Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 216

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

После этого, если величина о20 неизвестна по условиям опы­ та, можно найти ее оценку из выражения

(/а0

Легко видеть, что она определяется по формуле

'

зо= —— h TPh.

 

гм АТ

(5.2.13)*

'

При обработке результатов измерений, получаемых в соот­ ветствии с моделью измерений (5.2.1) —(5.2.2)', иногда приходит­ ся учитывать информацию нестатистического характера об оце­ ниваемых параметрах. Пусть, например, известно, что оценивае­ мые параметры удовлетворяют системе уравнений

<ГЧ<7)= 0,

(5.2.14)

где гр — /г-мерная вектор-функция. Естественно,

что k должно

быть меньше г.

Метод максимального правдоподобия может быть применен и для этого случая. А именно, здесь необходимо максимизиро­ вать функцию правдоподобия L(z, q) при условии соблюдения равенства (5.2.14). Эта задача представляет собой задачу на ус­

ловный экстремум. Для ее решения введем вектор s неопреде­ ленных множителей Лагранжа, совпадающий по размерности с вектор-функцией гр. С помощью этого вектора задача отыскания максимума выражения (5.2.4) при условии (5.'2.14) приводится к задаче отыскания безусловного максимума выражения

а(<7, s)— L(z; q)-\-s'I(p(q).

(5.2.15)

Условия экстремума функции (5.2.15) записываются в виде системы уравнений

да

d L (2; q)

^ £ L S^_ 0;

dq

dq

dq

да

 

(5.2.16)

0.

 

ds

 

 

 

В результате аналитического или численного решения систе­ мы уравнений (5.2.16)'определяются вектор оцениваемых пара­

метров q и вектор «лишних» параметров s . Следует заметить, что для линейной модели измерений с ошибками, подчиняющи­ мися нормальному закону распределения, система уравнений (5.2.16) будет линейной. В этом случае описанный метод услов­ ного максимума функции правдоподобия совпадает с известным

.методом коррелят [40].

Итак, метод максимального правдоподобия требует для свое­ го использования полной информации об ошибках измерений,

140

т. е. необходимо знать плотность вероятностей ошибок измере­

 

ний с точностью, может быть, до некоторых параметров, харак­

 

теризующих распределение. Сложность вычислительной проце­

*

дуры метода определяется

прежде всего

сложностью

модели

задачи. Для линейных моделей метод является достаточно удоб­

 

ным с вычислительной точки зрения.

 

 

 

 

Метод максимального правдоподобия имеет практически не­

 

ограниченную область использования в задачах с полной инфор­

 

мацией об ошибках измерений. Функция правдоподобия, как

 

показано ниже, входит составной частью во все методы статисти­

 

ческого оценивания.

 

 

 

 

 

В общем случае оценки, определяемые по методу максималь­

 

ного правдоподобия, являются наиболее вероятными, а в ряде

 

линейных задач оценки — несмещенными и совместно-эффектив­

 

ными.

 

 

 

 

 

§ 5.3. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОЙ

 

 

 

АПОСТЕРИОРНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

 

 

 

Идея метода максимальной апостериорной вероятности была

 

заложена в формуле Бейеса еще в середине XVII века. Поэтому

 

получаемые с помощью^этого метода оценки часто называют

 

бейесовскимиОднако исчерпывающее теоретико-вероятност­

 

ное обоснование метод максимальной апостериорной вероятнос­

 

ти получил в XX столетии.

 

 

 

 

 

Метод наименьших квадратов и метод максимального прав­

 

доподобия базируются только на измерительной информации,

 

полученной в процессе проведения данного эксперимента. В ряде

 

случаев о векторе оцениваемых параметров q еще до проведения

 

данного эксперимента имеются априорные данные,

полученные

 

из чисто физических соображений или результатов

эксперимен­

 

тов, предшествующих данному. Целесообразно эту информацию

 

учитывать при определении оценок.

 

 

 

 

На практике априорная информация о векторе оцениваемых

 

параметров иногда используется для линеаризации модели дви­

 

жения и модели измерения. После этого применяется метод наи­

 

меньших квадратов или метод максимального правдоподобия.

 

При этом возникает противоречие, заключающееся

в

том, что

 

для оцениваемых параметров априори выполняются неравенства

 

Я 3, m in Яj

Я3, щах ( у — 1,

• • • 5 f)>

 

 

 

а применяемый для обработки результатов измерений статисти­ ческий метод предполагает равномерное распределение оцени­ ваемых параметров в неограниченных пределах. Следствием этого положения является, в частности, то, что названные мето­ ды ничем не ограничивают систематического смещения оценок.1

1 Бейесовские оценки будем обозначать

141

возникающего за счет сингулярной составляющей ошибок изме­ рений с неизвестной структурой.

