Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

Рассмотрим подробно матрицу

называемую обобщенной матрицей Грама для системы коорди­ натных функций (фД/)}. Из уравнения (6.1.9) видно, что оценки параметров однозначно определяются в том случае, если матри­ ца С является неособенной. Тогда определитель |С | матрицы не равен нулю и существует обратная матрица С~К Из теории мат­ риц известно, что для положительной определенности матрицы С необходимо и достаточно, чтобы система функций {фД^)| была линейно независимой. Легко видеть, что если какие-то функции

(t) и p'j (t) связаны между собой линейной зависимостью, то соответствующие элементы' а-й и |3-й строк в матрице С пропор­ циональны друг другу с одним и тем же коэффициентом пропор­ циональности. Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы, равен нулю. Следовательно, метод макси­ мального правдоподобия в принципе не позволяет получить раз­ дельные оценки параметров с линейно зависимыми функциями влияния.

Для случая коррелированных ошибок измерений с корреля­ ционной матрицей

B h = M[h*h*T\

функция правдоподобия (6.1.7) записывается в том же виде, только вместо матрицы Оо2Р~1 некоррелированных ошибок ис­ пользуется матрица Bh. В результате имеем

откуда легко получить оценку максимального правдоподобия

где

C = W'Bh~lW.

В этом случае оценка также является несмещенной и имеет корреляционную матрицу С~К

6.1.2. Оценивание по методу условного математического ожидания

Для получения оценок по методу условного математического ожидания, как следует из § 5.4, необходимо минимизировать вы­ ражение

- — - I f

a ( q ) = ( 2яа2) 2 | Я | 2 J ( q - q ) 4 q ~ q ) X

2 (?)

X exp f ----- — W q y P ( z - ^ q ) \ d9.(q).

1 2o0

Приравнивая к нулевому вектору производную от критерия a ( q ) по вектору q, получим

Умножим равенство (6.1.15) слева на матрицу С:

Выпишем k-e уравнение системы (6.1.16):

162

Произведем однократное интегрирование по qk правого ин­ теграла по частям:

“T^T

Замечая, что подстановка в бесконечных пределах обращает­ ся в нуль, и сокращая в равенстве (6.1.17) на общий интеграл, получим

тN

2 С* ^ = 2 p^ z‘-

7=1 1=1

Отсюда следует, что матричное равенство (6.1.16) после ин­ тегрирования принимает вид

Cq = W1Pz,

откуда оценка определяется по формуле

где

C = WTP ¥ .

Оценка (6.1.18) совпадает с оценкой (6.1.9), т. е. в данном случае метод максимального правдоподобия дает тот же резуль­ тат, что и метод условного математического ожидания. Это объ­ ясняется тем, что для рассматриваемой линейной задачи функ­ ция правдоподобия оказывается унимодальной и четной.

Впредыдущей главе было показано, что при рассматриваемых

вданной задаче условиях опыта метод наименьших квадратов и минимаксный метод дают тот же самый результат. Таким обра­ зом, линейная аналитическая модель движения в условиях ад­ дитивных ошибок измерений нормального типа оказывается ин­ вариантной по отношению ко всем рассмотренным критериям ре­ шения в том смысле, что оценки совпадают.

§ 6.2. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ КОНЕЧНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ С УЧЕТОМ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Рассмотрим задачу предыдущего параграфа, в которой изме­ ряемая функция задана в виде (6.1.3)

y(t)=rV)<i-

Имеется система условных уравнений

и задана плотность вероятностей ошибок измерений

Пусть, кроме того, в отличие от задачи предыдущего пара­ графа имеется априорная информация о векторе оцениваемых параметров, заданная в виде

Для простоты дальнейших выкладок будем полагать, что матрица Вд является диагональной и может быть задана в виде весовой матрицы

Апостериорная плотность вероятностей в этом случае имеет вид

164

Максимуму апостериорной плотности вероятностей соответ­ ствует минимум квадратичной формы

a (q) = (z — p [Z- 4 > 'q )P [ q - m qf Pq{ q ~ m q). (6.2.6)

Запишем выражение (6.2.6) в развернутом виде

a(q) = z * P z ~ 2q'(‘ W*Pz + Pqm q)+ qT(W'PW + Pq)q.

Применив правило векторного дифференцирования, получим

,мен.ты диагональной матрицы Pq являются положительными ве­ личинами. Следовательно, матрица Рд положительно определе­ на. Отсюда матрица Сб будет положительно определена даже тогда, когда обобщенная матрица Грама

C = 4TTP4F

будет вырожденной. Следовательно, уравнение для оценок (6.2.8) всегда имеет место. Другими словами, для оцениваемых пара­ метров, имеющих линейно зависимые координатные функции, бейесовские оценки существуют. Оценки же максимального правдоподобия, как показано в § 6.1, для таких параметров не существуют.

Рассмотрим вопрос оценивания параметров, имеющих линей­ но зависимые координатные функции, с учетом априорной ин-

165

формации более подробно. Для этого запишем систему уравне­ ний (6.2.7) в развернутом виде:

/ N \ N N

В этих уравнениях соответствующие члены пропорциональны друг другу, за исключением а-го и (3-го членов левой части и последних членов правой части уравнений. Перенося подобные члены в правую часть и обозначая их сумму в нижнем уравнении через S, получим

166