Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

320

Для предельного состояния равновесия z при нормировке ( Л , Т, 1 ) = 1 , очевидно, будет иметь место р (л, Т, 1) =

= 0 , что, как отмечалось выше, невозможно. Следователь­

Для этого возьмем произвольно z ЕЕ Ет+г- По определению, 2 удовлетворяет соотношениям (22.4) — (22.7), если в них Т заменить на Т + 1. Рассмотрим модель М (рт, Т). Непосредственно проверяется, что часть векторах ЕЕ #T+I, относящаяся к моментам времени А, 2, . . ., Т, удовлет­ воряет всем соотношениям, определяющим состояние рав­ новесия модели М (рт, Т). Следовательно, E,,T+I с; Еьт. Это утверждение используется далее следующим образом.

держит нуля для любого t. Построим искомое состояние

4. Связь между равновесными, эффективными и [/-оп­ тимальными траекториями. В модели (3R, U) были опре­ делены различные классы траекторий: эффективные тра­ ектории, [/-оптимальные и. наконец, равновесные траек­ тории. В этом пункте мы показываем, что при определен­ ных весьма широких условиях классы равновесных и эф-

322 М О Д Е Л И Д И Н А М И К И С У Ч Е Т О М П О Т Р Е Б Л Е Н И Я [ Г Л . V I

состояние равновесия этой модели. Тогда соответствующая

вательности (9,). Непосредственно из определения состоя­ ния равновесия следует, что последовательность р { являет­ ся характеристической (в смысле теоремы 20.2). Следова­ тельно, как было показано в п. 5 § 1 1 , траектория (ж,, у,) является эффективной.

Установим теперь обратное соответствие. А именно,

денную траекторией {Xt. с,). Согласно теореме 11.4, траек­ тория (г, , f() допускает характеристику (р,). Справедлива

шение (22.1) выполняется, поскольку траектория (£,, с,) допустима по определению. Соотношение (22.2) также имеет место, так как оно нспоср -дственно следует из опре­ деления характеристики. Поэтому остается показать лишь

В заключение сформулируем теорему, аналогичную' теореме 20.3, которая выделяет в классе равновесных тра­ екторий U -ошимальные. Условия этой теоремы, так же как условия теоремы 20.3, являются лишь достаточными. Более того доказательство по существу использует одну и ту же идею.

(а)l i m 0, > 0,

СО

(б) 2 v< = k > °>v ' = pt & + г<)—pt-i

1-*СО

довательио, по теореме 20.3, траектория ( s t , ft) [/-опти­ мальна, что и требовалось доказать.

§ 23. ИСТОРИЧЕСКИЕ И Л И Т Е Р А Т У Р Н Ы Е К О М М Е Н Т А Р И И

§ 2. Сублинейные функционалы (калибровочные и опорные функции) были введены в рассмотрение Минковским в связи с ис­ следованиями по геометрической теории чисел. Важным шагом в раз­

витии взглядов Минковского явилось установление Фенхелем изо­ морфизма полулинейного пространства выпуклых компактов и по­ лулинейного пространства сублинейных функционалов. В работах Фенхеля и его последователей показано, что сублинейные функцио­ налы являются удобным аппаратом для исследования выпуклых множеств.

ЛГ-опорные и нормальные множества применяются в теории функций комплексного переменного (в частности, при исследовании асимптотики роста целых функций). Связи между ЛГ-опорными множествами и суперлинейными функционалами, определенными на конусе К, а также между нормальными компактами и моно-

324 М О Д Е Л И Д И Н А М И К И С У Ч Е Т О М П О Т Р Е Б Л Е Н И Я [ Г Л . "VI

тонными сублинейными функционалами отмечены Рубиновым в ра­

в монографиях Бержа [1], [2]. В указанных работах приводится до­ статочно полная теоретико-множественная и топологическая теория

например, в книге Ннкайдо [2]. Метрика Хаусдорфа введена в

рассмотрение и изучена Хаусдорфом и Бляшке (см. по этому поводу

бражения изучались неявно, в форме моделей экономической ди­ намики, точнее говоря, модели Неймана — Гейла. Как самостоя­ тельный объект исследования, они появились в работах Рокафеллара [1], [2] и Рубинова [2], [3], [5]. В этих работах, в частности, определены и исследованы двойственные отображения. Рокафеллар рассматривал лишь нормальные отображения из А (Д™, Л " ) . В ра­ боте Рубинова [7] теория двойственности развита для отображений, определенных на конусах в локально выпуклых пространствах, Наше изложение следует, в основном, этой работе. Идеи выпук­ лого анализа играют при исследовании двойственности суперлпнейных отображений решающую роль. Это исследование можно по-видимому провести непосредственно на языке выпуклого ана­ лиза с помощью предложенного Рокафелларом [3] понятия бифункции. Однако специфика, вызываемая экономическими прило­ жениями (особая роль отношения порядка и, в частности, поло­ жительных функционалов), делает более удобным аппарат суперли­ нейных и сублинейных функционалов, используемый в этой книге, или родственный аппарат выпукло-вогнутых положительно однород­ ных функций, применяемый Рокафелларом [1J. (Эти функции рас­ сматривались в предложении 4.20.)

Для исследования выпуклых экстремальных задач, где поло­ жительность уже не играет решающей роли, весьма удобным ока­ зывается понятие сопряженной бифункции (Рокафеллар [3J), нося­ щее глобальный характер, или введенное Б. Н. Пшеничным [1] понятие сопряженного отображения, носящее локальный характер.

Мы совершенно не касались весьма интересных результатов Рокафеллара [1] — [4], относящихся к «выпуклой» алгебре ото­ бражений.

§ 5. Модель Неймана была введена в рассмотрение Нейманом в работе [1], опубликованной в 1937 г. Гейл [2] рассмотрел обобще­ ние модели Неймана, которое впоследствии стало называться мо­ делью Неймана — Гейла. Экономическая интерпретация модели