Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

оценок. Однако критерий (5.1.4) неудобен в вычислительном от­ ношении, так как вводит в расчеты не всюду дифференцируемую

то связь между вектором ошибок измерений h и вектором оцени­ ваемых параметров q на основании выражений (5.1.1) и (5.1.2) запишется в виде

Подставив выражение (5.1.6) в выражения (5.1.4) и (5.1.5), получим следующие развернутые формы критериев качества ре­ шения поставленной задачи:

терия (5.1.7) в литературе иногда называют методом наимень­ ших модулей. Вычислительная процедура минимизации критерия (5.1.7) может быть построена на базе алгоритмов линейного про­ граммирования.

Метод обработки «результатов измерений по минимуму крите­ рия (5.1.8) получил название метода наименьших квадратов.

Условия минимума критерия (5.1.8) могут быть получены анали­ тически.

Параметры q) (/=1, ..., г) в формулах (5Л.7) и (5.1.8) явля­ ются уже варьируемыми величинами в отличие от действитель­ ных значений этих величин, которыми они являлись по смыслу

Условимся производную от скаляра а по вектору b записы­ вать в виде матрицы-столбца, а производную от вектора а — по

где производная от вектора и по вектору q представляет собой прямоугольную /"ХшУ-матрицу.

134

Отсюда необходимые условия экстремума критерия (5.1.8) запишутся в виде матричного уравнения

0. (5.1.9)

Уравнение (5.1.9) представляет собой чистему г уравнений с

г неизвестными qj (/=1, ..., г). Однако если матрица —— со- dq

держит линейно зависимые строки, то легко видеть, что среди этих уравнений будут эквивалентные. В этом случае система уравнений (5.1.9) будет неопределенной. Отсюда следует, что необходимым условием существования определенного решения системы (5.1.9) является условие равенства г ранга функцио­ нальной матрицы частных производных от измеряемых функций по оцениваемым параметрам. Так'как в общем случае (5.1.9) представляет собой систему нелинейных уравнений, то и при соблюдении указанного условия может быть несколько решений. Число решений можно сократить в соответствии с достаточным условием минимума

Ошибки измерений могут быть неравноточными по времени или по физической природе измеряемых функций. Если веса из­ мерений, введенные в предыдущей главе для характеристики различной степени разброса ошибок относительно их математи­ ческих ожиданий, известны по условиям опыта, то их необходи­ мо учесть при составлении критерия качества.

Пусть задана диагональная весовая матрица ошибок измере­ ний Р. Тогда в качестве критерия оптимальности, обеспечиваю­ щего равномерную близость ошибок измерений к нулю в их со­ вокупности, следует взять критерий

v=l

Метод определения оценок неизвестных параметров по мини­ муму критерия (5.1.11) в литературе, иногда называют методом взвешенных наименьших квадратов.

Легко видеть, что система уравнений для определения оценок неизвестных параметров qs (/=1, ..., г) в этом случае запишется в виде

dq

Этой системе присущи те же особенности, которые были от­ мечены для системы (5.1.9). Если измеряемая вектор-функция является линейной по отношению к оцениваемому вектору, то

(5.1.9) и (5.1.12) представляют собой системы линейных алгебра­ ических уравнений. В этом частном случае обработка измерений по методу наименьших квадратов обладает достаточно простой вычислительной схемой.

Метод наименьших квадратов допускает различные модифи­ кации, расширяющие область его использования при более слож­ ных условиях опыта.

Метод наименьших квадратов требует для своего использо­ вания минимальной информации об ошибках измерений, а имен­ но, необходимы только сведения о математическом ожидании ошибок. Однако оптимальность оценок, получаемых по методу наименьших квадратов, остается неясным вопросом, так как для выяснения оптимальности оценок необходима более полная ин­ формация о статистических свойствах ошибок измерений.

§ 5.2. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

Метод максимального правдоподобия разработан Р. Фише­ ром в начале XX столетия, примерно через сто лет после появле­ ния метода наименьших квадратов. С появлением метода макси­ мального правдоподобия метод наименьших квадратов получил полное теоретико-вероятностное обоснование. Этот метод также широко используется для обработки измерительной информации, получаемой в процессе проведения космического эксперимента.

.Рассмотрим опять основную зависимость (5.1.1):

y = u{q, t).

Пусть в результате дискретных по бремени измерений имеет­ ся система условных уравнений

такая же, как (5.1.2). Предположим, что на этот раз имеется более полная информация о векторе ошибок измерений

А=Цл1!А2

задаваемая функцией плотности его вероятностей p{h), опреде­ ленной с точностью, быть может, до конечного числа параметров. Символически это предположение запишем в следующем виде:

А*6/>(А). (5.2.2)

Необходимо в условиях заданной модели измерений

(5.2.1) (5.2.2) оптимальным образом определить оценки qj не­ известных параметров. Воспользовавшись соотношением (5.1.6), представляющим собой матричную запись уравнений (5.2.1), за­ пишем плотность вероятностей ошибок измерений в виде

p{h) = p{z — u\q, t)).

