Файл: Мирцхулава, Ц. Е. Надежность гидромелиоративных сооружений.pdf

Часто начальные данные бывают неизвестны. В таком случае для определения вероятности какого-либо- события прибегают к опыту.

Допустим из ящика, в котором имеются белые и черные ша­ ры, вынимаем шар и записываем его цвет; вынутый шар кладем обратно в ящик, шары в ящике тщательно перемешиваем, снова

белый шар. Это отношение называется частотой появления дан­ ного события. Опыт показывает, что при проведении большого количества опытов в одинаковых условиях частота некоторого со­ бытия обнаруживает свойство устойчивости.

Частоту события часто называют статистической вероятно­ стью. Вероятность же, вычисленную по начальным данным, на­ зывают математической вероятностью.

В дальнейшем статистическую вероятность мы будем называть

уклониться от вероятности. Уклонение частоты от вероятности ука­ зывает на ту погрешность, которую допускают, приняв частоту за вероятность. На возможности определить величину уклонения частоты от вероятности и основано практическое применение тео­ рии вероятностей к разным наукам.

Опытным путем можно показать, что уклонение частоты от вероятности тем меньше, чем больше опытов проделано для по­ лучения частоты. Это свойство уклонения уменьшаться по мере увеличения числа опытов носит название «закон больших чисел».

Одно из основных понятий теории вероятностей •— понятие о случайной величине.

Случайной величиной называется переменная величина, зна­ чения которой зависят от случая.

Случайная величина, которая может принимать только конеч­ ное или счетное множество значений, называется дискретной (прерывной) случайной величиной. Примером дискретных случай­ ных величин могут служить число дождевых дней в году, число аварий некоторого сооружения и др.

Непрерывной называется случайная величина, которая мо­ жет принимать любые значения в одном или нескольких заданных интервалах. Значения непрерывной случайной величины непрерыв­ но заполняют некоторый промежуток или несколько промежутков. Примерами непрерывных случайных величин могут служить: ско­

27

рость потока по вертикали, уровень реки, ошибка взвешивания тела на весах и др.

Очень часто для вычисления вероятностей события оказыва­ ется удобно связать это событие с какой-нибудь случайной вели­ чиной.

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Теория вероятностей в основном изучает косвенные методы, которые позволяют свести необходимый эксперимент к миниму­ му. Для применения этих косвенных методов необходимо поль­ зоваться двумя основными теоремами теории вероятностей: тео­ ремой сложения вероятностей и теоремой умножения вероятно­ стей.

Для событий, сводящихся к схеме случаев, они могут быть доказаны, а для событий, не сводящихся к этой схеме, их прини­ мают аксиоматически, как принцип или постулат.

Для формулировки этих теорем необходимо определить сум­ мы событий и произведение событий. Суммой нескольких собы­ тий Ль Л2, ..., Ап называется событие А, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Если события Л1 , ..., Ап несов­ местимы, то сумму обозначаем как Л — Л1 + ...+ Л п, а если собы­

тия Ль ..., Ап совместимы, то Л —А ги А 2 U...LMn. Произведением нескольких событий Ль ..., Л„ называется со­

бытие Л, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Оно обозначается как A —Aif\A2ri--- nAn или Л = Л 1Л2...ЛП.

При доказательстве этих теорем будем предполагать, что все события можно разлагать на равновозможные.

Если события Л и В несовместимы, то вероятность того, что при испытании произойдет или событие Л, или событие В, равна сумме их вероятностей, то есть

Р ( А + В ) = Р ( А ) + Р ( В ) .

Два события А и Л называются противоположными, если их

сумма является достоверным событием, а произведение — невоз­ можным событием. Из теоремы сложения вероятностей следует, что Р (Л) -\-Р (А) = 1, то есть

Событие Л независимо от В, если условная вероятность собы­ тия Л, вычисленная при условии, что при осуществлении комплек­ са условий S произошло событие В, равно безусловной вероятно­ сти события Л (то есть вероятности, вычисленной без всяких ог­ раничений, кроме комплекса условий S).

Вероятность произведения двух независимых событий равня­ ется произведению вероятностей отдельных событий:

28

Если событие А является произведением п попарно независи­

Вероятность события А, вычисленная при условии, что про­ изошло другое событие В, называется условной вероятностью со­

ного осуществления событий А я В.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условрую вероятность другого при условии, что первое произошло, то есть

Р( АВ) = Р( А) Р { А/ В) = Р( В) Р { В/ А) .

Если А независимо от В, то Р(А/В) — Р (А), и из предыдущей формулы следует, что Р ( В/ А) = Р( В) , то есть из независимости А от В следует независимость В от А. Если сложное событие состоит из нескольких простых событий, зависимых между собой, то вероятность сложного события будет равна вероятности пер­ вого события, умноженной на условную вероятность остальных простых событий, вычисленных в предположении, что предшест­ вующие простые события ,имели место.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместимых А я В явлений равна сумме их вероятности минус рероятности совместимых появлений этих двух явлений:

Если события независимы, тогда

Р(Л ивиС ) = Р (Л )+ Р (Р )+ Р (С )+ Р (Л )Р (Б )Р (С )-

-Р ( А ) Р ( В ) - Р ( А ) Р ( С ) - Р ( В ) Р ( С ) . (8)

=0,4;

Д(Л+В+С)=0,4+0,2+0,4+0,4-0,2-0,4-0,4-0,2-0,4-0,4-0,2-0,4=0,712.

29

Пример 3 легко можно решить зависимостью (11):

Р (Л + В + С ) = 1 — (1—0,4) (1 -0 ,2 ) (1 -0 ,4 ) =0,712.

3.ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ

Предположим, что событие Л может произойти с одним и

только с одним из п несовместимых и единственно возможных

П

событий # 1 , ..., Нп, то есть Л = ^ 41Я*. Тогда из теорем сложе- i=i

ния и умножения вероятностей получается формула для вычис­ ления вероятности события Л:

Формула полной вероятности указывает, что вероятность со­ бытия Л определяется как сумма произведений вероятности каж­ дой гипотезы Hi на условную вероятность события Л при усло­ вии Hi.

Поставим теперь следующую задачу. Пусть с опытом связаны п несовместимых и единственно возможных гипотез Ни ..., Нп,

которому событию Л вероятность P(A/Hi). Проведем опыт, в ко­ тором событие Л наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез Hi. Требуется найти условные вероятности гипотез Hi при условии, что событие Л наступило.

Ответ на поставленную задачу дает формула Байеса [18]

30