матрица, то вместо несуществующей обратной матрицы вводится понятие псевдообратиоп матрицы А+. Последняя находятся как доставляющая минимум выражения

(Y—АХ)*- (Y—АХ),

 

где X = A*Y — решение уравнения Y= AX; знак

«*» означает транс­

понирование матрицы.

 

Отсюда можно вывести, что

 

А *=(А *А )-‘А*.

 

Последнее выражение используется для вычисления псевдообрат­

ной матрицы.

затронутых вопросов

Более подробное и строгое изложение

можно найти в многочисленной литературе по линейной алгебре, например в книге Ф. Ф. Гантмахера «Теория матриц», М., «Наука», 1967.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1-1. Пугачев В. С. Теория случайных функций. М., Физматгаз,

1960.

1-2. Бартлетт М. С. Введение в теорию случайных процессов. М., Изд-во иностр. лит., 1958.

1-3. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотех­ ники. Т. 1. М., «Советское радио», 1966.

1-4. Харкевич А. А. Спектры и анализ. М., Физматгаз, 1962.

1-5. Вычислительная техника в применении для статистических последований и расчетов систем автоматического управления. М., Машгиз, 1963.

1-6. Вальденберг Ю. С. Вычислительная аппаратура для иссле­ дования объектов автоматизации статистическим методом. М., Иэд. ЦП НТО ПрибарпрО'М, 1963.

1-7. Синицын Б. С. Автоматические корреляторы и их приме­ нение. Новосибирск, Изд-во СО АН СССР, 1964.

■1-8. Ланге Ф. Корреляционная электроника. Л., Судпромгаз, 1963.

1-9. Проспект устройства ЭАСП-С Вильнюсского завода счет­ ных машин, 1964.

1-10. Серебренников М. Г. Гармонический анализ. М., Гостехиз-

дат, 4948.

1-11. Маликов М. Ф. Основы метрологии. Ч. 1. М., Стаидартгиз,

1949.

1-12. іБродский А. Д., Кан В. Л. Краткий справочник по матема­ тической обработке результатов измерений. М., Стаидартгиз, 1960.

1-13. Ширман Я. Д., Голиков В. Ш. Основы теории обнаружения радиолокационных сигналов и измерения их параметров. М., «Со­

ветское радио»,

1968.

 

 

 

 

 

1-14. Шенброт И. М., Гинзбург М. Я. Расчет точности систем

централизованного контроля. М., «Энергия», 1970.

 

 

 

1-15. Мандельштам С. М., Кавалеров Г. И. О критериях оценки

качества и средств

измерения.— «Измерительная

техника»,

1965,

№

12.

 

 

 

 

 

 

 

 

1-16. Hall А. С. Analysis and synthesis of linear servomechanisms.

The

Technology

Press,

Mass. Inst.

Techn.. Cambridge, Mass.,

 

1943.

 

 

 

 

 

 

 

 

1-17. Graham D., Zathrop R. C. The synthesis of optimum tran­

sient

response:

criteria

and standard

forms.— «Tr. ALEE»,

1953,

 

November, v. 72, pt. 2.

 

 

 

 

 

1-18. Marphy J. G., Bold N. T. Optimization based on a square-

error

criterion with

an arbitrary weighing function.— «IRE Tr.»,

1968,

V. AC-5, № 1.

 

 

 

 

 

 

 

1-19. Schultz W. C., Rideout V. C. A general criterion for servo

 

performance.— Proc. Nat. Electronics Conf., 1957, v.

13.

 

359

Смотрите также файлы