Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

N

■ 2 P i'hiz i

1=1

.V /=1Pi'hiZl

2 P i\r,z i

1= 1

а во втором — по формуле (6.2.8):

Д6Б

Kkb

AvB

«Б

Л'

V Pi'hi*i

1 = 1

N

2 М*!*/ 1=1

TV

2

1=1

TV

2 Мш,-*/

1= 1

В табл. 6.2.1 приведены результаты расчетов по данным ал­ горитмам при различных условиях проведения измерений.

Таблица 6.2.1

Сравнение данных таблицы с моделируемыми значениями оцениваемых величин: Л6 = 0,3 • 10"3, Д& = 0,2-10“3, Av = = —0,6-К)-3, со = —0,5-КЗ'5 показывает, что учет априорной ин­ формации статистического характера об оцениваемых характе­ ристиках может как улучшать, так и ухудшать качество оценок. Это зависит от условий проведения измерений, мощности выбор­ ки и характера самой априорной информации. Очевидно, необхо­ димо тщательно анализировать все эти факторы, чтобы правиль­ но решить вопрос о целесообразности учета априорной информа­ ции в процессе проведения баллистического эксперимента.

§ 6.3. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Примерами детерминированных динамических'моделей явля­ ются уравнения возмущенного движения центра масс космиче­ ского объекта в оскулирующйх элементах (2.1.21); динамиче­ ские уравнения движения космического объекта относительно центра масс (2.2.8); некоторые зависимости системы управления. Линейная многомерная динамическая модель имеет вид

где x(t) по-прежнему является н-мерным вектором параметров -движения; к—/7-мерным вектором постоянных характеристик мо­ дели движения; А (к, I) является квадратной матрицей п-го по­ рядка н d (к, t)—«-мерной вектор-функцией времени и характе­ ристик модели движения.

Уравнения (6.3.1) задают нелинейную связь между парамет­ рами движения и характеристиками движущегося объекта. В теории оценивания вид именно этих связей существенно влияет на алгоритм решения задачи. Более простой является динамиче­

172

Линейная динамическая модель может быть преобразована в конечную аналитическую. Действительно, решение системы (6.3.2) линейных дифференциальных уравнений записывается в виде

где матрица фундаментальных решений Ф(^, t0) находится из уравнения

координатных функций, получим зависимость для измеряемой функции

которая описана в § 6.1. Отсюда видно, что параметры линейной динамической модели при условиях опыта типа '(6.1.4)—'(6.1.5) оцениваются точно так же, как в § 6.1. Однако следует иметь в виду, что получение зависимости (6.3.6) связано с необходи­ мостью решения системы уравнений (6.3.5). Кроме того, вектор оцениваемых параметров q в данном случае включает в себя начальные условия движения, которые не входили в него при рассмотрении аналитической модели.

В случае когда величина шага дискретности измерений At позволяет с достаточной точностью заменить непрерывную мо­

173

дель движения (6.3.2) конечно-разностной,

лсг+1= л:,-4-Д^(Л-Л7' + А ^ ) (г= 0, 1,~. .., N — \), (6.3.7)

получение дискретного аналога решения (6.3.4) сводится к по­ следовательности алгебраических операций.

Полагая последовательно i = 0, 1, ..., N—1, получим

х^ = ( Е -(- Д( A q) Л"о—{—Д

х2 = (Е-\- AMi)ati + tdD{k — {E -f- tdAx){E-j- дМ0)л:0-р

+(Я + дМОдШоХ + Д/DiX;

Xn — (E -j- AtAjv-i)- • -(E-J- AtA0) x Q-|-[(£"-(- AtA/v—i)• • .(E -}- Д/Л^Х

Обозначим матрицу, умножаемую на вектор х0 в t-м равен­ стве, через Ф (/,-_ь to). Матрицу, умножаемую на вектор X, обоз­ начим через Г(^»—1, to). Тогда можно записать

Введем r-мерный совокупный вектор характеристик q и соот­ ветствующую ему вектор-функцию ф(/). Тогда полученная сис­ тема уравнений в матричной записи будет иметь вид

где Чг=1Фу|.

Таким образом, опять приходим к задаче, рассмотренной в §6.1. Как было показано в этом случае, оценка вектора неиз­ вестных параметров, определяемая по методу максимального правдоподобия или по методу условного математического ожи­ дания,

174

§ 6.4. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Линейная динамическая модель, как показано в предыду­ щем параграфе, приводится к конечной аналитической модели, поэтому учет априорной информации о векторе оцениваемых параметров принципиально производится так же, как в § 6.2.

Рассмотрим усложненную динамическую модель, а именно — линейную динамическую стохастическую модель вида

я-мерной вектор-функции £(/), умноженной на скалярный белый шумД(/) гауссового типа.

которая может быть получена из первоначальной модели путем дополнения ее системой дифференциальных уравнений для по­

стоянных параметров к, Х= 0 и расширения n-мерного вектора параметров движения до (п + р) -мерного вектора параметров состояния.

Модель движения (6.4.2) уже не может быть преобразована в конечную аналитическую модель в том смысле, как в преды­ дущем параграфе. З-адача оценивания параметров приобретает здесь новый смысл. Если для детерминированной динамической модели движения задача оценивания начальных условий движе­ ния и характеристик объекта эквивалентна задаче оценивания параметров движения на любой момент времени, то в случае динамической стохастической модели (6.4.2) знание начальных условий движения не дает возможности получить интегрирова­ нием параметры движения на любой момент времени.

Пусть для дискретных моментов времени наблюдения t{ (х=

где переходная матрица Фг = Пфяг(^г) IJ и вектор \(ti) связаны со­ ответственно с матрицей Л* и вектором £* из уравнения (6.4.2) приближенными соотношениями

175