При определении стохастического интеграла по Стратоновичу ко эффициент 6js также определяется формулой (40.20), а для а} по лучается следующее выражение:
( t, |
X j, |
. . . , X n) |
= <pj (^1; . . |
. , Xa, t) -|- |
|
4 |
П |
П |
. |
|
|
(40.21) |
|
|
t (xb . |
m |
dx. |
|
/= 1 S = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( / = 1 , |
2, |
n). |
|
|
Таким образом, для системы стохастических дифференциаль ных уравнений (40.16) коэффициенты aj и bis уравнений Колмо горова однозначно определяются формулами (40.19) или (40.21) и (40.20).
13 некоторых случаях представляет интерес обратная задача по составлению системы стохастических дифференциальных уравне ний вида (40.16) при известных коэффициентах и b-}S(j, s = =- 1, 2, ..., /г). Из (40.19) следует, что
Tj |
|
• • •>-^п> |
|
-^1, • • |
>*^п) |
|
|
|
|
(40.22) |
а из (40.21) |
находим |
(7 = |
1, 2, |
... , |
п), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
V |
п |
V |
п |
i |
Об- |
<Pj (-^О • • |
■ , |
^П> ^) |
(^> |
^1» • |
• |
• , ^п) |
|
|
|
ртл |
2 |
; - i s = i |
|
dxs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
(7 = |
1, 2 , . . . , « ) . |
|
|
|
|
|
|
|
(40.23) |
Следовательно, |
функции ®j (xn . . |
. , x„, t) |
однозначно |
опреде |
ляются через коэффициенты ai пли через коэффициенты as и функ ции '\>ц(/, l — 1, 2, ..., п) . Эти функции, в свою очередь, опреде ляются с помощью соотношений (40.20), которые в матричной форме записываются в виде
|
|
П М = СС', |
(40.24) |
где С — транспонированная |
матрица для С = |
||^г||. Потребуем, |
чтобы искомые |
функции |
ф]г |
удовлетворяли |
условию tyj = ’Ьц |
(j, 1— 1, |
2, . .. , |
п). Тогда при известных коэффициентах 6JS с по |
мощью матричного равенства |
||£js||=C2 можно найти все эле |
менты матрицы С. Следовательно, функции \|)j; |
выражаются через |
известные |
коэффициенты |
bjs, |
если только выполняются условия |
— фц |
(У, 1=1, 2, ... , |
п). |
Последние равенства не всегда вы |
полняются в исходной системе стохастических дифференциальных уравнений (40.16). Поэтому одному и тому же дифференциальному уравнению Колмогорова могут соответствовать различные системы стохастических дифференциальных уравнений, которые называются стохастически эквивалентными.
Чтобы найти плотность распределения /(<Л, |
у п] |
т) |
или |
условную плотность распределения |
f(t, хи ..., ха\ т, |
У\, |
..., |
у п) |
в зависимости от уи у2, ..., у п и т, |
нужно решить второе уравне |
ние Колмогорова (40.15) при соответствующих начальном и гра ничных условиях. Начальное условие задается в момент t и для
плотности распределения f(y 1, ..., |
z/n; т) |
имеет вид |
|
f(yi.............. Уп, *)|x=t = |
/1 (х1г |
t), |
(40.25) |
где f\(X\, ... , х п; |
t) — заданная функция. При определении услов |
ной плотности |
распределения |
начальное |
условие |
записывается |
в виде |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
f{t, х и . . |
. , |
ха\ Т, у и . . |
. , yn)|x» t = |
2 8 (yj — |
(40-26) |
|
|
|
|
j=l |
|
Граничные условия для искомой плотности распределения мно гомерного марковского случайного процесса, как правило, более сложные, чем для одномерного процесса. В простейшем случае гра ничные условия эквивалентны обращению в нуль искомой плотно сти распределения, когда хотя бы один из аргументов г/j по абсо лютной величине стремится к бесконечности, т. е. при любом т > t
lim / |
= 0 ( / = 1 , 2 , . . . , я ) . |
(40.27) |
l^jl— |
|
|
Если требуется определить вероятность того, что определенные т из п компонент случайного процесса в момент т находятся в задан ной области D, то для каждой из указанных т компонент граница области D является границей поглощения. Применительно к каж дой из т компонент наличие границы поглощения означает, что соответствующая плотность распределения на границе обращается в нуль при любом т > t. Иногда используются нулевые граничные
условия для потоков вероятности |
Sj ( / = 1, 2, .. ., я), где |
Si |
(40.28) |
Следует отметить, что многомерный процесс не всегда может дости гать любой точки границы области D, а потому в некоторых слу чаях граничные условия нужно задавать только на части границы этой области.
