Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

[4], [5], [6] показано, что исследование многих важных задач, воз­ никающих в экономике, сводится к изучению этой модели (среди этих задач отметим, например, динамические задачи линейною программирования и теорию моделей стационарной экономики, учитывающих потребление). Теорема о канонической форме при­ надлежит Макарову.

Отметим, что эта теорема связывает модели экономической ди­ намики, рассматриваемые в настоящей книге, с широким классом конкретных экономико-математических моделей, описываемых с помощью линейного и, более того, математического программиро­ вания. Изучение этих моделей начато по существу в известной кни­ ге Канторовича [1]. Им посвящена обширная литература, из которой отметим лишь монографию Канторовича [2].

В книге ие излагаются результаты, относящиеся к моделям Леонтьева, Неймана — Леонтьева, а также к многочисленным мо­ делям леонтьевского типа. Этим моделям посвящена обшириая ли­ тература (см., например, Гейл [2], [3], Морпшима [2], Ланкастер [1], Карлин [1], Никайдо [2]). Исследование этих моделей удобнее всего проводить с помощью аппарата положительных квадратных ма­ триц. Указанный аппарат позволяет в леоптьевском случае уточнить и усилить многие результаты, относящиеся к модели Неймана.

§ 6. Определение неймановского состояния равновесия в мо­

дели Неймана Z дано Нейманом в работе [1]. Там же доказано су­

Существование обобщенного неймановского состояния равнове­ сия в модели Неймана — Гейла доказано Гейлом [2]. Контрпри­ мер 3 принадлежит Макарову. Аналогичный контрпример приведен Мовшовичем [1] и Хюльсмапом и Штейиметцем [1]. Теорема 6.1 принадлежит Макарову и опубликована в статье Макарова и Ру - бинова [1]. Определение состояния равновесия и темпа роста в модели Неймана дано в работе Кемени, Моргенштерна и Томпсо­ на [1]. Там же решен вопрос о числе темпов роста для модели Ней­ мана (см. также статьи Томпсона [1] и Майстровского [1]). Расположение состояний равновесия с различными темпами роста

вэтой модели выяснено Макаровым [1]. Для модели Неймана — Гейла аналогичные результаты получены Макаровым [3] в предполо­ жении замкнутости проекций конуса Z. Теорема 6.2, освобожденная от последнего предположения, доказана впервые в работе авторов (см. Макаров и Рубинов [1]). Конструкция, использованная в ее доказательстве, принадлежит Макарову [3]. Как уже было отмечено

в§ 6, Мовшович [1] доказал теорему об «е-равновесии». Интерес­ ный подход к темпам роста предложен Рокафелларом [4]. Предло­ жение 6.5 об обобщенных тешах роста содержится в статье Макарова и Рубпнова [1].

Экономический темп роста введен Гейлом в работе [2]. Там же приводятся простые достаточные условия совпадения технологиче­ ского и экономического темпов роста.

В этой книге мы совершенно не касались вопроса о вычислении темпов роста. Вычислительные методы для разыскания темпов роста в модели Неймана приведены, например, в работах Хамбургера,

опубликованы в работе Макарова и Рубииова [1] (см. также Руби­ нов [6]).

чай, когда а имеет телесное собственное тожество. Особенно под­ робно им исследована ситуация, когда одному из собственных чисел отвечают телесный собственный компакт отображения а и (7?™)- устойчивое собственное множестпо отображения ( а ' ) - 1 .

Собственные множества отображения, обратного суперлинейно­ му, рассматривались Швейдель [1]. Там же выяснены некоторые

топологические свойства совокупности (Д")-устойчпвых множеств. По поводу непрерывности суперлпнейного отображения и обратно­ го к нему см. Красе [5], Швейдель [1].

§ 8. Общая технологическая модель введена в рассмотрение Рубиновым [4]. Ему же принадлежат результаты § 8.

Понятие оптимальной (эффективной) траектории развивалось постепенно. Можно упомянуть здесь работы Раднера [1], Рейдера [1],

Макарова [2], Фуруйя и Ицада [1]. Это понятие тесно связано с так называемыми экстремальными состояниями (см. Акилов, Канто­ рович, Рубинштейн [I]). Лемма 8.1 для случая правильной модели

доказана Макаровым [4]. Подмодели в модели Неймана — Гейла рассматривал Гейл [2] (его определеппе отлично от нашего). Под­

[1], [2], Мак-Кензи [1], Тюриным [1], Макаровым [8], [10]. Теоремы о характеристике, приведенные в § 9, получены Рубиновым в [8]. Там же определена двойственная модель. Определение согласован­ ных траектории и результаты п. 6 принадлежат Рубинову.

§10. Модель типа Неймапа — Гейла определена Макаровым 12]. Модель, функционирующая в пепрерывиом времени, определена им же в работе [8]. Леммы 10.17 Ю.2 и теорема 10.2 принадлежат

Макарову. Теорема 10.3 принадлежит Рубинову и является усиле­ нием теоремы Макарова [8]; см. также Рокафеллар [4]. Дифферен­ циальные включения изучались Болтянским [1].

