Аналогичным образом при ря (т) = ехр (— cc2té)
Г>=0
V |
Ѵ3а2[1 |
(9-44) |
+ 4( + 6(2-f 4і3 + И]' о* |
Рассмотрим несколько различных законов распределения веро ятностен цугов сбоев. Отметим, что величины і и і2 нам уже из
вестны из вышеизложенного. Таким образом, задача сводится к на хождению і3 и і4 и подстановке их в последнюю формулу.
Рассмотрим независимые сбои и экопоненциалыюе распределение вероятностей длин цугов. Поскольку в ходе предыдущего рассмотре ния мы убедились, что эти два случая совпадают, то рассмотрим их совместно. В качестве величины і2 возьмем его точное значение
|
12 = Т=“7 + 2 Р - = |
1 - е х р ( - Ѵ |
+ 2ехр (~ Щ ■ |
(9’45) |
Вычислим далее Гэ |
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г3 = [1 — ехр (— 6)] ^ |
і 3ехр (— Ы) — |
|
|
|
|
і= I |
|
|
|
|
|
= |
[I — ехр (— &)] |
3/ ехр ( — Ы) |
д3 ехр (— Ы) |
|
|
дЬ3 |
|
|
|
(=1 |
|
|
|
|
|
|
|
д3 |
ехр (— Ь) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ЗГ — [1 — ехр (— 6)j1дЬ3 |
1— ехр (— 6) |
|
— ЗГ + |
|
|
, |
ехр(— 6) [1 — ехр,(— &)] |
ог |
7 |
, |
,, |
(9-46) |
|
+ |
--------1 — е"хр (— Ь)-------- = |
31+ е х р ( - |
Ь). |
Вторая из интересующих нас величин |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/4 ^ \ \ — ехр (— 6)] ^ |
ехр ( — Ы) = |
|
|
|
|
со |
і ~ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
г<Э4 ехр (— Ы) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ьі)““ |
|
= |
[1 — ехр(— Ь)} |
р |
------+ 6‘2 ехр |
|
|
|
і=і |
[1— ехр (— 6)] ехр (— Ь) _ |
|
' - |
Зехр ( - Ы)) = er— |
|
з -г |
j |
— ехр (— Ь)---------7 |
|
|
|
— 6і2 — 3 + ехр (— Ь). |
|
|
|
(9-47) |
Подставляя эти, значения в ранее выведенные формулы для Т,
имеем зависимость, удобную для расчета необходимой частоты ди скретизации. Таким образом, и три линейной интерполяции имеем возможность учесть влияние сбоев на частоту дискретизации.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В КНИГЕ
При выполнении расчетов в тексте настоящей книги исполь зовались следующие интегральные соотношения.
Интеграл вероятности
Под интегралом вероятности (или вероятностен) здесь пони
малась функция Лапласа |
и |
|
Фі (и) = |
j* exp (— X*.) dx. |
|
О |
Значения табулированной |
функции Фі(ц) ом. в приложении 2. |
В литературе встречается также несколько иное понятие интеграла
вероятности
и
ехр (— хг/2) dx — Ф]
О
Ф, (и) = Ф2(и Ѵ 2 ).
Используется иногда форма
U
^ ехр (— х 2/2) dx; Фз ( - и) = I — Ф, (и),
для которой имеются таблицы производных. Нетрудно видеть, что |
^ |
0,5 |
/ |
и |
\ |
■ |
Ф3 («) = 0,5 + у |
= |
Ф, [ y |
Y |
j |
Вместо символа Фі в ряде книг употребляется символ erf. В |
хо |
де дальнейшего изложения вместо Фі употребляется обозначение |
Ф. |
Интеграл вероятности допускает разложение в ряд
ч |
2 у і (— l)l,ü2fc+1 |
_ |
2ехр (— и2) |
«П |
2^ц2,^+, |
|
« ( “ + 0 ” |
v ~ |
2j |
(2й+ 1) и |
|
k—0 |
|
|
Ä=0 |
|
Предельные значения интеграла |
вероятности |
|
|
|
ф (0) =0; |
Ф(±оо) = 1. |
|
____________ |
Удобно пользоваться следующими приближенными выражения ми для интеграла вероятности:
для малых значений аргумента
|
для больших значений аргумента |
|
|
|
|
Ф (ц) |
! |
|
ехр (— иг) |
|
f |
1 |
г 3 |
15 N |
|
|
V I Г и |
|
Ѵ‘ ~ 2 н = + 4н‘ |
8ц6 J ’ |
|
|
|
|
|
|
для суммы интегралов вероятностей |
|
|
|
( х + а\ |
|
{х_— а \ |
|
, 11 |
х2£+ 1у(2п) (fl) |
|
ф ( |
/ т ) |
+ Ф \ У ~ |
) |
~ |
4 и |
(2t+ 11)! ’ |
где |
/9„ ч |
|
|
|
|
|
i=J |
|
|
rf 2,1 |
exp (—x2/2) |
|
|
|
|
e x p (— х 2/2 ) |
|
p |
|
|
/ 1 ^ |
= ( — \)-n H 2n{x) |
У2п |
а полиномы Эрмита равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5п (п— I ) |
|
|
|
|
|
|
Я 2„ (х) = |
Yi |
(— |
|
|
М с|‘ |
|
‘=0
(о полиномах Эрмита см. [Л. П-1].