136

Следует заметить, что при функциональном преобразовании случайных величин необходимо плотность вероятностей умно­ жить на модуль Якобиана преобразования. В данном случае это будет единица, так как преобразование тождественное.

Функция плотности вероятностей ошибок измерений, записан­ ная с учетом полученных измерений и содержащая в явном виде вектор оцениваемых параметров, в математической статистике называется функцией правдоподобия и имеет самостоятельное обозначение

Функция L {z, q) сохраняет все свойства плотности вероят­ ностей по отношению к выборке г . Вектор оцениваемых пара­ метров q является для этой функции вектором параметров рас­ пределения. Очевидно, необходимо так определить вектор q параметров распределения, чтобы соответствующая ему выбор­ ка измерений ? была наиболее вероятной.

Метод обработки результатов измерений с соблюдением ус­ ловия

мальная величина плотности вероятности ошибок измерений, в то время как в предыдущем параграфе критерием, была мини­ мальная величина» суммы квадратов ошибок. В критерии макси­ мального правдоподобия учитываются не столько совокупные свойства ошибок измерений, сколько конкретные свойства каж­ дой ошибки в отдельности и свойства их взаимной зависимости. Необходимые условия экстремума функции (5.2.3) записывают­ ся в виде матричного уравнения

Таким образом, имеется система г уравнений с г неизвест­ ными qj (/=1, ..., г), которые обычно называются уравнениями правдоподобия. Уравнения (5.2.5), несмотря на более короткую форму записи, обычно сложнее уравнений (5.1.9). Неизвестные параметры qj входят в уравнения (5.2.5) в результате довольно сложной суперпозиции измеряемой вектор-функции и функции плотности вероятностей, а не таким простым способом, как это видно из уравнений (5.1.9).

Если система частных производных —(у"=1, . .. , г ) ли- dq)

нейно зависима между собой, то система уравнений (5.2.5) будет неопределенной. Неопределенность системы уравнений здесь за­

137

висит не только от измеряемой вектор-функции, но и от функции плотности вероятностей.

Среди решений уравнений (5.2.5) находятся оценки макси­ мального правдоподобия. Оценки должны удовлетворять доста­ точному условию максимума функции правдоподобия, т. е. ус­ ловию (5.2.4). Сами оценки являются случайными величинами. Если оценки имеют приближенно нормальное распределение, то их оптимальность в достаточной-мере определяется вектором ма­ тематических ожиданий и корреляционной матрицей

Оценки, для которых

называются несмещенными.

Потенциальную точность несмещенных оценок в статистике принято характеризовать информационной матрицей Фишера

элементами которой являются математические ожидания вторых

частных производных от логарифмической функции правдопо­ добия:

Имеет место следующее утверждение. Для любого набора 'несмещенных оценок с корреляционной матрицей В~ выполняет­ ся неравенство

где а — произвольный вектор размерности г. Оценки, которым соответствует знак равенства в выражении (5.2.8), носят назва­ ние. совместно-эффективных оценок. Им соответствует наимень­ ший корреляционный эллипсоид, характеризующий рассеивание оценок. Однако оценки максимального правдоподобия получа­ ются несмещенными только при некоторых требованиях, налага­ емых на функцию правдоподобия.

Заметим, что мы рассмотрели метод максимального правдо­ подобия безотносительно к виду закона распределения ошибок измерений. А теперь рассмотрим случай, когда вектор ошибок измерений h принадлежит к распределению с нормальным зако­ ном, имеющим нулевой вектор математических ожиданий и диа­ гональную корреляционную матрицу aV 3-1. Для этого случая плотность вероятностей вектора h запишется в виде

138

Отсюда получаем функцию правдоподобия

Исследуем функцию правдоподобия на максимум. Посколь­ ку функция L(z, q) всюду не отрицательна, то для нее сущест­ вует логарифм, а поскольку логарифм — функция монотонная, то максимум логарифмической функции находится в той же точ­ ке, что и максимум самой функции. Поэтому исследование на максимум функции L(z, q ) можно провести с ее логарифмом:

Пз выражения (5.2.9) видно, что независимо от значения дис­ персии эталонного измерения о2о максимум In L (z, q) дости­ гается при таком выборе вектора q, которому соответствует минимум положительно определенной формы:

Приравнивая к нулю производную от выражения (5.2.10) по вектору<?, получим матричное уравнение правдоподобия

Уравнение (5.2.11) совпадает с уравнением (5.1.12). Пз это­ го факта следует, что метод наименьших квадратов является частным случаем метода максимального правдоподобия. А имен­ но, в случае несмещенных и независимых ошибок измерений, подчиняющихся нормальному распределению, комбинирующих с измеряемыми параметрами аддитивным способом, метод мак­ симального правдоподобия предписывает те же требования, что и метод наименьших квадратов. Отсюда также следует, что толь­ ко в этом случае оценки по методу наименьших квадратов явля­ ются оптимальными в смысле метода максимального правдопо­ добия.

Определив вектор оцениваемых параметров q , можно найти оценку вектора ошибок по формуле

Подставив (5.2.12) в (5.2.9), получим

InL{z\ q)= --^у-1п(2яо§) + - l l n |P | -----

139