Файл: Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 118

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

при некотором уменьшении вероятности сбоев прирост количества информации должен превалировать над уменьшением рабочего вре­ мени использования канала, что происходит не всегда. Условием существования максимума является

dmdq_

п + т (1 — g)[l — ?(1

— /,/р ’)]

>

(9-19)

 

« ‘ [I + (! -2?)(1

— /о/Г1)]

при малых значениях т .

В ходе предыдущих выводов по существу за время работы устройства учитывалось среднее значение ц, хотя на самом деле

о

т

го

зо

о

іо

го

зо

to so

Рис.

9-1.

Зависимость

Рис. 9-2.

Зависимость

пропускной

способности

пропускной способности

измерительного устрой­

измерительного

устрой­

ства от количества про­

ства

от количества

про­

верок

при п=100,

а= І,

верок

при

л=100,

а = I,

/Поп т “

11.

 

 

ПІопт “ ІО.

 

 

 

при эксплуатации системы q изменяется. Перейдем теперь к учету

этого обстоятельства.

Для определенности примем, что q есть какая-либо функция времени, например q(t) = \—ехр[—iß(f-Mo)], где ß и to— константы.

Тогда в конце периода работы

 

q{Tn) = I—ехр[—■ß(77i-Ko)]-

(9-20)

После проверки эта вероятность снизится, как принималось ра­

нее, на тВ :

(9-2I)

q{0) =5І—ехр[—§ta]=q(Tn)—пгВ.

Таким образом, ехр(—ßfo)=/nß{l—exp (—$Гя)]_1,

 

отсюда

(9-22)

q (t) = exp (—ß0 {1—mB[l—exp (—ß77i)]-*}.

В текущий момент времени t, отсчитываемый от начала рабоче­

го периода, при установившемся режиме

 

1 W = H - ? ( ' ) ] г Ь ; [ і - ( | - І - ) » ( о ]

(9-23)

344

при 0^ t ^ n T . Средняя информационная надежность

Тп

Ър= [(л+ /я) Л " 1 f - n ( t ) d t .

(9-24)

ö

Для получения оптимального значения числа проверок необхо­ димо вычислить производную от т|ср по m и приравнять ее нулю.

Получающиеся при этом уравнения крайне громоздки я не под­ даются точному решению. Приближенное значение дает результат, качественно совпадающий с ранее указанными для среднего значения q. Поэтому решения предыдущих разделов представляются правиль­

ными и целесообразными. Ранний этап усреднения во времени, види­ мо, не только необходим, но и не приводит к существенным погреш­ ностям вычислений.

На основании приведенных формул можно определить целесо­ образное число проверок. Во всех рассмотренных случаях имеется четко выраженный оптимальный режим.

9-4. УЧЕТ СБОЕВ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЧАСТОТЫ ЦИКЛИЧЕСКОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

Рассмотренные в гл. 4 соотношения между характеристиками погрешности интерполяции и частотой циклической дискретизации непрерывного стационарного случайного процесса были выведены в предположении об отсутствии сбоев. Между тем во многих типах измерительных устройств наблюдаются сбои.

іВ § 4-3 было показано, в частности, что дисперсия погрешности интерполяции при определенном виде интерполирующего многочлена является функцией от интервала времени между измерениями Т,

нормированной автокорреляционной функции измеряемого процесса р.ѵ(т) и дисперсии процесса а2х. Кроме того, было показано, что да­

же при стационарности измеряемого процесса погрешность интерпо­ ляции представляет собой нестационарный процесс, т. е. дисперсия ее агу зависит от интервала времени т, исчисляемого от ближайше­

го момента отсчета, т. е.

а1 Н = °2 К Т. РяМ. »*!■

Нетрудно видеть, что наличие сбоев означает увеличение сред­ него интервала интерполяции в тех случаях, когда имеет место обой. 'При этом существенную роль играет группирование сбоев, т. е. то обстоятельство, сколько сбоев следует подряд до момента време­ ни, когда происходит сообщение. Пусть, например, после получения приемником некоторого сообщения имеет место пропадание £ посы­

лок и прохождение

(£+1)

сообщений. Такую ситуацию будем назы­

вать

цугом

из

£

сбоев.

Дисперсия

погрешности

ин­

терполяции на этом участке определяется как

о2[т, (£-Н)Г,

рДт),

о2,].

 

 

 

 

 

 

 

Вероятность образования цуга из £ сбоев обозначим р,-. Тогда

средняя

дисперсия

погрешности

интерполяции

 

 

 

 

 

[со

 

 

 

 

 

 

” 1 С2) = S

Р і°2К ( ‘ + !') Т, ря ( Т ) , <$.

(9-25)

і=О

?3 -30|

345

По-видимому, реальной ситуации соответствует весьма быстрое убывание величины р; по мере роста длины цуга сбоев і. Поэтому

практически сказываются лишь первые члены ряда. Кроме того, при измерениях почти всегда интервал времени между отсчетами Т

много меньше интервала корреляции исходного процесса. Отсюда вытекает возможность разложения функции р.х(т) в степенной ряд. Учитывая все оказанное, рассмотрим выбор частоты дискретизации для ряда конкретных случаев.

Ступенчатая интерполяция.

Как было показано в § 4-3, максимальное значение дисперсии погрешности интерполяции при отсутствии сбоев равно:

°дмакс = 24Г '-Р *(П ].

Пусть, например, рж(т)=ехр (—а, | т | ). Тогда при наличии сбоев

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

у макс ;2а- а,7-

I +

S

‘Рх

(9-26)

 

Отсюда искомое значение интервала времени между измерениями

 

 

 

1

ау2

макс

(9-27)

 

 

 

=2.4(1+ Г)

 

2

•

где

і — математическое ожидание длины цуга из і сбоев. Аналогич­

ным

образом

при автокорреляционной

функции

вида рЛ(т) =

=ехр(—ctoT2)

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

т.