Интегральные функции о т интеграла вероятностей
а
1
|
I |
Ф (и) сіи — |
аФ (а) |
К" |
[1 — ехр (— а5)]; |
|ф(ам + |
р)Лг = |
^a + 4-j Ф(ад + ?)— |
(ß) + |
|
|
а У я {ехр [— (ад + ?)2 J — ехр (— |J2)}; |
|
|
00 |
|
|
|
2 |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
х Ф (х) ехр (— д2х2) сіх |
l f |
|
—схэ |
|
|
д2Кд2+ |
а |
|
|
|
|
|
|
2^- |
— 4^-j Ф (м ) + р=== ехр (— а2д?) J ; |
J хф (ах) dx = |
О |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j Х2Ф (ах) d X = |
Ф (ад) — -з- |
|
|
|
|
|
аг + |
~ Г ) ехр (— а 2а 2) |
I. |
К р о м е |
того , |
ряд и с п о л ь зо в а н н ы х |
]• |
д л д в ы ч и с л ен и я ң н те гр а л о р |
с о д е р ж и т с я |
в [Л . |
П -1]. |
|
|
|
|
Интегралы от функций, содержащих ехр(—х1) и степенную функцию X.
Приведем ряд зависимостей, полезных для решения задач
теории |
измерений |
|
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
0,5 [exp (— а2) — exp (— ö2)]; |
^ х ехр (— х 2) dx = |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ X2 ехр (— X2) dx = 0,5 [а ехр (— а2) — Ьехр (— Ь-)\ + |
|
а |
|
+ |
0,25 |
[Ф (Ь) — Ф (а)]; |
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J X3 ехр ( — X2) dx = |
0,5 [(1 + |
а2) ехр (— а2) — (1 + |
Ь~) ехр ( — 62)]; |
а |
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J X4 ехр (— X2) dx = |
0,5 [а (а2 — 1,5) ехр (—а2) — |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Ь (62 — 1,5) ехр (— 62)] + |
0,375 |
[Ф (й) — Ф (а)]; |
О |
|
|
ф (ta) Jx _ I |
|
|
|
I |
ü £ t f £ L |
|
|
£ |
(_ ,,, x |
|
|
|
|
|
|
|
i=D |
а |
|
|
|
|
|
|
|
Ь2іх 2і |
|
2Ь |
V4! |
1)1 |
Ь2І |
Г |
exp {- ax) dx = |
Х щ |
і у dx = |
|
|
2 j (- |
іі(2і + |
I) J |
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
0 |
|
|
2b |
|
, |
2b |
|
b62*i (S2t)!a~(2*+') |
|
=7iTa+71rLi<-‘'>, >’ |
1) |
|
|
|
|
|
i=l |
|
(2i+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
X21 exp (—ax) d x = (2t)! a “(2t+ ’); |
|
согласно формуле (3.351.3) из [Л. П-1] |
|
|
|
а |
ехр (— р/х) |
, |
I |
, „, , |
|
|
I |
|
|
------ ІГ:----- dx = |
- у ехр (— р/а). |
|
|
|
|
Интегралы, содержащие ехр(—ах2 + 6х_) и степени х
Раскроем прежде всего интеграл вида
N
J ехр (— ах2 + Ьх) dx,
