Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

В данные уравнения время т входит как параметр. Поэтому, не­ смотря на частные производные от P kj (t, т) по t, равенства (4.9) при фиксированном* / (/ = 0, 1, ... , /V) образуют систему из N + 1 обыкновенных дифференциальных уравнений относительно такого же числа неизвестных функций Pkj (t, %) (k = 0, 1, . .. , N) . Началь­ ными условиями для этих уравнений служат значения искомых функций Pkj (t, т) при наибольшем значении т аргумента t. По ана­ логии с (4.7) начальные условия для системы (4.9) при фиксиро­ ванном / записываются в виде

являются постоянными величинами. Прямая система дифференци­ альных уравнений (4.5) при однородном процессе переписывается в виде

Начальные условия для этой системы те же, что и для (4.11), т. е. (4.12).

Когда число состояний ограничено, т. с. N < оо, каждая из полученных выше систем дифференциальных уравнений имеет

27

полностью характеризуют марковский процесс. Так же однозначно характеризуют этот процесс и функции Рк] (/, т) (k, / - - 0 , 1, N), являющиеся решением системы (4.9); данные неотрицательные функции удовлетворяют уравнению (2.13) и соотношению (2.9). При бесконечном числе состояний полученные системы дифферен­ циальных уравнений имеют единственные решения, удовлетворяю­ щие указанным соотношениям, только при выполнении некоторых

которому за конечное время с вероятностью 1 происходит лишь ко­ нечное число переходов случайного процесса X(t) в возможные зна­ чения Xj (/ — 0, 1, ...).

С учетом соотношения (4.3) прямую систему дифференциаль­

При составлении аналогичных систем уравнений и уравнений вида (4.8) для описания функционирования различных физических систем в инженерной практике часто используются графы. Для фи­ зической системы с N -f- 1 возможными состояниями С0, Сь ... , CN

граф имеет Л7+1 узлов, причем /-й узел соответствует состоянию'

лению к s-му узлу; у стрелки записывается соответствующая вре­

пости 7js(0 --0 , на графе нет стрелки от /-го узла к s-му, т. с. от

Cj к С5.

Пользуясь уравнением (4.14) и рис. 1, можно сформулировать правило составления прямых систем уравнений Колмогорова. Про­

ческой сумме произведений временных плотностей вероятности переходов на соответствующие вероятности пребывания системы в тех состояниях (узлах), откуда совершается непосредственный

28

переход системы в другие состояния (узлы графа). Слагаемые, ко­ торым соответствуют выходящие из /-го узла (состояния Cj) стрелки графа, берутся с отрицательным знаком, а слагаемые, ко­ торым соответствуют входы в /-и узел из других узлов (состоя­ ний),— с положительным знаком. Общее число слагаемых в правой части уравнения для Рщ (to, t) равно общему числу входящих и исходящих стрелок для /-го узла.

§ 5. ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС

Наиболее простым марковским процессом с дискретными орди­ натами п непрерывным временем является пуассоновский процесс, широко используемый в приложениях. Этот процесс неубывающий целочисленный с бесконечным числом возможных значений. Функ­ ция Рj (t) является вероятностью того, что в момент t случайный процесс X(t) равен /, т. е.

Состояние Cj физической системы, соответствующей пуассонов­ скому процессу, означает, что случайный процесс X(t) принял зна­ чение / ( / = 0, 1, ...). В любой момент времени t данная система может перейти в состояние с номером на единицу выше, т. е. из Cj

29

возможен переход только в Ci+l (у — 0, 1, ...). Временные плотно­ сти вероятности перехода Tjij + i (t), определяемые формулой

для пуассоновского процесса одинаковы при любом /, т. е. не зави­ сят от номера / состояния Сj. Таким образом, в данном случае

где т (0 — неотрицательная функция, являющаяся временной плот­ ностью вероятности перехода системы в следующее состояние в мо­ мент t.

Согласно (4.3) имеем

оо

Подставляя выражения (5.3) и (5.4) в (4.5), с учетом (5.2) по­ лучаем прямую систему дифференциальных уравнений Колмого­ рова для пуассоновского процесса в виде:

Л Р ь Л К , о = _ , W p tt(<oi t ) .

30