Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

щим для большинства результатов книги. В частности, упо­ мянутые выше отображения а в условиях предположения выпуклости исчерпывающим образом изучаются в теории вогнутых и суперлинейных отображений, излагаемой в первых главах.

Множество, которое пробегает временной параметр t, не обязательно должно быть натуральным рядом. Часть

мых траекторий, выходящих из некоторого фиксирован­ ного начального состояния, может быть очень много. При определенных дополнительных предположениях множест­ во таких траекторий представляет собой компакт в подхо­ дящим образом выбранном функциональном пространстве.

В теории идеальной (оптимальной) экономики предпо­ лагается заданным (глобальный) критерий оптимальности, выделяющий в множестве допустимых траекторий подмно­ жество экстремальных в смысле этого критерия траекто­ рий. В книге изучаются два основных класса экстремаль­ ных траекторий: эффективные (оптимальные) траектории и

U-оптимальные траектории. Траектория (хи TV)S=o э Ф Ф е к _ тивна, если не существует другой допустимой траектории

является сужением понятия эффективности. Траектория (хп Т()£1о ?7-оптимальна, если

l i E . ( f t - T i ) > 0

для любой траектории (xt, Y()<=oi выходящей из того же самого начального состояния г0 .

В книге изучаются теоремы существования для эффек­ тивных и [/-оптимальных траекторий. Большое место от­ ведено на изложение теорем о характеристике экстремаль­ ных траекторий. Теоремы о характеристике формулируют необходимые или необходимые и достаточные условия экст­ ремальности. Эти теоремы играют ту же роль, что и тео­ ремы двойственности в задачах выпуклого программиро-

16 В В Е Д Е Н И Е

вания или принцип максимума для задач оптимального управления. Соответствующие связи и аналоги устанав­ ливаются в основном изложении.

Магистрали. Асимптотика. Важным вопросом с точки зрения экономических приложений и численных алгорит­ мов нахождения экстремальных траекторий является во­ прос о существовании и свойствах стационарных экстре­ мальных траекторий, так называемых магистралей. Ста­ ционарность траектории здесь понимается как соотноше­

рии тесным образом связаны с собственными векторами соответствующего точечно-множественного отображения. Стационарные [/-оптимальные траектории (магистрали) могут быть получены из решения специальным образом составленных задач выпуклого программирования. Это обстоятельство очень существенно, поскольку задача чис­ ленного нахождения [/-оптимальных траекторий в общем случае очень трудна. Благодаря же возможности вычис­ лять магистрали и теоремам о магистрали (о сходимости произвольной [/-оптимальной траектории к магистрали) появляются способы приближенного нахождения [/-опти­ мальных траекторий.

Вообще, изучению асимптотических свойств экстре­ мальных траекторий уделено значительное место. Упоми­ навшиеся теоремы о магистрали имеют несколько различ­ ных типов в зависимости от способа стремления к стацио­ нарной экстремальной траектории.

Равновесные траектории. Математические модели эко­ номического равновесия рассматриваются в книге в зна­ чительно меньшем объеме, чем модели динамики. В основ­ ном затрагиваются такие вопросы, которые имеют связь с моделями экономической динамики и вообще логически связаны с основным объектом изучения — траекториями развития экономики. Как уже отмечалось выше, состояние равновесия и равновесная траектория зависят от того, как экономическая система разбита на части и каковы взаимо­ отношения между этими частями.

Проиллюстрируем понятие равновесной траектории на примере сформулированной выше однопродуктовой модели. В этой модели выделяются две части: держатели фондов

(владельцы капитала) и владельцы рабочей силы (трудя­ щиеся). В зависимости от интерпретации можно говорить о классе капиталистов и классе рабочих или о государстве и населении и т. д. Обе части, и государство и население, выступают в двоякой роли, роли производителя и роли потребителя. Как производители, они стремятся максими­ зировать свою «прибыль» или «доход», а как потребите­ ли — максимизировать свою функцию цели. Для государ­ ства — это объем фондов всей экономики, для населения — это заданная функция полезности и. Взаимоотношения между государством и населением задаются с помощью по­ следовательности 0 = (8[, 0")(=О) г де число 0[ > О пока­ зывает долю «прибыли» государства в период t, которую оно отчисляет населению в этот период, а число 9f показы­ вает долю заработной платы населения, которую государ­ ство получает в период t.

Обозначим через pt = (nt, w) произвольный вектор цен, относящихся к периоду t, где я, — цена единицы про­ дукта, и>1 — цена труда (заработная плата трудящихся).

-iDt)(l-Ql).

Условиями2) показывают, что и государство и населе­ ние на равновесной траектории получают максимальную прибыль в цепах равновесия. Условия 3) и 4) говорят о том, что обе части экономической системы реализуют максималь­ ные значения своих целевых функций при соответствую­ щих бюджетных ограничениях.

Из приведенного определения видно, что равновесная траектория — это довольно сложное образование. Однако

оказывается, что всякая [/-оптимальная траектория явля­ ется равновесной относительно специально подобранного разбиения на части и последовательности 0. Устанавлива­ ются также условия, при которых верно обратное утверж­ дение относительно оптимальности равновесной траек­ тории.

^Теоремы, связывающие равновесные и оптимальные траектории, вносят известный вклад в общеэкономиче­ скую проблему о взаимоотношении локальных и глобаль­ ного критериев оптимальности, централизации и децентра­ лизации в управлении экономикой, наконец, о роли эко­ номических механизмов при управлении экономической системой.