Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

N { N \

( P q .V -r^P i'fi? \ = - S Jr pq^m q^. ( 6.2. 10)

г- i \ г- i /

Если умножить второе уравнение системы (6.2.10) на а и за­ тем вычесть его из первого уравнения, то получим

Яа-Pq,а. ^Я9Рч,9 = = Pq,”P^q , я ^LPq, Р ^ q ,?•

Отсюда получаем следующее соотношение для бейесовских оценок параметров с линейно зависимыми координатными функ­ циями:

Q2

Заметим, что соотношение (6.2.11) справедлйво для бейесов­ ских оценок, которые не совпадают с оценками максимального правдоподобия. Поэтому 'употребляемое иногда - на практике разделение оценок максимального правдоподобия с одинаковы­ ми координатными функциями в пропорции к их априорным дис­ персиям является не совсем правильным.

Вектор бейесовских оценок дБ в условном смысле представ­ ляет собой г-мерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с математическим ожиданием д-^С^РдУ^ X ( m q— q) и корреляционной матрицей здСб ^ С б 1. Покажем это.

Используя выражение (6.2.8), можем получить

Al[qb] = C b \ ' r P M [ z y V P qm q)= C b \ 4 1P y q + Pqm q)= -

сначала выражение для отклонения вектора оценок от его мате­ матического ожидания ,

qB - М [qB] = С в 1(4>'rP z + Pqm q) - q - C ^ P q(m q- q ) = = Съ'Ч'Рг - С в 1(Св - Pq) q — Св1(ATPz - C q )^ C B lWTPh,

откуда с учетом распределения (6.2.2) вектора h получим

= C b 'W1PM [Л*/г*т] Р ^ С б 1 = з20Сб ЧЕтЯ Я -1Р ¥ С ^1.

?Б

167

Окончательно имеем

4Б

Из выражения (6.2.12) видно, что оценки параметров, полу­ ченные с учетом априорной информации, оказываются смещен­ ными. Смещение оценок тем больше, чем больше отклоняется дйствительное значение вектора оцениваемых параметров от априорного вектора математических ожиданий.

Величину разброса вектора оценок в статистике принято ха­ рактеризовать обобщенной дисперсией, в качестве которой бе­ рется определитель корреляционной матрицы оценок. Бейесовские оценки имеют меньшую обобщенную дисперсию по сравне­ нию с оценками максимального правдоподобия, т. е.

Для доказательства неравенства (6.2.14) запишем определи­ тель | СБ| в развернутом виде

Пользуясь последовательно свойством разложения определи­ теля, .столбцы которого суть сумма равного числа слагаемых (двух), представим его в виде суммы двух определителей, столб­ цы которых уже содержат по одному слагаемому:

В выражении (6.2.15) величина 5 представляет собой сумму произведений миноров матрицы Pq на взаимно дополняющие миноры матрицы С, образованные из матрицы С путем вычерки­ вания соответствующих друг другу строк и столбцов матрицы С.

Из матричной алгебры известно, что если k x k матрица по­ лучена из положительно определенной матрицы путем вычерки­ вания г—k строк и соответствующих г—k столбцов, то эта мат­ рица является положительно определенной. Следовательно, миноры матрицы Pq k-то порядка и взаимно дополняющие их ми­ норы матрицы С г—6-порядка являются положительными вели­ чинами. Отсюда видно, что величина 5 > 0 и, следовательно,

168

Этот результат интерпретируется геометрически. Определи­ тель матрицы характеризует собой объем эллипсоида, полуося­ ми которого являются квадратные корни из диагональных эле­ ментов матрицы. Матрицы Св и С, как следует из их структу­ ры, имеют одинаковые элементы, за исключением диагональных. Диагональные элементы матрицы СБ по величине превосходят соответствующие элементы матрицы С. Следовательно, эллип­ соид, построенный в соответствии с матрицей СБ, содержит-в себе эллипсоид, построенный в соответствии с матрицей С, и для их объемов выполняется условие типа (6.2.16).

в смысле их максимального правдоподобия. Вектор оценок ока­ зался смещенным. Если рассматривать безусловную оптималь­ ность бейесовских оценок на прямом произведении пространств Цг) XQ(q), то бейесевские оценки будут несмещенными с кор­ реляционной матрицей 3оС бЛ

Действительно, в этом случае смещение бейесовских оценок равно

M l{qb-q*)\ = C b \ 4 TP M l h * \ - P q( M lq * ] - m qj) = 0. (6.2.1.7)

Корреляционная матрица В~ при условии независимости

случайных векторов q* и h* равна

В; - С в 1[wTP M [ W T] Р^' —PqM[{q* — m q){q* — niqf] P j Сё1' =

н Б

Легко показать, что с учетом коррелированности ошибок из­ мерений и коррелированности оцениваемых параметров бейесовские оценки вычисляются по формуле

где

съ= у тв ^ ч в ~ К

169

Рассмотренные свойства оптимальности'остаются справедли­ выми и в этом случае.

Как указывалось в § 5.3, между условной оптимальностью бейесовских оценок и оптимальностью оценок максимального правдоподобия не существует постоянного отношения подчине­ ния, т. е. существует вопрос о целесообразности учета априор­ ной информации. В заключение параграфа рассмотрим влияние учета априорной информации об оцениваемых характеристиках на примере задачи анализа движения 6 (§ 1.3). Модель инстру­ ментальных ошибок ньютонометра с постоянной ориентацией оси

между собой и распределены по нормальному закону с задан­ ными параметрами:

Ошибки измерений предполагаются независимыми между со­ бой, распределены по нормальному закону с заданной диспер­ сией и неизвестным математическим ожиданием:

о,).

В данных условиях оценки инструментальных ошибок могут быть найдены по методам как максимального правдоподобия (ММП), так и максимальной апостериорной вероятности (ММАВ). В первом случае оценки находятся по формуле (6.1.9):

170