Решение многомерного дифференциального уравнения в част ных производных (40.15) при заданных начальном и граничных условиях в большинстве случаев представляет весьма сложную за дачу. Рассмотренные выше методы решения уравнений Колмого рова для одномерного процесса иногда удается распространить и на уравнения (40.14), (40.15). Однако обычно при этом возникают
большие вычислительные трудности, для цреодоления которых не обходимо использовать ЭЦВМ.
Рассмотрим один из методов определения стационарной плотно сти распределения /„(у,, Уг> ■•■. Уп)> одним из условий существо вания которой является независимость коэффициентов Xj и bis
(/, s — 1, 2, . |
. п) уравнения (40.15) |
от т. При этом |
= 0 , |
а по |
тому (40.15) |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
п |
Я Я- |
|
|
(40.29) |
|
|
|
|
|
где |
J=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 j CT ^ j /ст |
2 |
f j y |
( ^ j s /ст )- |
(40.30) |
Пусть на границе области D каждая из составляющих потока |
вероятности Scr = [51СТ5 S2cT, |
. . |
. , 5 ПСТ] равна нулю. |
При |
одно |
мерном случайном процессе из этого условия следует, что поток вероятности равен нулю и в области. Если же процесс многомер ный, то поток вероятности в области D будет равен нулю только при отсутствии вихревых перемещений, т. е. для так называемого потенциального потока вероятности. Чтобы получить условия по тенциальности потока и найти стационарную плотность распреде ления / ст, положим
Подставляя данное выражение в
Уп).
SjCT= 0, получаем
------ 2aj
ду,
(/ = 1 , 2 ,. . . , л).
Если определитель матрицы |bis| отличен от нуля, то в результате решения данной системы алгебраических уравнений находим
= |
(s = l, 2, ..., л), |
(40.33) |
где Bs однозначно выражается через известные функции из (40.32). Так как
" |
д'и |
- |
d%U |
|
ду>ду, |
~ |
дуаду-} ’ |
то функции Ва должны удовлетворять следующим условиям:
дв »_a s — 1 2 |
п) |
(40.34) |
дух ~ д у а |
|
|
Выполнение данных равенств является условием интегрируемости системы (40.33). При их выполнении из выражения
(40.35)
находим
U {у и • • •1 Уо) — U (Ть • • •> Тп) |
J Ва(zx. . . . , zn) dz%, |
(40.36)
где интегрирование производится по любой непрерывной спрямляе мой кривой, целиком расположенной в области D и связывающей точки с координатами (Гь ... , 7п) и (у\, ..., уп). Вместо (40.36) можно использовать выражение
U (уи Уз, • • •, Уп) = £ +
ПУз
“f* |
j ^s(Ti. Т2• • • • » Ts—1» ^si ys+ ь • • • ? Уп) dzs, |
(40.37) |
s=l |
Ts |
|
где D — произвольная постоянная, |
определяемая |
из условия нор |
мировки (40.5). Действительно, из |
(40.37) |
следует, |
что |
d U |
П |
, |
|
|
V |
|
|
ду, |
Вх(Уъ Уз, • • •.Уп); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU |
У» ■ ■ |
|
|
|
|
|
В,(ъ, |
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
у. |
|
|
|
|
дВ1 |
|
дВ, |
|
|
|
dzx |
J |
dzx— |
|
|
ду2 |
|
dzx |
|
|
|
~ В', {уI, у2, . . |
. , |
Уп)-- Вз(Ъ, |
Уз, • • |
•. |
,Vn)j |
то |
|
|
|
|
|
|
|
3U |
|
|
|
|
|
|
|
дуг= В 2(уи уз, • |
• • , |
уП). |
|
|
Аналогично доказывается, что функция (40.37) удовлетворяет всем уравнениям системы (40.33).
