Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 104
Скачиваний: 1
ВВЕДЕНИЕ
1. Место в разделах прикладной математики. В послед ние два десятилетия бурно развивается математический аппарат для изучения экономических и общественных яв лений. Линейное и нелинейное (и вообще математиче ское) программирование, теория игр, теория графов, тео рия процессов оптимального управления, моделирование и «симулирование» на ЭВМ и др. сформировались за эти два десятилетия в самостоятельные крупные разделы прик ладной математики. По каждому из них в настоящее время насчитывается по нескольку монографий, учебников и справочников, сотни научных статей. Таким образом, мож но говорить об определенной оформленности и зрелости этих разделов.
Развитие упомянутых направлений, кроме собственной проблематики, порожденной экономическими и другими общественными приложениями, привело к созданию осо бой, чисто математической проблематики, либо оживило некоторые традиционные области математики.
Упомянем в связи с этим теорию выпуклых множеств и функций, которая в последние годы усиленно развивается именно в связи с потребностями этих новых областей прикладной математики.
Настоящая книга полностью лежит в русле исследова ний общественных явлений математическими средствами. Однако она не может быть причислена без натяжки ни к одному из упоминавшихся разделов. Дело в том, что мате матический анализ моделей экономики требует привлече ния результатов и из математического программирования,
ииз теории игр, и из выпуклого анализа и т. д. Кроме того, возникла собственная математическая проблематика
икруг понятий, обладающие известной обособленностью.
Имеется ряд книг, в основном экономического харак тера, посвященных изучению и анализу математических моделей экономики. Содержание этих книг объединено
10
предметом исследования — моделью экономики, применя емый же аппарат, как правило, самый разнообразный. Причем это разнообразие аппарата по существу и его не избежать.
Существует, однако, один весьма важный класс моделей экономики — модели экономической динамики и равнове сия, для которого к настоящему времени разработана до вольно стройная математическая теория.
Исследования, связанные с моделями экономической динамики, в последние годы бурно развиваются, и, на наш взгляд, назрела потребность в систематизации на копленных результатов и публикации на эту тему книги чисто математического характера. В последнее время вы
шло |
несколько переводных |
книг |
(М. М о р и ш и м а, |
|
Устойчивость, равновесие, рост, «Наука», 1972; К. |
Л а н |
|||
к а с т е р , Математическая |
экономика, «Сов. |
радио», |
||
1972; |
Х . Н и к а й д о , Выпуклые |
структуры и матема |
||
тическая экономика, «Мир», |
1972), |
в значительной мере |
||
затрагивающие проблемы, которым посвящена настоя щая книга. Все перечисленные книги носят более элемен тарный характер, и предварительное ознакомление с ними перед чтением данной будет несомненно полезным.
Прежде чем перейти к изложению содержания книги, нам хотелось посвятить несколько страниц рассмотрению исходных предпосылок и идей при изучении экономиче ских систем в целом, при построении математической тео рии экономических процессов. Полезно также сказать не сколько слов о логике появления тех или иных понятий математической экономики, которые подробно изучаются
вкниге.
2.Концепция оптимальной экономики. Как известно, предметом экономической науки является производство, распределение и потребление благ (блага понимаются в самом широком смысле).
В этих трех взаимозависимых сторонах экономического процесса основную роль играет распределение — меха низм распределения произведенных благ между членами общества. Механизм распределения решающим образом влияет как на производство, так и на потребление благ. 7"* В настоящее время дело обстоит таким образом, что сколько-нибудь адекватная (количественная)" математиче ская теория экономики в совокупности всех ее трех сторон
I J |
В В Е Д Е Н И Е |
L H |
в обычном традиционном понимании теории вряд ли_возможна. Экономическая система, по-видимому, имеет слож ность, превышающую порог, до которого строится точная теория как математическое понятие. Слишком велик набор существенных факторов, приводящий модель в громозд кую, необозримую конструкцию, с которой невозможно работать по крайней мере в теоретическом плане.
