Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

J)7

Математическая теория экономическое динамики п равновесия. В. Л . М а к а р о в, А. М. Р у б и н о в (Серия «Экономико-математическая библиотека»). Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1973.

С помощью моделей экономической динамики изу­ чают поведение экономической системы во времепп. В книге подробно исследуется одна из основных техно­ логических моделей динамики — модель Неймана — Гейла, а также некоторые ее обобщения. Особое вни­ мание уделено оптимальным (эффективным) траекто­ риям. В частности, изложены теоремы о магистрали, посвященные асимптотике этих траекторий, и теоремы о характеристике (о наличии двойственных оценок). Дается полное описание состояний равновесия модели Неймана — Гейла.

В книге исследуется также основная модель эко­ номического равновесия — модель Эрроу — Дебре. Приводятся ее обобщения, которые используются за­ тем для анализа динамических моделей, учитываю­ щих потребление в явном виде. Подробно изложена теория точечно-множественных отображений, служа­ щая аппаратом для исследования моделей.

Книга рассчитана на математиков: студентов, ас­ пирантов, научных работников, интересующихся ма­ тематической экономикой, математическим програм­ мированием и выпуклым анализом, а также на эконо­ мистов, анающих математику.

Вмонографии 27 рис., библ. 120 названий.

Издательство «Наука», 1973.

0224 — 1839

.М 042 (02)-73 73-73

(114). 4. Расположение состояний равновесия модели Неймана — Гейла. Конечность числа темпов роста модели (118). 5. Обобщенные темпы роста (124). 6. Экономический темп роста (125).

§7. Спектральная теория суперлинейиых отображений . . 1. Собственные числа и собственные множества (126). 2. Соб­

темпам роста (135). 5. Собственные числа отображения а - 1 (138).

Г Л А В А I I I

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е ТРАЕКТОРИ И И ИХ ХАРАКТЕРИСТИК А

§ 8. Общая технологическая модель экономической ди­

§9. Характеристика оптимальных траекторий

1.Двойственная модель (160). 2. е-характеристика слабо опти­ мальных траекторий (162). 3. Траектории, допускающие характери­ стику (163). 4. Теоремы о характеристике в моделях первого рода

внепрерывном времени (185).

§11. Обобщенная технологическая модель

1.Определение модели. Оптпмальпые траектории (192). 2. Прин­ цип оптимальности (194). 3. Суперлинейное расширение (198). 4. Ха­ рактеристика оптимальных траекторий (203). 5. Некоторые обобще­

ния (205).

§ 12. Характеристика траекторий бесконечномерных моде­ лей

1. Введение (211). 2. Суперлинейные функционалы и К-опорные множества; вполне положительные сублинейные функционалы и нор­ мальные множества (211). 3. Точечно-мпожественные отображения (213). 4. Определение регулярной модели. Теоремы о характеристи­ ке (219). 5. Модель, учитывающая различие фондов по сроку служ­ бы (221).

Г Л А В А I V

АСИМПТОТИКА О П Т И М А Л Ь Н Ы Х ТРАЕКТОРИ Й

§ 13. Теорема о магистрали в слабой форме

1.Введение (225). 2. Траектории, имеющие средний темп роста а

(226). 3. Асимптотика траекторий, имеющих средний темп роста а

Гейла (238).

1.Определение игры (274). 2. Вспомогательные предложения

(276). 3. Существование состояния равновесия (278).

1.Модель Эрроу — Дебре (280). 2. Существование равногеспя

(283). 3. Замечания об экономическом смысле теоремы 18.1 (285).

§ 19. Конкурентное равновесие и оптимальность . . . . 286

1.Видоизменение первоначальной модели (286). 2. Оптималь­

ность состояния равновесия (289). 3. Замечание к теореме 19.1 (291).

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга посвящена математическому анализу моделей экономической динамики и равновесия. Эти мо­ дели представляют собой важный раздел математической экономики.

Модели экономической динамики описывают поведение экономической системы во времени. Основным объектом изучения в этих моделях является траектория, т. е. по­ следовательность элементов фазового пространства, кото­ рая описывает допустимый (возможный) путь развития экономики. Среди всех траекторий выделяются «жела­ тельные», т. е. оптимальные в смысле некоторого критерия.

С помощью моделей экономического равновесия изуча­ ются траектории, порождаемые тем или иным экономиче­ ским механизмом.

Удобным математическим аппаратом для исследования моделей являются точечно-множественные отображения. При изучении моделей равновесия (так же, как и в тео­ рии игр) используется топологический аспект теории этих отображений (в частности, теорема Какутани). Для ис­ следования моделей динамики потребовалось рассмотреть специальный класс отображений, которые в этой книге названы суперлинейными. Теория суперлинейных точечномножественных отображений представляет, по-видимому, и самостоятельный интерес. Эта теория излагается в первой главе.

Главы I I — I V посвящены моделям экономической ди­ намики. Подробно изучены свойства оптимальных траек­ торий этих моделей. Эти свойства описываются теоремами о характеристике (наличии двойственных оценок) и теоре­ мами о магистрали (об асимптотике траекторий).

В главе V формулируются и исследуются модели рав­ новесия. Основное внимание уделено теореме о сущест­ вовании состояния равновесия в модели Эрроу — Дебре и некоторых ее обобщениях.

применяются для исследования модели экономической ди­ намики, в которой явно учтено потребление. Исследуются асимптотика и характеристика оптимальных траекторий и указывается связь этих траекторий с так называемыми рав­ новесными траекториями.

Некоторые разделы книги были прочитаны нами на спецкурсах в Новосибирском государственном универси­ тете.

При наппсании книги мы ориентировались на читателя,

впрочем, что глубокие результаты теории линейных опе­ раторов (матриц) в кнпге, как правило, не используются. Необходимые для понимания книги и не общеизвестные сведения из конечномерного выпуклого анализа изложены без доказательств в § 1. При изложении некоторых во­ просов не удалось обойтись без привлечения сведений из функционального анализа. Соответствующие места в кни­ ге набраны петитом.

В книге принята автономная нумерация формул, тео­ рем, предложений и лемм. Они нумеруются с помощью двойного индекса, первая часть которого указывает номер параграфа, а вторая — номер формулы или соответствую­ щего утверждения в этом параграфе.

Многие результаты, вошедшие в эту книгу, неоднократ­ но обсуждались на семинаре по математической экономике Института математики СО А Н СССР. Эти обсуждения во многом способствовали улучшению книги. Мы признатель­ ны всем участникам этого семинара.

Мы глубоко благодарны Л . В. Канторовичу за постоян­ ную помощь и внимание к нашей работе.

Авторы