Файл: Булычев, Н. С. Расчет крепи капитальных горных выработок.pdf

ползучести можно формально рассматривать как задачу теории упругости, в которой вместо упругих постоянных необходимо при­ менить временные интегральные операторы с ядром ползу­ чести [65, 142]. Указанное положение, названное Ю. Н. Работновым принципом Вольтерра, позволяет решать задачи механики горных пород, в которых граничные условия и объемные силы могут при­ ниматься не зависящими от времени.

Уравнение состояния среды в теории линейной наследственной ползучести представляется интегральным уравнением Больцмана—

состояния получается из обобщенного закона Гука заменой упругих констант временными операторами. Временные операторы состоят

Получение интегральных операторов и особенно их функций при произвольном ядре ползучести связано с серьезными математи­ ческими трудностями. К). Н. Работновым [142] предложена в каче­ стве ядра ползучести экспоненциальная функция дробного порядка

Свойство экспоненциальной функции дробного порядка, определя­ емое теоремой умножения,

Э*а (х)Э*а (у)= Э* (ХФУ)' (10.4)

позволяет упростить преобразование интегральных операторов, которые определяются по таблицам дробно-экспоненциальной функции [143]. Однако для числовых расчетов с использованием ЭВМ таблицами воспользоваться нельзя. В этом случае применяется аппроксимация М. И. Розовского [145]:

где

u> = (l — а)1-“; ß = 6Г (1 — а).

Возможность применения теории наследственной ползучести к ре­ шению задач механики горных пород впервые экспериментально обосновал Ж. G. Ержанов (65]. Он показал, что деформирование ряда горных пород до определенного уровня нагружения соответ­ ствует закону линейной наследственной ползучести с ядром в виде степенной функции (Абелево ядро):

которое является частным случаем дробно-экспоненциальной функ­ ции (10.3). Используются и другие ядра [39, 196].

Ж. С. Ержановым и его последователями решен ряд практически важных задач взаимодействия крепи с массивом горных пород, в которых учитываются технология сооружения выработки (разрыв во времени между обнажением пород и введением крепи в ра­

ющаяся в анизотропии свойств массива при различной ориентировке

ствия пород и крепи близка упругой. Отличие заключается в том, что упруговязкая модель учитывает так называемое «последействие», г. е. деформирование пород во времени после снятия или приложения нагрузки. В задачах линейной ползучести при незакрепленных выработках поля напряжений в упруговязкой и упругой средах точно совпадают. При наличии жесткой крепи напряжения в упруго­ вязкой среде релаксируют во времени. Указанные особенности опре­ деляют условия применимости упруговязких моделей взаимодей­ ствия пород и крепи к реальным объектам.

При решении задач теории ползучести горных пород важное значение имеет отмеченный выше (см. § 6) принцип И. В. Родина, согласно которому поле напряжений в массиве вокруг выработки делится условно на «природное» и «снимаемое». Ползучесть горных пород проявляется только под действием снимаемого поля напря­ жений.

Функции ползучести и их применение для практических расчетов *

Сложность решения задач механики горных пород методами теории наследственной ползучести заключается, с одной стороны, в сложности решения аналогичных задач для упругой модели, и

сдругой — главным образом в расшифровке операторных выражений

*Обоснование функций ползучести выполнено при участии А. М. Лшіь-

кова.

66

согласно принципу Вольтерра. Между тем при постоянных напря­ жениях на границе рассматриваемой области расшифровку времен­ ных операторов можно существенно упростить, если воспользоваться вместо интегральных операторов функциями ползучести (или рела­ ксации) Ф.

В качестве примера рассмотрим функцию ползучести при исполь­ зовании Абелева ядра (10.6). Из выражения (10.2), подставляя ядро ползучести в интегральный оператор, получим выражение для вре­ менной функции модуля деформации

Здесь и далее а и 6 — параметры ползучести. Далее, пользуясь выводом об отсутствии объемного последействия, сделанным 10. Н. Работновым на основании экспериментальных данных [1421, получим уравнение

из которого следует временная функция коэффициента поперечной деформации

Другие временные операторы, содержащие Е и р, преобразуются, как обычные алгебраические выражения с использованием исходных временных функций Et и р,. Например, выражение для временной функции модуля сдвига получим, подставив в известную зависимость

Для сравнения приведем выражения для временных операторов рассмотренных величин, которые получены с использованием основ­ ных свойств 5-операторов и аппроксимации (10.5):

Ё — Е ехр [ —шбГ(1 —а) £1_а];

Втабл. 18 сопоставлены временные функции (10.7), (10.9), (10.11),

атакже более сложная функция

с точными значениями временных операторов, вычисленными после их расшифровки по таблицам [143]. Сходимость является вполне удовлетворительной, тем более, что аппроксимация (10.5) дает зна­ чительно меньшую точность.

Заметим, кстати, что в работе [65] в формуле временного опера­

тора для М имеются опечатки, поэтому приведем ее в исправленном виде:

Предлагаемый математический аппарат распространяется и на иррациональные временные операторы, используемые при анализе анизотропной среды. Расшифровка иррациональных операторов встречает серьезные затруднения [77], поэтому при решении задач наследственной ползучести с учетом анизотропии пород вводятся иногда недостаточно обоснованные упрощения. Например, пред-

6 8