Некоторое время назад возникла идея рассмотреть экономику без учета основной ее стороны — механизма распределения. Эта на первый взгляд парадоксальная идея привела к богатой математической теории оптимальной экономики (или экономики благосостояния по западной терминологии). Модели развития экономической системы во времени в рамках этой теории получили название мо делей оптимального экономического роста. Название возник ло из первоначальной цели построения таких моделей — определить максимально возможный темп роста^системы в условиях существования ограничений только природного характера (технология, природные запасы, физические за коны и т. п.) и совершенно без учета ограничений, связан ных с организацией, управлением, «человеческим фак тором».
Суть подхода к построению оптимальной (или идеаль ной) модели экономики близка к подходу великих утопис тов прошлого. А именно, конструируется идеальная, с точки зрения создателя, экономика, причем любые вопро сы ее реальной осуществимости оставляются в стороне.
Таким образом, основная предпосылка состоит, грубо говоря, в допущении «всемогущества реализации решений». Эта основная предпосылка может быть развернута в более частные:
1)Абсолютная доступность любого характера инфор мации, причем, конечно, информации совершенно досто верной. Имеется в виду, в частности, информация о про изводственных возможностях, технических достижениях любой ячейки, информация о желаниях, целях людей, осо бенно в области потребления благ и т. п.
2)Абсолютное могущество в вычислениях, возможность найти решение экстремальной задачи любой размерности.
3) Абсолютное могущество в осуществлении решений, в частности, по конструированию экономической органи зации.
12 |
В В Е Д Е Н И Е |
4) Постулат о существовании и знании глобального критерия оптимальности, т. е. критерия, которым руковод ствуется все общество как единое целое.
В соответствии с этими предпосылками, формулируется (или мыслится) экстремальная задача гигантских разме ров. Типы экстремальных задач, которые при этом появля ются, довольно сильно отличаются друг от друга. Чуть ни же в этом введении формулируется одна из таких задач — задача нахождения оптимальной траектории развития экономики на бесконечном временном интервале.
Решение соответствующей экстремальной задачи, на зываемое оптимальным состоянием экономики, или, в ди намической постановке, оптимальной траекторией,
является, по определению, самым лучшим для всего общества в целом в рамках имеющейся физической реаль ности. Еще раз подчеркиваем, что вопросы фактической реализации оптимального решения в этой теории остаются в стороне.
Основные предпосылки теории оптимальной экономики кажутся настолько далекими от реальности, что на первый взгляд она имеет чисто умозрительный интерес. На самом же деле это далеко не так. Во-первых, существуют частные экономические ситуации, совершенно реальные, где пере численные выше предпосылки имеют место (например, процесс планирования, особенно внутриотраслевое плани рование). Во-вторых, сам постулат о существоваиии опти мальной (мифической с точки зрения реальности) траек тории развития экономики оказывается полезным при при нятии практических решений. С идеальной организацией, точнее, с ее характеристическими признаками, можно срав нивать любые другие.
Математическая теория оптимальных состояний и тра екторий продвинута в настоящее время достаточно далеко. Этому посвящена большая часть книги.
3. Экономическое равновесие. В теории оптимальной экономики всегда наибольшую критику вызывал постулат о глобальном критерии оптимальности и, как следствие, полной централизации. Даже если допустить постулат о существовании в принципе такого глобального критерия, не существует органа в экономической системе или группы людей, носителя этого критерия. Каждая часть системы является носителем некоторого своего критерия, своей ло-
В В Е Д Е Н И Е |
13 |
кальной цели. Глобальный критерий — это какой-то син тез локальных критериев, но локальные, если так можно выразиться, существуют более реально, более осязательно.