Корректный учет априорной информации об оцениваемых параметрах в некоторой степени позволяет скомпенсировать не­ достатки, присущие рассмотренным методам. В то же время учет априорных сведений имеет свои проблемные вопросы. Пусть, как и в § 5.2, на интервале [О, Т] в дискретные моменты времени ti производятся измерения

z ^ u , { q , tl)-{-hi {i = l, . .. , N),

(5.3.1)

причем вектор оцениваемых параметров q и вектор ошибок из­ мерений h принадлежат к совокупностям с известными плотнос­ тями распределения вероятностей, т. е.

А*€Р(А),

 

(5.3.2)

?*€/>(?)•

■

(5.3.3)

Необходимо в условиях модели

измерений

(5.3.1) — (5.3.3)

оптимальным образом определить оценки неизвестных парамет­

р о в ^ - Запишем условную плотность вероятностей для

вектора

q после получения выборки г по формуле Бейеса

 

p{q/z) = kp(q)L{z; q),

(5.3.4)

где k — нормировочный

коэффициент, не

зависящий от

векто­

р а ? ;

 

 

 

k = ( j

p(q)L(z; q ) d Q ( q ) \ l .

(5.3.5)

Wq )

1

 

Интегрирование в формуле (5.3.5) производится в г-мерном пространстве Я(?). В данном случае это просто r -кратное инте­ грирование. Функция (5.3.4) называется апостериорной (послеопытной) плотностью вероятностей:

p ^ q )= p{ q i» ) -

Метод обработки результатов измерений с соблюдением ус­ ловия

pac{qB)= max PsiC{q)

(5.3.6)

Q(q)

{

J

называется методом максимальной апостериорной вероятности. Критерием качества решения задачи здесь является максималь­ ная величина апостериорной плотности вероятности, в то время как в предыдущем параграфе критерием было максимальное значение функции правдоподобия.

142

Система экстремальных уравнений для функции (5.3.6) с учетом равенства (5.3.4) записывается в следующем виде:

A P j ^ L { z \ q ) + p { q ) - ^ 4 ^ = Q.

( 5 . 3 . 7 )

dq

dq

 

Уравнения (5.3.7) отличаются от уравнений (5.2.5) первым слагаемым. Благодаря этому уравнения (5.3.7) не вырождаются в случае линейной зависимости частных производных от функции правдоподобия по оцениваемым параметрам. Таким образом, учет априорной'информации может ликвидировать неопределен­ ную ситуацию в задаче определения и анализа движения.

Существующие методы решения задач оценки параметров в исходной нелинейной зависимости

y=~-u(q, t)

обычно основываются на использовании итеративных процедур, так как приходится решать систему нелинейных уравнений (5.1.9), (5.2.5) или (5.3.7). Это не всегда удобно. В частности, решение в виде последовательных приближений не имеет анали­ тического характера.

Могут быть предложены и другие схемы обработки измери­ тельной информации в данной задаче. В частности, в работе [16] рассмотрен метод получения приближенного решения в анали­ тическом виде. Решение получается в результате выполнения трех почти самостоятельных этапов: сглаживания измеряемой вектор-функции; разложения измеряемой вектор-функции в ряд по оцениваемым параметрам и обращения этого ряда; оптималь­ ного оценивания полученных полиномов.

Вопрос учета априорной информации об оцениваемых пара­ метрах в задачах обработки результатов измерений какого-то конкретного эксперимента является проблемным вопросом. Это связано с характером точности бейесовских оценок. Бейесовские оценки при ограниченной мощности выборки не совпадают с

оценками максимального правдоподобия.

слу­

Вектор оценок максимального правдоподобия является

чайным за счет вектора г * , принадлежащего, пространству

вы­

борок. Вектор бейесовских оценок является случайным за счет вектора .г * и вектора#*, принадлежащего пространству оцени1 ваемых параметров. В связи с этим оптимальность бейесовских оценок можно рассматривать на пространстве выборок или на пространстве выборок и оцениваемых параметров. В первом слу­ чае оптимальность оценок будем называть условной, или опти­ мальностью в смысле максимального ^правдоподобия. Во втором случае оптимальность оценок будем называть безусловной, или оптимальностью в среднем.

Априорная информация об оцениваемых параметрах вызыва­ ет смещение оценок относительно действительных значений оце­

143

Смотрите также файлы