§11. Обобщенную технологическую модель определил Тюрин

[1].Результаты § 11 принадлежат Рубинову. Теорема 11.2 яв­

муэльсоном и Солоу [1]. Для модели Неймана — Гейла теорема о магистрали в слабой форме доказана впервые Радпером [1] (в пред­ положении, что существует строгое состояние равновесия). В этой же работе доказывается лемма 13 . 1' . Неймановская грань была оп-

ределена Мак-Кензи [2] для так называемой «модели леонтьевского типа». Там же приводится лемма 13.1. Понятие траектории, имеющей средний темп роста, введено Макаровым [4]. Теоремы о магистрали в слабой форме для конечных оптимальных траекторий были доказа­ ны при различных предположениях, наложенных на модель Мак-Кен­ зи [1], [2], [3], Морипшмой [1], [2], Макаровым [2], [4], Романовским [1], [2 , [3], Мовшовичем [1].

Асимптотическое поведение оптимальных бесконечных траек­ торий впервые рассматривал Макаров в работе [4]. Там, в частности, приведена теорема 13.1. Остальные результаты пп. 2, 3 § 13 приве­ дены, по-видимому, впервые в работе Макарова и Рубинова [1]. Обзор теорем о магистрали в слабой форме приведен в статье Мовшовича и Питтеля [1]. Там же указывается на связь модели Нейма­ на — Гейла с марковскими процессами принятия решений и дина­ мическим программированием. Эта связь подробно изучена Романов­ ским [1], [2], [3].

§ 14. Теорему о магистрали в сильной форме впервые доказал Никайдо [1] (см. теорему 14.2). При различных предположениях, наложенных на модель, эту теорему получили Моришима [1], [2], Драндакис [1], Тцукуи [1], Макаров [4], Романовский [2] и др.

Подробное изложение теорем о магистрали для некоторых спе­ циальных классов моделей имеется в монографиях Моришимы [2] и Никайдо [2].

Теорема 14.1 приведена впервые в работе Макарова и Рубино­

ва [1]. Заметим, однако, что связь между явлением сильной магист­

в работе [4]. Там же содержатся все результаты § 15, за исключе­ нием предложения 15.1. Это предложение принадлежит Рубинову.

ме. Этот класс состоит из траекторий, допускающих характеристику, обладающую некоторыми специальными свойствами.

§16. Результаты этого параграфа принадлежат Рубинову. Асимптотике оптимальных траекторий в моделях с переменной тех­ нологией посвящены также работы Рубинова [2], Красса [1], Шапиева [1], Рубинова и Шапиева [1]. Подход к исследованию траекто­ рий модели Неймана — Гейла, намеченный в п. 2, развит в статье Жафярова [1].

§17. Бескоалиционная вогнутая игра п лиц в нормальной фор­ ме введена Нейманом и Моргенштерном [1]. Определение рассмот­ ренного состояния равновесия и доказательство его существования

принадлежит Нэшу [1], [2]. Описанная в § 17 модификация игры п лиц, при которой множества стратегий игроков зависят от самих стратегий, дана Макаровым.

Теория игр п лиц применяется для исследования различных задач математической экономики. Отметим приложения этой теории к модели Эрроу — Дебре (см. следующий параграф), а также к моде­ ли производства Вальда (см. Зуховицкий, Поляк, Примак [1]; по прводу модели Вальда см. Вальд [1], Кун [1]; динамический вариант

модели Вальда рассмотрен в упомянутой работе Зуховицкого, Поляка и Примака).

§ 18. Модель Эрроу — Дебре впервые опубликована в работе Эрроу и Дебре [1] (см. также книгу Дебре [1]). Близкие по форме мо­ дели были определены и изучены Мак-Кензи [1] и Гейлом [1]. Идея о сведении модели Эрроу — Дебре к игре п лиц принадлежит Вол­ конскому п была реализована Макаровым в работе [11]. Ауманну [1] принадлежит обобщение модели Эрроу — Дебре на случай конти­ нуума потребителей (при этом удается отказаться от предположе­ ния о вогнутости функции полезности). Изложение и некоторое

в первоначальной работе Эрроу и Дебре [1]. Вариант доказательства

суммарной полезности на бесконечном временном интервале дана Рамсеем [1] еще в 1928 году. Примеры 2 и 3 несуществования опти­ мальных траекторий принадлежат Гейлу [4]. Теорема 20.3 содер­ жится в работе Макарова [10].

Однопродуктовая модель исследовалась многими авторами. ^/-оптимальные траектории в этой модели изучались Купмансом [1], [2], [3], Бплсом и Купмаисом [1], Гейлом [4], [5], Гейлом

и Сазерлендом [1], Инагаки [1], [2], Сазерлендом [1] и др. Некоторые задачи, возникающие в этой модели, рассмотрены Канторовичем и Горьковым [1], а также Горьковым [1]. Функциональные (и, в частно­ сти, дифференциальные) уравнения, связанные с исследованием моде­ лей экономической динамики, приведены в работе Капторовича и Макарова [1].

§21. Теорема 21.1 принадлежит Гейлу [4]. Пример несущество­ вания У-онтимальной стационарной траектории дан Макаровым в

[10]. Теорема 21.2 принадлежит Макарову [7], [12]. Аналогичная теорема, доказанная тем же методом при несколько других услови­ ях, дана Купмаисом [3].

§22. Результаты этого параграфа принадлежат Макарову.

1 ИТЕРА ТУРА

1.Математические методы оптимального управления, «Наука», 1969.

1.Теория двойственности в математическом программировании

иее приложения, «Наука», 1971.