Модели экономического равновесия как в статике, так и в динамике отличаются от моделей оптимальной эконо мики только в одном пункте. Вместо единого критерия и, стало быть, экстремальной задачи имеется совокупность частей, каждая со своим критерием. Математически эта си туация описывается подобно игре многих лиц, а понятие экономического равновесия в статике совпадает с поняти ем равновесия или решения игры в смысле Неймана — Ыэша. Существенно отметить, что сами множества стра тегий некоторых частей зависят от выбора стратегий дру гими частями. Эта зависимость задается с помощью не которой матрицы, называемой матрицей распределения доходов. Элементы этой матрицы показывают, какую долю дохода одна часть направляет другой части. Понятие рав новесной траектории в модели экономической динамики представляет собой несколько более сложную конструк цию, но в конечном счете в идейном плане близко к реше нию в смысле Неймана — Нэша.
Основной результат в теории экономического равнове сия, имеющий фундаментальное значение для экономи ческой теории вообще, содержится в так называемой тео реме эквивалентности.
4. Пример модели экономической динамики. Хорошее представление о содержании настоящей книги, проблема тике и результатах в области теории моделей экономи ческой динамики и равновесия можно дать на примере простейшей (так называемой однопродуктовой) модели экономической динамики. Эта модель, кстати, системати чески используется в качестве иллюстративного примера в основном изложении (гл. V, V I ) .
Однопродуктовая модель задается с помощью двух не отрицательных функций / и и, определенных на неотрица тельной полуоси Функция / называется производствен ной, число / (х) показывает количество продукта (капита ла), которое можно произвести в течение единичного вре менного интервала, располагая продуктом (капиталом) в количестве х. Функция и называется функцией полезности или предпочтения, число и (с) показывает величину «по лезности» от потребления продукта в количестве с в тече-
14 |
В В Е Д Е Н И И |
ние единичного временного интервала. Основным пред метом изучения в теории моделей экономической динамики являются (допустимые) траектории развития системы, т. е. в данном примере такие последовательности пар чисел
(xt, ct)Z=ot xi |
> |
0> ct |
0, для которых выполнено соотно |
шение хи1 |
+ |
c t + 1 = |
/ (а;,) при всех i. |
Привлекая экономическую интерпретацию, можно го |
|||
ворить, что |
xt |
это |
количество продукта (фондов или ка |
питала), имеющееся в системе в начале периода t, ct — количество продукта, идущее на потребление в течение временного интервала t.
Поскольку, |
как правило, из экономических соображе |
|||
ний интересно |
знать, какова «полезность» |
от траектории |
||
(ci)f°^oj то вместо траектории |
(xt, |
с( ) часто |
рассматривают |
|
|
|
t |
|
|
траекторию (х„ vt)/=o. где yt |
= ^] |
и (с т ) - Я т , Хх > 0, t = |
||
= 1, 2 , . . . Числа Ххназываются коэффициентами приве дения или дисконтирования полезности во времени.
Рассмотрим теперь кратко проблематику и результаты, изложенные в книге, применительно к рассматриваемому примеру.
Точечно-множественные отображения. Нетрудно за метить, что состояние (xt, у,) полностью определяет мно жество возможных, согласно определению допустимой траектории, состояний {(#t+ 1 , YJ+I)} для следующего вре менного интервала. Точечно-множественные отображения типа
а- (я/1 Yi) -* {fo+ii Y<+i)}
являются самостоятельным предметом изучения теории. Такое изучение необходимо для детального исследования свойств траекторий развития, кроме того, оно представля ет самостоятельный, чисто математический, интерес. В част ности, при этом обобщается ряд результатов из теории положительных линейных операторов, например теоремы о спектральных свойствах. В классической экономической теории функции / и и предполагаются вогнутыми (выпук лыми вверх). Это предположение о выпуклости много кратно обсуждалось в самой различной литературе, поэто му мы не будем здесь повторять общеизвестные аргументы на этот счет. Отметим лишь, что оно оказывается решаю-