Файл: Булычев, Н. С. Расчет крепи капитальных горных выработок.pdf

(1 - k ) ( R \ - RI) ak - (R*-*k-

R*-*) a_k =

^ A ^ R X k-A ^R % -k.

(18.15)

вить, что эта

система разрешима при к Ф 0 и

к ф 1-

При к = 0

(задача Л яме)

оба уравнения сливаются в одно:

{R\-R%){a0

\ a0) = p ^ R \- p 7 R %

(18.17)

Отсюда

_

г

H \-R l

(18.18)

0

1 ао

ак = -щ -

(А -f gk)— Аиск(ft -I- 2 — gk) — /й0) (кс2к~2+

g/;) -i-

■-qk°4(k-:-2)c2k-2- g k]};

a-/e = - f f f { - № (kc2k + gk)-

№ [{к-

2) c2k - gk\ -f

+ pV>c™(к + c2gk) -r qTok~2 (к — 2

— gkc2)};

(18.25)

V 2= 4 °Hk

" ( ~ kp<kl>°К(к + °2Як) +

\к2

— C2gk (к — 2)] -!-

л- Ы 0)(kc2k+ &) +

[(ft -

2) gk - ft2c2fe]};

- /?°2+# Г

{ - крПЧк +

kc2k~2)-

#> [k2c2*-2 - ( k + 2)gk] +

кр[0}ск~2 (gk -f ft) — q(k }ck~2[(ft -f 2) gk— ft2]},

жениями:

Ф + оѳ =

2 [Ф (z) + Ф (z)] =

йе [Ф (z)];

(18.26)

аѳ — ar

2ітгѲ = 2 [гФ' (z) +

'F (z)] е2іѳ.

е±ыѳ = cos ft0 + i sin ft©,

(18.27)

окончательно

получаем:

Grh = [—(ft — 2) akrk (ft -u 2) a_kr~';— bk^ r k~2— &_ft_2/--*-2] cos ftö;

(18.28)

Oe’ - f(ft

2) akrk — (ft — 2)

-h bk_.2rk~2 -f

ft-2J cos ft©;

=

00

(18.29)

Рассмотрим наиболее

характерные

частные значения напряже­

ний.

0:

При к =

о©0)

1

(18.30)

0<°>

С2 —1

на внутреннем контуре коільца (при г = RД 0):

„

( 0 )

1

[2с2^ 1)— (с2 — 1) Ро051;

(18.31)

ов

■1

or(0,

. „(0 ).

_(0 ) _ л.

■Р 0 >

т лѲ —

на наружном контуре кольца (при г =

R^):

Стѳ0)

(18.32)

( 0

)

. „СП.

т(0) _ Г|

о;

- Р о

I

тгѲ — и

-

При к = 1:

CO

ЯЗ _ /)(1) — fp{0)

a)11 =

^

r

г

о

N

1

До

c4 ■— 1

r't

( 4 - 1

) cos 0;

V

o\V =

3

r

c3/?l1>—Pi0* + * L

p<i>-r/4o>

^ cos 0;

(18.33)

( d До

c4 —1

1 r3

С4 — 1

(

Г

С'ЗрО)— p(0)

Д?

Г

О

^ sin 0;

f4 _l

c4 — 1

= VДо

r3

на внутреннем контуре кольца

(при г =

R 0):

т<1>.

р (10) cos Ѳ;

°

4сЗр(1)_ (3 +

С4) ptO)

cos©;

(18.34)

с4 —1

т,ѳ = р)0’ sin Ѳ;

на наружном контуре кольца (при г =

Rj):

oJP = />^1) cos©;

rr(1>

(Зс4+

1) р[и — 4«р(0)

cos 0;

(18.35)

и©

■

С4—1

т)1^, = р)1’ sin©.

