Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

ниваемых параметров. Поэтому бейесовские оценки в условном смысле оказываются смещенными даже тогда, когда максималь­ но правдоподобные оценки будут несмещенными.

Наличие смещения у бейесовских оценок еще не означает снижения их точности по сравнению с оценками максимального правдоподобия. Если в измерениях присутствует сингулярная со­ ставляющая ошибки, то смещение за счет априорной информации может скомпенсировать смещение за счет сингулярной состав­ ляющей ошибки измерения.

Бейесовские оценки, для которых математическое ожидание в безусловном смысле совпадает с вектором априорных матема­ тических ожиданий оцениваемых параметров т ф будем назы­ вать несмещенными в. среднем.

По аналогии с информационной матрицей Фишера (5.2.7) можно ввести матрицу для функции (5.3.4). Тогда бейесовские оценки, имеющие сйоей корреляционной матрицей матрицу, об­ ратную введенной, будут называться совместно-эффективными

Из выражения (5.3.10) видно, что максимум 1прас(<7) дости­ гается при таком выборе вектора q, которому соответствует ми-

144

нимум суммы последних двух членов:

можем в результате их совместного решения найти оценку сто2 и вектор оценок #б-

Итак, метод максимальной апостериорной вероятности, кро­ ме полной информации об ошибках измерений, использует априорную информацию статистического характера об оценивае­ мых параметрах. Бейесовские оценки не совпадают с оценками максимального правдоподобия. Это различие зависит от мощно­ сти выборки. С увеличением объема выборки бейесовские оценки асимптотически стремятся к оценкам максимального правдопо­ добия [35]. Учет априорной информации об оцениваемых пара­ метрах позволяет получить решение задачи даже в том случае, когда некоторые из параметров проявляют себя в измеряемой вектор-функции одинаковым образом.

§ 5.4. МЕТОД УСЛОВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

Теория условных распределений подробно исследована в ра­ ботах А. Н. Колмогорова, относящихся к 30-м годам нашего ве­ ка. Метод условного математического ожидания, иногда назы­ ваемый в литературе методом наименьших дисперсий [77], тесно связан с этой теорией. В настоящее время метод начинает ши­ роко использоваться в задачах определения и анализа движения космических объектов.

Рассмотренные выше оценка q максимального правдоподобия

и бейесовская оценка # б получены из условия максимального значения соответствующих функций плотности вероятностей. Это свойство функций не всегда удобно использовать в качестве усло­ вия получения оптимального решения. Если функция (5.2.3) или (5.3.4)- многоэкстремальная и к тому - же имеет равнозначные

145

максимумы, то усложняется вычислительная процедура реше­ ния и нарушается условие его единственности. Кроме того, плот­ ность вероятностей может достигать своего максимального зна­ чения в точке, вероятность попадания оцениваемого вектора в окрестность конечного радиуса которой меньше, чем в такую же

окрестность других точек.

Воспользуемся аналогией между плотностью вероятностей в статистике и плотностью массы тела в механике. Плотность мас­ сы может достигать своего максимального значения в точках, не совпадающих с центром масс. Известно, что центр масс тела это такая точка, относительно которой тело имеет минимальные главные центральные моменты инерции. Момент инерции в ме­ ханике по своему математическому смыслу совпадает с момен­

том связи в статистике.

Для r-мерного гиперплоского тела, плотность массы которого определяется, например, функцией (5.3.4), имеется точка, анало­ гичная центру масс. Относительно этой точки величина

Чя)

должна быть минимальной.

Метод обработки результатов измерений с соблюдением ус­

называется методом условного математического ожидания. Как будет видно, оценка в данном случае совпадает с условным сред­ ним значением оцениваемого вектора при заданной выборке.

Критерием качества решения задачи в этом методе является минимальная сумма дисперсий оценок, т. е. оценки будут эффек­ тивными в среднем. Оптимальность оценок в данном случае опре­ деляется уже не локальными свойствами функции плотности ве­ роятностей, а ее поведением во всей области изменения оцени­ ваемых параметров. Это наиболее наглядный и физически легко истолковываемый критерий решения. Им целесообразно пользо­ ваться в тех случаях, когда функция плотности вероятностей является несимметрической многоэкстремальной функцией.

Для записи необходимого условия экстремума функции (5.4.1) найдем производную по векторному аргументу

da

- 2 { q - q ) p ac{q)d&{q)

d q

Q.(q)

и приравняем ее к нулю. Получим

q f P z c { q ) d Q { q ) = j qPac( q) d&{ q) -

146

Интеграл в левой части этого выражения по свойству плотно­ сти вероятностей равен единице. Отсюда окончательное решение запишется в виде

получается единственным непосредственно из необходимого ус­ ловия минимума критерия (достаточное условие здесь не исполь­ зуется). Оценка определяется по формуле условного математиче­ ского ожидания.

В вычислительном отношении уравнения (5.4.3) отличаются от уравнений (5.3.7). Если в методе максимальной апостериор­ ной вероятности получение оценок основывается на использова­ нии различных градиентных процедур, то здесь необходимо ис­ пользовать приближенные квадратурные формулы для вычисле­ ния многомерных интегралов.

Рассмотрим случай, когда апостериорная плотность вероятно­ стей принадлежит к семейству нормальных распределений: '

Для окончательного вычисления оценок в формулах (5.4.4) необходимо провести последовательное интегрирование по пере­ менным <7Д /= 1,... г). В частном случае линейной зависимости измеряемой вектор-функции от оцениваемых параметров подын­ тегральная функция является унимодальной и четной относи­ тельно моды. В этом случае оценки по методу условного матема­ тического ожидания совпадают с оценками по максимальной ве­ роятности.

147

Метод условного математического ожидания требует для своего использования полной информации об условиях измере­ ний. В рамках этого метода можно учесть предварительную ин­ формацию о векторе оцениваемых параметров как статистиче­ ского, так и нестатистического характера.

§ 5.5. МИНИМАКСНЫЙ МЕТОД

Метод минимаксного оценивания, и его связь с методом мак­ симальной апостериорной вероятности и методом максимального правдоподобия подробно рассмотрена в работах А. Вальда, от­ носящихся к 40-м годам нашего века. А. Вальд показал, что ми­ нимаксные оценки являются бейесовскими при наименее благо­

где h — совокупный вектор ошибок измерений.

В этих условиях можно записать функцию правдоподобия L(z\ q) и, следовательно, найти оценку максимального правдо­ подобия.

Если бы в нашем распоряжении имелась информация о рас­ пределении вектора оцениваемых параметров, то для обработки результатов измерений мы применили бы метод максимальной апостериорной вероятности. Однако на практике чаще имеется или неполная априорная информация или эта информация вооб­ ще отсутствует. В методе максимального правдоподобия вопрос об априорной информации вообще не затрагивался. Однако мож­ но учесть наше незнание априорного распределения оцениваемых параметров и нашу уверенность в том, что такое распределение существует, с помощью минимаксного правила. При минимакс­ ном правиле определяются такие оценки, для которых макси­ мально возможные ошибки будут минимальными. Оптимальность оценок можно характеризовать какой-то положительной функци­

ей W(q, q), которая принимает тем большее значение, чем боль­

ше отклоняется оценка q от действительного значения q. Итак, пусть в условиях постановки задачи (5.5.1)—(5.5.2)

требуется найти оценки в соответствии с минимаксным правилом при зад-анной функции W(q< q).

Введем обозначение p(q) для неизвестной плотности вероят­

148