_________ J________стIVмакс

(9-28)

 

 

^as2[l + Р + 2Г] '

°*

 

 

 

 

Обе формулы выведены в предположении, что корреляция меж­ ду соседними во времени измерениями очень велика, а вероятности длинных цугов сбоев пренебрежимо малы, что, как указывалось выше, соответствует реальным условиям измерения. Следующим ша­ гом на пути дальнейшей конкретизации полученной зависимости является рассмотрение закона распределения вероятности длины

цуга сбоев. Рассмотрим следующие случаи.

Пусть вероятность одно­

1. Сб о и

в з а и м н о н е з а в и с и м ы .

го сбоя есть р. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

Р і = Р і О — Р) .

і = 0.

 

При этом математическое ожидание длины цуга

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

І{= 0.(1 -

/

О

(!-/>) =

 

 

 

 

 

 

 

дрі _

 

=

р Ѵ

- р ) 5 j

i/71"1 = (’ ~

P)P

 

 

 

fei

d

p

 

fei1 = 1

 

 

-

p ^ -

 

p

(9-29)

 

p) ö

i — p = г

 

346

Средний квадрат длины цуга

со

i = 1

( *

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ( S

' (і

 

 

 

 

 

 

 

,

1

1 _

Р 2

1

 

 

/■2 + t

(9-30)

1 P O - ■ Р ) Ц

( 1 - р У 1

 

 

 

 

 

 

При 'Подстановке этих значений в 'формулы (9-27) и

(9-28) для

необходимых интервалов между измерениями имеем:

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Т і = -

2а,

ау макс

 

 

(9-31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 — р

__

макс

(9-32)

 

 

 

V

 

 

 

 

2 а , (I + р)

ах

 

 

На основании этих формул, задаваясь вероятностью р и осталь­

ными параметрами, имеем искомые значения

7Т и 7'2..

 

2. Д л и н а

цуга

р а с п р е д е л е н а

по

э к с п о н е н ц и а л ь ­

но м у з а к о н у. В этом случае

 

 

 

 

 

 

 

рі=а ехр(—Ьі).

 

 

(9-33)

Из условия нормировки имеем а=1—ехр(—Ь).

Математическое ожидание длины цуга в результате вычислений,

аналогичных предыдущим, равно:

 

 

 

 

ехр (— Ь)

ехр (—Ь) — Г

(9-34)

‘

1 — ехр (— Ь)

 

Средний квадрат длины цуга

 

 

 

 

ехр (— Ь) [1 +

ехр (— Ь)1 ,

1+ехр (— Ь)_

 

1

[1— ехр(— Ь)\г

1 1— ехр (— Ь)

 

 

I [^1

+

1— еХр (— ^

 

(9-35)

Тогда можно получить интервалы

времени между измерениями в

виде

 

 

 

 

 

 

 

I — ехр (— b)

°</ макс

 

Т. —

2 а ,

 

а 2

(9-36)

Тг

[1 — ехр (—

Ь)\

 

(9-37)

________________________qy макс

 

V^2as [1 +

ехр (— Ь)\

°х

 

Нетрудно видеть, что при

ехр (—Ь) = р

формулы для

случаев 1

а 2 дают совпадающие результаты.

 

 

 

23*

 

 

 

 

 

347

3. Д л и н а цу г а р а с п р е д е л е н а по з а к о н у В е и б у л- л а. Рассмотрим частный, но практически важный случай, когда ве­ роятность цуга из одного сбоя 'меньше, чем цуга из двух сбоев. Пусть

 

0,5С, ехр (— /2/16) _

при і >

0;

Рі

а

 

при і =

[(9-38)

 

 

0.

Множитель Сі выбирается из условия нормирования раопреде-

ления, т. е.

 

2(1—л)

1—л

 

 

=

(9-39)

 

------------ -------^ - 2 - -

 

£

1ехР I (2/16)

 

 

 

<=1

 

 

Дальнейшие вычисления удобно вести

в численном виде. Если

а=0,96, то ро=0,9600; рі=0,0047; р2=0,0078; р3=0,0086; р4=0,0074;

/35=0,0053;

/76=0,0033;

р7=0,0017;

 

рв= 0,0008; ро= 0,0003; рю =

=0,00009;

рі і= 0,00003;

рп=0,000006.

 

Тогда

 

£ = 0,14-13; і2=0,6533.

Интервалы времени между измерениями должны определяться

как

 

 

 

 

 

 

 

 

1

°у макс

,

(9-40)

 

Т і ~ 2,28а,

 

02

 

 

 

 

 

 

гг.

^

 

ыакс

(9-41)

 

2

1.965 V а 2

а*

 

 

 

 

Таким образом может быть найден необходимый интервал вре­ мени между измерениями стационарного процесса при восстанов­ лении его с помощью ступенчатой интерполяции.

Линейная интерполяция

По подобной же -методике может быть рассмотрен выбор интервалов циклической дискретизации при последующем восстанов­ лении с помощью линейной интерполяции. При отсутствии сбоев со­ гласно § 4-3

« I макс = «*П.5 + 0,5Ря (Т) - 2?х (0,57-)].

При рж (т) = ехр (— al I г | ) имеем;

 

 

0<у макс ^

°'5 °;е а \ Т \ ,

 

При наличии сбоев

 

 

 

СО

 

у

макс

:0,5с2а17 ' , Е М » + 1 ) = 0 , 5 а * а 1Г 1

і-0

 

 

 

 

откуда искомое значение

 

 

 

 

у макс

 

 

Ч (1

+ і )

СО

 

* + £ 1Рі

(9-42)

;=о

(9-43)

348

Смотрите также файлы