При к

2 на

внутреннем контуре кольца (г = R 0):

o p = -L - { - 2 kpPck (c2k- 1 ) -f- 2q<k )ck [2c2gk-

к (c2k- -1)] -

-I- Pi0) (C2 -

1) (gl -Г к2с2к~2) -

2qP [gk [c*k f 1) -

2kc2k~2]} cos кѲ;

(18.36)

a* = pP cos Ш;

= qP sin /сѲ;

o p 1 -

- ± - {р£> [(с2 - 1) к Ч ^ 'г g%] - 2 q P

[gk (c>k

1) - 2 k c lk \ -

-

2kph)ck~igk (c2-

1) -f 2<7ft0)cfe“2[к (c2fe

} 1) -

2gk}} cos Ш; (18.37)

alrk) =

cos Ш;

т‘ 0 — q ^ sin к&.

-- 2q(20) [(с2 f

I )2- 2]} cos 2Ѳ.

(18,38)

Деформированное состояние

кольца.

Перемещения

в кольце

при нагрузках (18.1), (18.2) определим

из следующего

известного

в теории упругости соотношения:

2G (и -f іи) = е~іѲ [хср (z) — zcp" (z) — ф(г)],

(18.39)

cp (z) =

J ф (z) dz;

ф (z) = J ¥ (z) dz.

(18.40)

Отсюда:

СО

(18.11)

00

^ ^ =

2 ~ ^ T T zk+1 ~ c 1

- 0 0

Представим перемещения в виде рядов:

СО

00

и = 2

U*C0S к&',

V = У vksin кѲ,

(18.42)

й =0

1

тогда с учетом выражений (18.7) можно записать

ОО

и + іѵ = 2

Bkeihe,

(18.43)

где

- 0 0

Вк = Щ ^ ;

В_к = ^ £ р - (к> 0),

Подставим значения комплексных потенциалов ф (z) и ф (z)

(18.41)

в уравнение (18.39)

с учетом выражений (18.42) и (18.43). Приравни­

вая коэффициенты при одинаковых степенях е,

получаем:

, .

I ..

I Г

a k

k+i

! b -k -2

~(k+l)~\ .

+

| “ ¥ + Г г ~ а~кГ

>

(18.44)

Uk— Vk:

x -£±-r r~k+1+ akrk+14 -

G

Гь—I

г к- 1

К— 1

( к = 0 , 2 ,

3 ,

. . . ) .

Окончательные выражения для перемещений получим, подставляя

в уравнения (18.44) значения коэффициентов ак и Ък

(18.19),

(18.20),

(18.23)

- (18.25).

При к = 0

Ііі

V I

-р Г

[с2(* - 1 ) + 2 ( 4 і

-)2

(18.45)

на внутреннем контуре кольца

(при г = R 0)

„

_

«о

\ріис2(х + 1) - р і ю(х -

1 + 2с2)];

(18.46)

0

4G(f2—1)

на наружном контуре (при г =

И г)

о

П1

[с2 (х —1)4-2] —ро’

(х -pi)}

(18.47)

- 4с (С2_ 1) №

При

/с =

1

смещения на

внутреннем контуре кольца (г = і?0):

«о

и,

-і- V,

2G И —1) [р)1!с3 (х -1- 1) — р)0' (х -4 с4)];

(18.48)

«п

[рш сз _ рсе) ц_С].

и,1 —ѵл —— G( c 4 - 1)

на наружном контуре

(при г — R ^:

«1 + ^ :

2G (с4 -1)

fPi

(хс4 - 4- 1) —

р)0)с (х

1-1)];

(18.49)

и, —V,

Ір^’с3 —р)0) -f С],

С И - 1 )

При к Зі 2 смещения на внутреннем контуре кольца

(г =

R 0) со­

ставляют:

ик+ Ог= ^ (/t'+ i0) е д ;

0>л1,с‘ (А -г S k ) — q$'ck (к 4- 2 -

gÉ) -

-р£°> (fcc2*-2 + & +

о ,) f

q p 1(к + 2) c2fe~2- g k-

Dk})-

(18.50)

Ro

(кс

+

— Ч^с [gk —{к — 2) c2fe] -

uk- v k = -2 (Ус-1) GDk

рсо) [c2fc-2 + c^gk)~-Dk]+

[c2ft-2 (2 — к -\-gkc%) — £>*]},